盧文娟 劉若男 張立杰 張一同

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

獨立桿組參數(shù)矩陣的表達(dá)方法

盧文娟1,2劉若男1,2張立杰1,2張一同1,2

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

并聯(lián)機(jī)構(gòu)中由于各桿組間的約束類型不同導(dǎo)致部分桿組參數(shù)向量中含有不獨立的混合參數(shù)，使得對機(jī)構(gòu)中輸出構(gòu)件自由度數(shù)目及性質(zhì)、機(jī)構(gòu)過約束判斷的直觀性變差。為構(gòu)建僅含獨立運(yùn)動參數(shù)的桿組參數(shù)向量，分別就向量中非獨立的“角運(yùn)動參數(shù)”、“非衍生線運(yùn)動參數(shù)”、“衍生線運(yùn)動參數(shù)”展開討論，基于螺旋理論，通過研究螺旋系的相關(guān)性，得到線性無關(guān)的基螺旋系，并等價到桿組參數(shù)矩陣中，建立獨立桿組參數(shù)矩陣，最終提出參數(shù)垂直分量有效準(zhǔn)則。結(jié)合該準(zhǔn)則，基于GOM自由度新公式，對幾種典型機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，驗證這些理論在獨立桿組參數(shù)矩陣確定、機(jī)構(gòu)自由度求解、輸出構(gòu)件自由度及運(yùn)動性質(zhì)分析、過約束判斷等方面的應(yīng)用。

桿組參數(shù)；混合參數(shù)；螺旋理論；衍生線運(yùn)動參數(shù)

0 引言

正確分析機(jī)構(gòu)自由度是機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析的基礎(chǔ)和前提，自由度研究是一個已有一百六十年歷史的重要課題，期間出現(xiàn)過幾十種具有代表性的自由度公式和方法，這些方法或基于簡單的代數(shù)運(yùn)算[1],或基于運(yùn)動方程[2-3],或基于Jacobian矩陣零空間[4]、基于群論[5-6]，亦或基于螺旋理論[7-8]、方位特征集[9]、線性變換[10]、幾何代數(shù)[11]等方法。本課題組基于集合求交運(yùn)算，從避開過約束角度考慮，亦于2013年提出基于桿組參數(shù)進(jìn)行自由度計算的GOM(mobility of groups and output parameter)公式及相關(guān)的桿組理論[12]。

由于組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各桿組間的約束類型可能不同(各桿組與定平臺相連的運(yùn)動副間布置方式可能為軸線共面、空間垂直或空間不垂直等)，在全局坐標(biāo)系下不能保證每個桿組參數(shù)中均只含有獨立參數(shù)，雖然用含有非獨立參數(shù)的向量并不能改變機(jī)構(gòu)自由度的計算結(jié)果，但會影響計算過程，使桿組對動平臺的約束作用無法直接體現(xiàn)，一方面影響機(jī)構(gòu)中過約束的判斷，另一方面也無法直觀地判別輸出構(gòu)件的自由度及性質(zhì)等關(guān)鍵參數(shù)，所以，如何用獨立參數(shù)向量來表達(dá)桿組參數(shù)矩陣，使得其中的零向量能代表桿組對動平臺的真實約束，從而較為方便地判斷機(jī)構(gòu)中過約束、輸出構(gòu)件自由度及自由度性質(zhì)等這些機(jī)構(gòu)自由度分析中的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，是本文討論的重點。

1 參數(shù)垂直分量有效準(zhǔn)則

1.1角運(yùn)動參數(shù)的垂直分量有效準(zhǔn)則

圖1所示為Sarrus機(jī)構(gòu)[13]，這是世界上第一個過約束機(jī)構(gòu)，構(gòu)成該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動副全部為轉(zhuǎn)動副，且包含了AC和DF兩個桿組。每個桿組中的三個轉(zhuǎn)動副軸線平行，稱為平行R桿組。機(jī)構(gòu)中兩組平行R桿組中轉(zhuǎn)動軸線的夾角記為φ。沿著桿組AC運(yùn)動副軸線方向設(shè)為X方向，建立如圖1所示坐標(biāo)系。

圖1 Sarrus機(jī)構(gòu)Fig.1 Sarrus mechanism

(1)

其中，前三列向量分別記為RX、RY、RZ，表示X、Y、Z方向的角列向量；后三列分別記為TX、TY、TZ，表示X、Y、Z方向的線列向量。若某列向量中包含兩個或兩個以上零元素，則該列向量稱為“多零列向量”，若該多零列向量為線列向量，稱為“多零線列向量”，相對應(yīng)的含有兩個或兩個以上零元素的角列向量稱為“多零角列向量”。式(1)矩陣中Z方向的角列向量為：RZ=(0，0)T，為多零角列向量?；c參數(shù)為各桿組參數(shù)的交集：OB=(0,0,0;0,0,z)，表示動平臺只能沿著Z軸方向平動，與機(jī)構(gòu)真實運(yùn)動相符，即此時基點參數(shù)直觀地表達(dá)了輸出構(gòu)件的自由度及其性質(zhì)。

(2)

若其中僅含獨立參數(shù)向量，稱為獨立桿組參數(shù)矩陣，很顯然這是一個混合桿組參數(shù)矩陣?；c參數(shù)為各桿組參數(shù)的交集：OB=(α,0,0;0,y,z)，表示動平臺除具有沿Z方向的移動外，同時伴隨有繞X軸的轉(zhuǎn)動和沿Y軸方向的移動，顯然這個結(jié)果與機(jī)構(gòu)實際運(yùn)動不相符，即對于一個混合桿組參數(shù)矩陣，其基點參數(shù)無法直接表達(dá)出輸出構(gòu)件的自由度及其性質(zhì)。若要想用獨立參數(shù)表達(dá)桿組參數(shù)矩陣，則需分析哪些參數(shù)為非獨立參數(shù)。

圖1所示機(jī)構(gòu)中，每個桿組對輸出構(gòu)件均產(chǎn)生沿桿組運(yùn)動副軸線方向的約束力(在圖中用單向箭頭表示)，約束力夾角為φ。當(dāng)φ=90°和φ≠90°且φ≠0°時，分別得到該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動螺旋系如下。

φ=90°時

(3)

φ≠90°且φ≠0°時

(4)

其中，a4、a5、a6、b4、b5、b6、d5、d6、e2、e3、e5、e6、f2、f3、f5、f6可為任意實數(shù)。經(jīng)過線性變換，可以得到式(3)等價于式(4)的螺旋系，兩個螺旋系的反螺旋同樣相同。兩種情況下，兩個桿組產(chǎn)生兩個均線性無關(guān)的約束力，約束了動平臺在其平面內(nèi)的移動?？衫斫鉃閯悠脚_上作用有兩個共面不平行力F1和F2，其中F2可以分解為垂直于F1方向的力F2t和平行于F1方向的分力F2n，其中F2t為約束物體在平面內(nèi)移動的有效分力。

結(jié)合該思想，桿組DF的運(yùn)動參數(shù)同樣可分解為垂直于桿組AC軸線方向，即X方向的運(yùn)動參數(shù)和沿著X方向的運(yùn)動參數(shù)，表示為

(5)

(6)

求交集得到基點參數(shù)OB=(0,0,0;0,0,z)，動平臺的運(yùn)動為沿Z軸方向平動。

總之，對于兩組夾角不為零且共面的轉(zhuǎn)動運(yùn)動副，其中一組角運(yùn)動參數(shù)中垂直于另一組角運(yùn)動參數(shù)的分量應(yīng)為有效分量，用于求解機(jī)構(gòu)自由度。

1.2線運(yùn)動參數(shù)的垂直分量有效準(zhǔn)則

1.2.1移動運(yùn)動副產(chǎn)生的線運(yùn)動參數(shù)

表示移動的線運(yùn)動參數(shù)一方面可由移動運(yùn)動副(包括移動副)產(chǎn)生，稱為非衍生線運(yùn)動參數(shù)。另一方面可由軸線滿足一定關(guān)系的多個轉(zhuǎn)動運(yùn)動副(包括轉(zhuǎn)動副、圓柱副、螺旋副、平面副、球副、球銷副)產(chǎn)生，稱為衍生線運(yùn)動參數(shù)。這里首先就非衍生線運(yùn)動參數(shù)進(jìn)行討論。

(1) 當(dāng)組成機(jī)構(gòu)的兩個桿組中的移動運(yùn)動副共面但不垂直時，不考慮桿組中的其他運(yùn)動，寫出兩個移動運(yùn)動副的運(yùn)動螺旋系(假設(shè)一個為沿X軸方向的移動，另一個為XY平面內(nèi)的移動)如下：

(7)

式中，a、b為任意實數(shù)。

對式(7)所表示的兩個螺旋作線性運(yùn)算：

$2-a$1=(0,0,0;0,1,0)

(8)

該螺旋系表示沿兩個相互垂直方向的移動。寫出對應(yīng)的獨立桿組參數(shù)矩陣為

(9)

(2)當(dāng)組成機(jī)構(gòu)的三個桿組中的移動運(yùn)動副方向呈空間分布時，不考慮桿組中的其他運(yùn)動，寫出三個移動運(yùn)動副的運(yùn)動螺旋系(假設(shè)其中一個移動沿X軸方向)如下：

(10)

式中，ai,bi,ci(i=2,3)為任意實數(shù)。

對式(10)中的三個螺旋作線性變換，令

(11)

則$1、$″2、$″3組成新的螺旋系，且與式(10)表示的螺旋系等價：

(12)

式(12)中的三個運(yùn)動螺旋表示空間三個相互垂直的移動。寫出對應(yīng)的獨立桿組參數(shù)矩陣為

(13)

總之，對于兩組夾角不為零且共面的移動運(yùn)動副，其中一組線運(yùn)動參數(shù)中垂直于另一組線運(yùn)動參數(shù)的分量應(yīng)為有效分量，用于求解機(jī)構(gòu)自由度。

1.2.2轉(zhuǎn)動運(yùn)動副產(chǎn)生的衍生線運(yùn)動參數(shù)

如圖2所示的四桿機(jī)構(gòu)，可以將其看作由定平臺4、動平臺2以及連接兩個平臺的桿組C、OA所構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖2 四桿機(jī)構(gòu)Fig.2 Four-link mechanism

在圖2所示坐標(biāo)系下，可以得到桿組參數(shù)矩陣為

(14)

式(14)表示桿組OA的各運(yùn)動參數(shù)之間發(fā)生了線性相關(guān)，為混合參數(shù)向量，它不能直觀地表達(dá)桿組對輸出構(gòu)件的約束性質(zhì)。

要想得到獨立桿組參數(shù)矩陣表達(dá)方式，首先寫出該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動螺旋系：

(15)

(16)

式(16)表示OA桿組提供繞Z方向的轉(zhuǎn)動及沿X方向的移動，C桿組提供Y方向的移動及Z方向的轉(zhuǎn)動，對應(yīng)的獨立桿組參數(shù)矩陣為

(17)

可見，桿組C提供Y方向的移動，桿組OA提供XY平面內(nèi)的移動，為使得各桿組參數(shù)獨立，桿組OA的運(yùn)動參數(shù)中取與前一桿組移動方向相垂直的分量作為有效的分量來進(jìn)行自由度計算。

總之，不管是角運(yùn)動參數(shù)，還是線運(yùn)動參數(shù)(包含衍生和非衍生線運(yùn)動參數(shù))，當(dāng)桿組中參數(shù)發(fā)生線性相關(guān)時，為使得運(yùn)動參數(shù)相互獨立，以便用零參數(shù)表達(dá)桿組約束，此時其中一組運(yùn)動參數(shù)中垂直于另一組運(yùn)動參數(shù)的分量為有效分量，用于求解機(jī)構(gòu)自由度，這一準(zhǔn)則稱為參數(shù)垂直分量有效準(zhǔn)則。

2 一組具有不同桿組約束類型的機(jī)構(gòu)自由度分析

圖3所示機(jī)構(gòu)[14]與圖4所示機(jī)構(gòu)[15]均為無匯交軸線的對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由定平臺、動平臺以及三個相同的桿組所組成。每個桿組的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)均為5R，其中靠近定平臺的三個轉(zhuǎn)動副軸線相互平行，第四個轉(zhuǎn)動副與前三個轉(zhuǎn)動副相互垂直，動平臺上的轉(zhuǎn)動副與第四個軸線相互垂直。所不同的是，圖3所示機(jī)構(gòu)中定平臺上的三個轉(zhuǎn)動副軸線不共面，而圖4所示機(jī)構(gòu)中定平臺上的三個轉(zhuǎn)動副均與定平臺共面?；贕OM公式，結(jié)合參數(shù)垂直分量有效準(zhǔn)則，對該組機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目、自由度性質(zhì)及過約束等結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析。

(1)坐標(biāo)系建立。為使桿組參數(shù)最少，盡可能多的軸線沿坐標(biāo)軸方向，設(shè)桿組1中沿R11軸線方向為X方向，分別建立如圖3、圖4所示的坐標(biāo)系。

圖3 三轉(zhuǎn)動3-RRRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.3 3-RRRRR three-rotational parallel mechanism

圖4 兩轉(zhuǎn)一移3-RRRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.4 3-RRRRR 2R1T parallel mechanism

(18)

(19)

(3)計算各桿組自由度。兩個機(jī)構(gòu)中各桿組自由度[12]均相同：

(20)

(4)不考慮轉(zhuǎn)動是否被約束，通過直接求交集得到圖3機(jī)構(gòu)基點參數(shù)

(21)

圖4機(jī)構(gòu)基點參數(shù)：

(22)

(5)基點參數(shù)有效性判別[17]。由于矩陣M1中不含多零線列向量，轉(zhuǎn)動不受約束，則

(23)

式中，dB1為機(jī)構(gòu)的基點參數(shù)的階。

矩陣M2中含Y方向的多零線列向量：TY=(y,0,0)T，桿組2和桿組3在Y方向產(chǎn)生了平行約束力，約束一個方向的轉(zhuǎn)動，使得基點參數(shù)中的γ成為無效參數(shù)：

(24)

(6)機(jī)構(gòu)自由度計算。根據(jù)GOM公式，得圖3機(jī)構(gòu)自由度[12]：

(25)

圖4機(jī)構(gòu)自由度：

(26)

(7)自由度性質(zhì)判別。各機(jī)構(gòu)桿組參數(shù)矩陣中僅含有獨立參數(shù)，則對應(yīng)的基點參數(shù)OB1和OB2表示機(jī)構(gòu)動平臺的運(yùn)動：圖3所示機(jī)構(gòu)具有三個轉(zhuǎn)動自由度；圖4機(jī)構(gòu)具有兩個轉(zhuǎn)動和一個移動自由度。

(8)過約束判別[18]。由于桿組參數(shù)矩陣中不含混合參數(shù)，其中的零參數(shù)真實地反映了各桿組對動平臺的約束作用，根據(jù)其中的多零列向量，結(jié)合過約束的特征及判斷準(zhǔn)則，可對機(jī)構(gòu)中的過約束進(jìn)行判別。圖3機(jī)構(gòu)對應(yīng)的桿組參數(shù)矩陣M1中，如式(18)所示，不含多零列向量，機(jī)構(gòu)中不含過約束。圖4對應(yīng)的桿組參數(shù)矩陣M2中，如式(19)所示，含有Y方向的多零線列向量TY=(y,0,0)T，兩個Y方向的約束力共面，且約束了Z方向的轉(zhuǎn)動，構(gòu)成實際約束，機(jī)構(gòu)中亦無過約束。

需要說明的是，傳統(tǒng)的這類機(jī)構(gòu)多為桿組中含有球面副或者含有多個空間匯交于一點的轉(zhuǎn)動副，給實際的加工和制造帶來很大困難，難以保證精度，上述這類無匯交軸線的對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的提出為方便機(jī)構(gòu)的加工和精度的提高提供了途徑。

3 含有過約束的五桿鉸鏈雙滑塊機(jī)構(gòu)自由度分析

圖5所示為一個五桿鉸鏈雙滑塊機(jī)構(gòu)。在幾何條件上機(jī)構(gòu)保持OA=AB=AC及相互垂直的兩個滑道。該機(jī)構(gòu)是典型的平面過約束機(jī)構(gòu)，也是平面機(jī)構(gòu)自由度分析中的一個難點。學(xué)者們也曾用多種不同的方法，包括經(jīng)驗法、螺旋理論[8]、速度瞬心法[19]、運(yùn)動副約束特性分析法[20]、拆分桿組法[21]等對其自由度進(jìn)行分析，這里我們嘗試用GOM公式對其自由度及過約束進(jìn)行求解。

圖5 五桿鉸鏈雙滑塊機(jī)構(gòu)Fig.5 Five-link two-slider mechanism

(1)坐標(biāo)系建立。該平面機(jī)構(gòu)可看作由定平臺5，動平臺2以及連接這兩個平臺的桿組B、桿組OA、桿組C組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。為使桿組參數(shù)最少，盡可能多的軸線沿坐標(biāo)軸方向，設(shè)桿組B中沿移動副軸線方向為X方向，桿組C中沿移動副軸線方向設(shè)為Y方向，建立如圖5所示的坐標(biāo)系。

(2)確定獨立桿組參數(shù)矩陣。桿組B中包含Z方向一個轉(zhuǎn)動副和X方向一個移動副，產(chǎn)生一個角運(yùn)動參數(shù)γ和一個線運(yùn)動參數(shù)x，得到其桿組參數(shù)向量為

桿組OA中含有兩個軸線平行的轉(zhuǎn)動副，產(chǎn)生一個角運(yùn)動參數(shù)γ和兩個衍生線運(yùn)動參數(shù)x和y，但是此時三個參數(shù)線性相關(guān)，為使得各參數(shù)相互獨立，根據(jù)1.2.2節(jié)中轉(zhuǎn)動運(yùn)動副產(chǎn)生的衍生線運(yùn)動參數(shù)的垂直分量有效準(zhǔn)則，桿組OA的運(yùn)動參數(shù)中取與B桿組移動方向相垂直的分量作為有效分量來進(jìn)行自由度計算，得到對應(yīng)的獨立參數(shù)向量為

桿組C的桿組參數(shù)向量與桿組B類似，為

于是該機(jī)構(gòu)的獨立桿組參數(shù)矩陣為

(27)

(3)計算各桿組自由度。各桿組自由度[12]均相同：

(28)

(4)不考慮轉(zhuǎn)動是否被約束，通過直接求交集得到基點參數(shù)

(29)

(5)基點參數(shù)有效性判別[17]。矩陣M中含X方向的多零線列向量：TX=(x，0，0)T，桿組OA和桿組C在X方向產(chǎn)生了平行約束力，而該兩個約束力作用線均通過D點，構(gòu)成共線的約束力：

(30)

(6)機(jī)構(gòu)自由度計算?；贕OM公式得[12]

(31)

(7)自由度性質(zhì)判別。各桿組參數(shù)中均只含獨立參數(shù)，則基點參數(shù)表示機(jī)構(gòu)動平臺的運(yùn)動：XY平面內(nèi)的一個轉(zhuǎn)動。

(8)過約束判別[18]。桿組參數(shù)矩陣M中，X和Y方向存在一個全為零的角列向量，RX=(0,0,0)T，RY=(0,0,0)T，RX、RY表示圖5所示機(jī)構(gòu)中存在兩個公共約束，為X和Y方向的約束力偶。Z方向存在一個全為零的線列向量TZ=(0,0,0)T，TZ表示動平臺上作用有三個平行的Z方向約束力，且三個約束力作用線均通過D點，即三個作用力共軸，構(gòu)成一個公共過約束，該過約束為Z方向的約束力。式(2)所示矩陣M中同樣含有X方向的多零線列向量：TX=(x,0,0)T，該向量表示動平臺上作用有兩個X方向的平行約束力，且兩個約束力作用線均通過D點，這兩個共軸的約束力構(gòu)成一個局部過約束。

于是，該機(jī)構(gòu)中含有三個公共過約束，機(jī)構(gòu)的階為3，同時含有一個局部過約束，與其他方法分析的結(jié)果完全一致。

4 結(jié)論

(1)桿組參數(shù)矩陣的確定是正確應(yīng)用GOM公式進(jìn)行機(jī)構(gòu)自由度分析的前提，本文就如何解決桿組參數(shù)矩陣中參數(shù)獨立性的問題展開討論，所研究內(nèi)容是對基于桿組參數(shù)進(jìn)行自由度求解方法的補(bǔ)充和完善。

(2)在定義獨立運(yùn)動參數(shù)、混合運(yùn)動參數(shù)、獨立參數(shù)向量、混合參數(shù)向量、獨立桿組參數(shù)矩陣、衍生線運(yùn)動參數(shù)、非衍生線運(yùn)動參數(shù)等概念的基礎(chǔ)上，基于螺旋理論，分別分析了桿組參數(shù)中角運(yùn)動參數(shù)、線運(yùn)動參數(shù)線性相關(guān)的情況，提出了參數(shù)垂直分量有效準(zhǔn)則：將含有混合參數(shù)的桿組運(yùn)動參數(shù)中垂直于另一組運(yùn)動參數(shù)的分量作為有效分量，得到獨立桿組參數(shù)矩陣，用于求解機(jī)構(gòu)自由度。

(3)僅含獨立參數(shù)的桿組參數(shù)向量，能夠較直觀地表達(dá)桿組對動平臺的約束作用，從而方便確定機(jī)構(gòu)中過約束、輸出構(gòu)件的自由度及性質(zhì)等這些自由度分析中的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

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(編輯王艷麗)

ExpressingMethodforanIndependentLinkGroupParameterMatrix

LU Wenjuan1,2LIU Ruonan1,2ZHANG Lijie1,2ZHANG Yitong1,2

1.Parallel Robot and Mechatronic System of Laboratory of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science, Ministry of Education,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004

The different types of constraints among the link groups in parallel mechanisms led to the independent and mixed parameters in part of link group parameter vectors, which made the number and engendered nature of DOFs(degree of freedoms) of output components along with the intuitiveness of judging overconstraints in the mechanisms worse. To construct the parameter vectors which only included independent motion parameters, dependent parameters in vectors such as “angular motion parameters”, “non-derivative line motion parameters” and “derivative line motion parameters” were discussed. Meanwhile based on the screw theory, the relevance of screw system was deduced to obtain the linear independent basic screw system which was equivalent into the matrix of link group parameters. Independent matrix of link group parameters was constructed. Furthermore the rule named “the validity of vertical component” was proposed. Finally based on a new mobility formula—GOM, combined with the rules mentioned above, the DOFs of several kinds of typical mechanisms were analysed. The applications of the theories presented before and herein were verified in the following parts: determination of independent matrix for link group parameters, calculations of the mobility and mobility property of output components, and determination of overconstraints.

link group parameter; mixed parameter; screw theory; derivative line motion parameter

2016-11-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(51275438,51775473)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項目(QN2014175)；河北省教育廳高等學(xué)?？萍加媱澢嗄昊鹳Y助項目(QN2017144)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.17.001

盧文娟，女，1983年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。主要研究方向為并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析、型綜合。發(fā)表論文10余篇。E-mail: luwenjuan@ysu.edu.cn。劉若男，女，1994年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。張立杰(通信作者)，男，1969年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。張一同，男，1945年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。