譚清華

摘 要：本文以導數(shù)概念作為切入點，闡述導數(shù)在幾何知識和函數(shù)知識中的應用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學 導數(shù)概念 導數(shù)應用

引言

導數(shù)概念是數(shù)學分析基本概念，是近代數(shù)學的重要基礎(chǔ)，也是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)所在。在中學數(shù)學中，導數(shù)被廣泛應用，是歷年高考數(shù)學的重點內(nèi)容。掌握導數(shù)的基礎(chǔ)知識和應用技能，以便更好地解決中學數(shù)學問題，一直以來是中學教師和學生的關(guān)注的重點所在。但是由于導數(shù)具有抽象、復雜等特點，對學生而言仍是學習數(shù)學中的一個難點知識，何況導數(shù)還與幾何知識、函數(shù)知識等其他知識之間有著緊密的聯(lián)系。學好導數(shù)知識是一線中學數(shù)學教師所要面對的重要問題，也是數(shù)學教學的基礎(chǔ)要求。

一、導數(shù)的概念

導數(shù)是數(shù)學領(lǐng)域中的重要概念，隸屬于微積分的范疇。導數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率[1]。如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)的話，函數(shù)在某一點的導數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數(shù)就是物體的瞬時速度。當函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點x0上產(chǎn)生一個增量Δx時，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數(shù)，記作f（x0）。認識到導數(shù)，對于函數(shù)的增減性的認識和學習具有重要的意義。一般而言，y=f（x）在（a，b）數(shù)值范圍內(nèi)可導，如果在（a，b）范圍內(nèi)，f（x）的取值始終大于零

二、導數(shù)的應用

1.導數(shù)在幾何方面的應用

在幾何學習中，導數(shù)具有重要的作用和意義。應用導數(shù)概念來認識和學習相關(guān)的幾何知識是導數(shù)概念的重要拓展，更是數(shù)學學習中的重點內(nèi)容。微積分學習的重點知識便是導數(shù)，導數(shù)與數(shù)軸之間有著緊密的聯(lián)系，在一定區(qū)域內(nèi)的x的取值依據(jù)相應的規(guī)律都有相對應的y值，具體而言便是設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有著一定的定義，當自變量x在在這個區(qū)域取值的時候，都有相應地函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。函數(shù)y=f（x）在x0點的導數(shù)f'（x0）的幾何意義表示函數(shù)曲線在點P0（x0，f（x0））處的切線的斜率?？梢?，求導的函數(shù)一定是連續(xù)的，不連續(xù)的函數(shù)是不能進行求導的[2]。在幾何知識中，認識曲線的切線時，由于切線方程與坐標數(shù)軸之間是一一對應的。在求解曲線方程式，既可以通過導數(shù)進行求解，以便得到區(qū)現(xiàn)在一直點的切線的斜率，也可以假設(shè)已知切線的斜率和對應切點的坐標，是應用點斜式來求出相應的切線方程。

如圖1，曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，P（x0，y0）是曲線C上的任意一點，Q（x0+Δx，y0+Δy）為P鄰近一點，PQ為C的割線，PM//x軸，QM//y軸，β為PQ的傾斜角.

當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況，也就是說，當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時，割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線。設(shè)切線的傾斜角為α，那么當Δx→0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率。這個概念為求曲線上某點切線的斜率提供了一種方法，同時也直接闡述了切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在x=x0處的導數(shù)。

如實例：求曲線y=f（x）=x2+1在點P（1，2）處的切線方程.

因此，切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x.

可見，要求曲線在某點處的切線方程的時候，可以按照這種思路進行解答，“先利用切線斜率的定義求出切線的斜率，然后利用點斜式求切線方程”。

三、在函數(shù)方面的應用

1.函數(shù)的單調(diào)性問題

在函數(shù)的學習過程中，應用導數(shù)來認識和判斷函數(shù)的增減性，具有重要的現(xiàn)實意義和作用。這也是導數(shù)在變化曲線中的一種幾何意義的應用。根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數(shù)曲線呈上升的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數(shù)曲線呈下降的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞減。從函數(shù)的某個區(qū)間內(nèi)來看，f′（x）>0（f′（x）<0）是函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)的充分條件，而不是必要條件。若是在求值過程中，出現(xiàn)f′（x）=0的情況，不會影響函數(shù)f（x）在包含該點的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。例如函數(shù)f（x）=x3在定義域（-∞，+∞）上是增函數(shù)，但由f′（x）=3x2知，f′（0）=0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點處都滿足f′（x）>0。可導函數(shù)f（x）在（a，b）上是增（減）函數(shù)的充要條件是：對任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零。

例 函數(shù)（且）的單調(diào)性

解：函數(shù)定義域為R.

當時，

∴函數(shù)在上是增函數(shù).

當時，

∴函數(shù)在上是減函數(shù).

2.函數(shù)的極值問題

函數(shù)的極值是指函數(shù)f（x）在x取值范圍內(nèi)有定義，如果x=x0處的函數(shù)值是x取值范圍內(nèi)的函數(shù)值都大，即f（x）f（x0），則稱 f（x0）是函數(shù)y=f（x）的一個極小值。最大值和最小值在函數(shù)中稱之為極值。極值是一個局部概念，反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況。應用導數(shù)求函數(shù)的極值，應該掌握以下幾點：第一點是要明確函數(shù)的定義域，第二點能夠求出相應相應的導數(shù)，第三定能夠在相應的定義域有效地求出實根，第四組中駐點左右之間的符號。

結(jié)語

導數(shù)作為數(shù)學學學科中的重要組成成分，認識和掌握導數(shù)在學習數(shù)學過程中有著重要的作用和意義。導數(shù)具有抽象性、復雜性等特點，要學好導數(shù)，首先就要掌握導數(shù)的基本概念，從基本概念出發(fā)，掌握求導公式和求導法則，便于有效的解決數(shù)學問題。在數(shù)學學習過程中，不難發(fā)現(xiàn)，導數(shù)知識與函數(shù)知識、幾何知識有著密切聯(lián)系，掌握好導數(shù)知識有助于學好其他知識。因而，在數(shù)學學習過程中，掌握導數(shù)知識顯得尤為重要。

參考文獻

[1]謝楚舒. 高中數(shù)學中導數(shù)的概念及導數(shù)的應用[J]. 環(huán)球市場信息導報， 2016，12（33）：98-98.

[2]張孟， 李小春. 導數(shù)的定義在考研數(shù)學中的應用[J]. 當代教育實踐與教學研究：電子版， 2016，11（06）：159-160.