章亞棋

(浙江省溫州市龍灣區(qū)永強(qiáng)中學(xué)高二(6)班，浙江 溫州 325024)

關(guān)注平面向量數(shù)量積推導(dǎo)公式與定理的價(jià)值

章亞棋

(浙江省溫州市龍灣區(qū)永強(qiáng)中學(xué)高二(6)班，浙江 溫州 325024)

平面向量數(shù)量積a·b是一個(gè)非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、正方形的對(duì)角線垂直平分等.當(dāng)然平面向量數(shù)量積關(guān)于三角形、圓甚至不等式中的一些公式與定理，可謂向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種有力工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.

平面向量數(shù)量積；定理；推導(dǎo)與應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積是一個(gè)涉及長度與角度的一個(gè)重要概念，利用它可以證明得到許多性質(zhì)、定理與公式.下面就與讀者來感受平面向量數(shù)量積在平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中帶來的益處.

一、應(yīng)用平面向量數(shù)量積推導(dǎo)三角公式

在我們的教材必修4第108頁中有一個(gè)習(xí)題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，試用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值.

其它三角恒等變換公式都可以類似推導(dǎo)，這樣一來不僅知道這些三角恒等變換公式是怎么來的，而且更加能領(lǐng)悟向量是溝通三角函數(shù)的一種工具.

二、應(yīng)用平面向量數(shù)量積推導(dǎo)正弦定理

教材必修5中的余弦定理也是由平面向量的數(shù)量積推導(dǎo)出來的，后來我發(fā)現(xiàn)運(yùn)用平面向量的數(shù)量積也可以推導(dǎo)正弦定理.過程如下：

通過這里的證明再一次體會(huì)，如果涉及邊長與角度問題，我們可以考慮用向量的數(shù)量積.

三、應(yīng)用平面向量數(shù)量積推導(dǎo)柯西不等式

同樣在我們的教材必修4第108頁中有一個(gè)習(xí)題：

應(yīng)用1 (2014年浙江高考題)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1，則a的最大值是 .

在我們平時(shí)的很多練習(xí)中，有的時(shí)候多用柯西不等式能使題目簡(jiǎn)單很多.因此我覺得平面向量數(shù)量積的貢獻(xiàn)是巨大的，在推導(dǎo)很多數(shù)學(xué)的性質(zhì)與結(jié)論時(shí)，很快也很有效.

四、平面向量數(shù)量積在極化恒等式的應(yīng)用

最后，我想用教材有句話作為總結(jié)：“涉及長度、角度問題常?？紤]向量的數(shù)量積.”我想這句話如果我們能夠深刻理解并在解題中得以靈活應(yīng)用，那么我們的收獲肯定很大.有了以上這些內(nèi)容的印證，接下來我們?cè)诰唧w題目中應(yīng)對(duì)平面向量的數(shù)量積要有足夠的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用.

[1]人民教育出版社等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5必修教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2004.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

章亞棋(2000.07-)，女，浙江溫州人，現(xiàn)為溫州市龍灣區(qū)永強(qiáng)中學(xué)學(xué)生.

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