李樹山,劉祖軍,賈明曉,解 偉

(華北水利水電大學(xué),河南鄭州450045)

不同地基模型對拱壩動力響應(yīng)的影響

李樹山,劉祖軍,賈明曉,解 偉

(華北水利水電大學(xué),河南鄭州450045)

在粘彈性人工邊界理論基礎(chǔ)上,結(jié)合波場分解法的地震動輸入方法,應(yīng)用ANSYS軟件的參數(shù)化語言APDL,編制了模擬粘彈性人工邊界和地震荷載輸入的程序。針對某碾壓混凝土拱壩建立了“庫水-拱壩-地基”聯(lián)合作用的有限元模型,采用施加粘彈性邊界并輸入相應(yīng)地震動,討論了無限地基輻射阻尼的影響,并與無質(zhì)量地基模型的計算結(jié)果進(jìn)行比較分析。研究結(jié)果表明,只有考慮輻射阻尼效應(yīng)才會得到符合實際情況的壩體地震響應(yīng)結(jié)果,因此實際工程抗震分析時對地基的模擬應(yīng)該合理選取。

拱壩；動力響應(yīng)；粘彈性人工邊界；無質(zhì)量地基

0 引 言

在超高大壩、超長橋梁、超高建筑等大型結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中,其剛度、重量、跨度都很大而地基往往相對較柔,剛性地基假定不符合實際情況,需要考慮無限地基能量輻射效應(yīng)的影響。另外,結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)分析屬于開放系統(tǒng)中的近場波動問題,也需要考慮“地基-結(jié)構(gòu)”動力相互作用的影響。而“地基-結(jié)構(gòu)”的相互作用機理復(fù)雜,計算量大,難以獲得試驗檢驗。由于難以獲得實際場地資料,不同的計算模型得出的計算結(jié)果差別很大。這也是高拱壩抗震響應(yīng)分析中亟待解決的基本問題。目前,采用有限元法模擬“結(jié)構(gòu)-地基”的相互作用,一般需要引入人工邊界。廣義上,人工邊界可分為精確邊界和局部邊界。其中,局部邊界在時間和空間上是局部解耦的,計算機存儲量小,計算時間短,實用性較強,因而得到廣泛研究和應(yīng)用。

地震作用下的“拱壩-地基”系統(tǒng)是一個能量開放系統(tǒng),壩體與地基之間存在不可忽視的能量交換。對于能量開放系統(tǒng)的地震響應(yīng)模擬,關(guān)鍵問題是如何采用人工邊界模擬方法將無限模型轉(zhuǎn)換為便于在計算機上實現(xiàn)的有限模型。文獻(xiàn)[1-2]介紹了常見人工邊界處理方法。杜修力等[3]將無限域的遠(yuǎn)場波動位移解假定為無衰減的平面波位移解與無限域格林函數(shù)解的遠(yuǎn)場近似位移解的組合,建立了一種新的粘彈性人工邊界條件,使人工邊界結(jié)合顯式有限元的完全解耦的近場波動數(shù)值模擬方法具有了統(tǒng)一的穩(wěn)定性評判標(biāo)準(zhǔn),該方法對邊界的模擬精度高于二階透射邊界[4]。

近年來,國內(nèi)外學(xué)者提出了多種人工邊界模擬方法。其中,粘彈性邊界條件原理簡單,精度比較高,僅需在邊界添加彈簧和阻尼即可實現(xiàn),便于和有限元軟件進(jìn)行結(jié)合。Lysmer和Kuhlemeyer提出粘彈性人工邊界[5],該方法相當(dāng)于在邊界上施加一段固定的單向粘滯阻尼器,只能考慮邊界阻尼的吸能作用,在應(yīng)用中容易發(fā)生結(jié)構(gòu)整體漂移,精度不高。Deeks和Randolph給出了二維平面應(yīng)變問題的粘彈性邊界表達(dá)式[6],開始了真正的時域解耦的粘彈性邊界研究。劉晶波等[7]將平面應(yīng)變膨脹波邊界應(yīng)用于二維平面問題的分析,并給出了粘彈性邊界反射系數(shù)和一種有效外源輸入方法,即把輸入地震動轉(zhuǎn)化為作用于人工邊界上的等效荷載的方法來實現(xiàn)波動輸入。杜修力[8]提出了基于考慮散射波遠(yuǎn)場幾何衰減的平面波建立粘彈性人工邊界的方法,并與顯式有限元法結(jié)合,建立局部解耦的時域波分析方法。王振宇[9]利用極坐標(biāo)球面波近似表達(dá)方法,建立了一種三維粘彈性人工邊界。

本文在現(xiàn)有研究成果基礎(chǔ)上,利用ANSYS軟件建立了“拱壩-地基”系統(tǒng)的粘彈性地基模型,通過波場分解方法實現(xiàn)粘彈性地基模型的地震波等效荷載的輸入,對比分析了“拱壩-地基”系統(tǒng)采用無質(zhì)量地基模型和粘彈性地基模型2種情況下拱冠關(guān)鍵點處的動力響應(yīng),分析了引起2種模型計算結(jié)果差別較大的原因,其研究成果能夠為拱壩抗震的精細(xì)化分析提供參考。

1 三維粘彈性人工邊界模型

1.1 三維粘彈性動力人工邊界方程

根據(jù)近場彈性波理論,可以推導(dǎo)出三維粘彈性人工邊界方程。

1.1.1 法向邊界條件

球坐標(biāo)系中球面膨脹波(P波)的波動方程

(1)

式中,φ為位移勢函數(shù)；cp為介質(zhì)的P波波速；R為徑向坐標(biāo)。方程式的通解可表示為

(2)

式中,f(*)和g(*)為任意函數(shù),分別表示外行擴散波和內(nèi)行會聚波。考慮外行擴散波,垂直于波陣面的位移可寫為

u=

(3)

法向應(yīng)力的計算公式為

(4)

式中,λ和μ為拉梅常數(shù)。由此可得

(5)

(6)

因此,可以得到波振面上用函數(shù)表示的法向應(yīng)力為

(7)

為建立法向應(yīng)力σ和位移u之間的關(guān)系式,引入以下方程

(8)

(9)

(10)

(11)

式(11)即為三維法向人工邊界方程,方程給出了波陣面上法向應(yīng)力與位移的關(guān)系,式中G=μ為介質(zhì)剪切模量,ρ為介質(zhì)密度。

建立三維人工邊界需要將無限介質(zhì)截斷,在截斷處,在人工邊界上施加連續(xù)的彈簧-阻尼器集中質(zhì)量系統(tǒng)。系統(tǒng)方程

(12)

(13)

式中,uR和um分別表示人工邊界節(jié)點與集中質(zhì)量沿荷載作用方向的位移。

由式(12)可得

(14)

再對式(14)求導(dǎo)可得

(15)

由此可得關(guān)于施加物理系統(tǒng)人工邊界節(jié)點應(yīng)力與位移滿足的微分方程

(16)

將式(11)和式(16)進(jìn)行比較分析,可以得到物理方程的參數(shù)為

(17)

這時只需要采用相應(yīng)參數(shù)的彈簧,阻尼器和集中質(zhì)量單元即可實現(xiàn)三維粘彈性人工邊界,可以保證人工邊界上力和位移的條件和連續(xù)介質(zhì)完全相同(如圖1所示)。

圖1 人工邊界等效彈簧-阻尼器系統(tǒng)

1.1.2 切向邊界條件

球坐標(biāo)系中球面剪切波(S波)的波動方程為

(18)

它的位移近似解為

(19)

同理,可以得到施加在邊界上物理方程參數(shù)為

(20)

1.2 三維粘彈性靜動力統(tǒng)一人工邊界方程

目前,許多工程問題需要綜合考慮靜力效應(yīng)及動力效應(yīng),解決的辦法是采用靜力人工邊界和動力人工邊界對靜力問題和動力問題分別進(jìn)行計算,考慮折減系數(shù)后進(jìn)行疊加得到最后結(jié)果。如果考慮非線性問題,上述疊加原理不能應(yīng)用于大型拱壩的強地震響應(yīng)分析,因而有必要發(fā)展靜動力統(tǒng)一人工邊界來適應(yīng)這種情況。一般情況下,動力人工邊界和靜力人工邊界是分別基于動力學(xué)和靜力學(xué)的基本理論建立的,因而試圖從基本理論出發(fā)建立靜動力統(tǒng)一人工邊界存在著很大的難度?？尚械姆椒ㄊ鞘紫然趧恿W(xué)基本理論,建立適用于動力問題分析的動力人工邊界；然后對其進(jìn)行修正,使之能夠適用于靜力問題的分析。理論上,動力人工邊界的確定是一個低頻問題,采用彈簧及阻尼器構(gòu)建的動力人工邊界,計算精度取決于其靜力特性。根據(jù)這一原則,如果能夠修正粘彈性動力人工邊界,使之用于靜力問題時具有足夠高的精度,則其對動力問題的模擬精度也可能得到進(jìn)一步提高。因此,需要對動力問題中的參數(shù)進(jìn)行修正。即

(21)

參數(shù)α根據(jù)人工邊界的類型及設(shè)置方向取值

(22)

式中,v為泊松比；d為坐標(biāo)位置；R為荷載作用點到人工邊界點的距離。對于底面人工邊界,d=r；對于側(cè)面人工邊界,d=z。對于集中荷載,R可取為加載點至人工邊界的垂直距離；對于分布荷載,R可取為分布荷載中心至人工邊界的垂直距離。

2 地震荷載的輸入

地震波的波動源來自人工邊界外的無窮遠(yuǎn),地震波入射屬于外源問題。為保證人工邊界的精度,常采用2種輸入波方法,即等效邊界力法和波場分解法。

本文采用杜修力等[10]提出的波場分解方法進(jìn)行計算。根據(jù)人工邊界上的波場特點,不同邊界面采用不同的分解方法：在底邊界上將總場分解為邊界入射場和邊界外行場,側(cè)邊界上將總場分解為自由場和散射場。邊界入射場或自由場可由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型解析計算得到,邊界外行場或散射場由人工邊界條件模擬并由離散模型依據(jù)數(shù)值分析方法獲得。上述方法在盡量避免計算自由場的前提下較好地解決了人工側(cè)邊界面的平行波模擬問題。將未知的散射場或邊界外行場用總場減去自由場或邊界入射場(用上標(biāo)R表示)表示,得到含外源作用的人工邊界面l結(jié)點i方向的有限元運動方程為：

(23)

(24)

假定底邊界豎直入射的P波位移時程為up(t)和S波的位移時程為us(t),按式(24)解析計算各人工邊界結(jié)點的等效地震荷載fli(t),人工邊界l結(jié)點的計算公式為

P波入射

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

S波入射

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式中,Δt1=l/cp,Δt2=(2×L-l)/cp,Δt3=l/cs,Δt4=(2×L-l)/cs；ρ、cp、cs、λ分別為介質(zhì)密度、P波波速、S波波速、第一拉梅常數(shù)；L為底邊界到地表的距離；l為l結(jié)點到底邊界的距離；Δt1和Δt2分別為l結(jié)點處入射P波和地表反射P波的時間延遲；Δt3和Δt4分別為l結(jié)點處入射S波和地表反射S波的時間延遲；等效地震荷載的下標(biāo)代表結(jié)點號和分量方向,上標(biāo)代表結(jié)點所在人工邊界面的外法線方向,與坐標(biāo)軸方向一致為正,相反為負(fù)。

3 算例分析

3.1 工程概況及計算模型的建立

某大型碾壓混凝土拱壩,最大壩高132 m,壩頂總長250.25 m,壩頂厚9.5 m、寬28 m,厚高比0.238,為三心圓重力拱壩。該拱壩按50年一遇設(shè)計洪水標(biāo)準(zhǔn),按500年一遇校核洪水標(biāo)準(zhǔn),建筑物區(qū)地震基本設(shè)計烈度為Ⅷ度。

計算參數(shù)選擇：壩體混凝土材料靜彈性模量E=2.0×104MPa,泊松比系數(shù)0.167,容重2 400 kg/m3。在動力計算中不考慮地基的質(zhì)量,混凝土動力彈性模量是靜力計算的1.3倍。庫水密度為1 000 kg/m3,可壓縮性庫水體積壓縮模量E=2.0×103MPa。

計算模擬范圍為：上游面水體和地基均為3倍壩高,左右岸及自壩底向下均為1.5倍壩高,下游面地基1.5倍壩高。庫水采用ANSYS軟件的fluid30單元進(jìn)行模擬,并對庫水上游面的無窮遠(yuǎn)處施加無窮遠(yuǎn)邊界進(jìn)行模擬。坐標(biāo)原點在拱壩第一個圓心處,X為順河向,下游為正方向,Z為橫河向,向左岸為正方向,Y為豎直向,向上為正方向,全部邊界取法向約束。拱壩壩體的有限元模型如圖2所示。

圖2 拱壩有限元計算模型

3.2 動力時程響應(yīng)分析

根據(jù)建立的“庫水-拱壩-地基”有限元模型,分別計算了采用無質(zhì)量地基模型和粘彈性地基模型,且處于不同庫水水位時“庫水-拱壩-地基”系統(tǒng)的動力響應(yīng)。計算所采用的地震波為EI-Centro波,其加速時程曲線如圖3所示。

圖3 EI-Centro波實測加速度時程

3.2.1 無質(zhì)量地基模型計算結(jié)果分析

圖4～圖6給出了空庫、半庫水和滿庫水時采用無質(zhì)量地基模型時拱壩壩頂拱冠處關(guān)鍵點位移和應(yīng)力情況。空庫狀態(tài)時,采用無質(zhì)量地基模型計算的壩頂最大位移11.16 mm,拱頂最大拉應(yīng)力1.076 MPa,最大壓應(yīng)力1.14 MPa。半庫水時,壩頂最大位移8.03 mm,拱頂最大拉應(yīng)力0.77 MPa,最大壓應(yīng)力0.73 MPa。滿庫水時,壩頂最大位移10.6 mm,拱頂最大拉應(yīng)力 1.42 MPa,最大壓應(yīng)力1.14 MPa。

圖4 空庫狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(無質(zhì)量地基模型)

圖5 半庫水狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(無質(zhì)量地基模型)

圖6 滿庫水狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(無質(zhì)量地基模型)

圖7 空庫狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(粘彈性地基模型)

圖8 半庫水狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(粘彈性地基模型)

圖9 滿庫水狀態(tài)下拱壩的位移和應(yīng)力響應(yīng)(粘彈性地基模型)

3.2.2 粘彈性地基模型計算結(jié)果分析

圖7～圖9給出了空庫、半庫水和滿庫水時采用粘彈性地基模型時拱壩壩頂拱冠處關(guān)鍵點位移和應(yīng)力情況?？諑鞎r,壩頂最大位移 9.15 mm,拱頂最大拉應(yīng)力0.88 MPa,最大壓應(yīng)力0.94 MPa。半庫水時,壩頂最大位移6.34 mm,拱頂最大拉應(yīng)力0.607 MPa,最大壓應(yīng)力0.59 MPa。滿庫水時,壩頂最大位移8.16 mm,拱頂最大拉應(yīng)力1.095 MPa,最大壓應(yīng)力0.875 MPa。

從算例結(jié)果分析中,可以看出粘彈性人工邊界產(chǎn)生的位移時程峰值較小,振動幅度較大。設(shè)置粘彈性人工邊界優(yōu)點在于控制了地震波在有限元模型邊界上的反射,有效地吸收了地震波能量,并且合理地模擬了地震波在無限地基中的傳播。相比之下,采用固定邊界,由于地基剛度較大的因素,會導(dǎo)致位移值偏大,造成能量在邊界的反射,這些都會影響有限元模型動力計算的精確性。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合ANSYS軟件的參數(shù)化語言功能編制了模擬粘彈性人工邊界以及地震荷載輸入的程序。結(jié)合工程實例,建立了“庫水-拱壩-地基”聯(lián)合作用的有限元模型,通過施加粘彈性邊界并輸入相應(yīng)地震動,分析了無限地基輻射阻尼的影響,得出結(jié)論如下：

(1)設(shè)置粘彈性人工邊界能夠控制地震波在有限元模型邊界上的反射,并且很好地吸收了地震波能量,因此,粘彈性人工邊界更符合實際地模擬了地震波在無限地基中的傳播過程。

(2)考慮輻射阻尼效應(yīng),能夠合理地計算出拱壩壩體地震響應(yīng)。算例分析表明,粘彈性邊界產(chǎn)生的位移時程峰值較小,波動幅度較大,其原因在于設(shè)置粘彈性人工邊界條件,使得減少了能量在邊界的反射,提高了有限元模型動力計算的精確性。

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(責(zé)任編輯 王 琪)

Effects of Different Foundation Model on the Dynamic Response of Arch Dam

LI Shushan, LIU Zujun, JIA Mingxiao, XIE Wei
(North China University of Water Conservancy and Hydroelectric Power, Zhengzhou 450045, Henan, China)

Based on viscous-spring artificial boundary theory and wave field decomposition method of ground motion, the program for simulating viscous-spring artificial boundary and seismic load is developed by using the parametric language function of ANSYS software. Combined with practical arch dam engineering, the finite element model of dam-reservoir-foundation is established. Through implementing the viscous-spring artificial boundary and inputting corresponding seismic motion, the effects of radiation damping are analyzed. Compared with the calculation results of massless foundation model, it is found that the seismic response of dam will be in line with actual situation when the effect of radiation damping is considered. So the foundation model should be reasonably selected in seismic analysis of actual projects．

arch dam; dynamic response; viscous-spring artificial boundary; massless foundation

2016- 12- 28

貴州省水利廳科研項目(2012KT094)；水利部堤防安全中心開放基金(201404)

李樹山(1977—),男,遼寧綏中人,副教授,碩士,從事水工結(jié)構(gòu)性能理論與試驗研究．

TV642.4

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0559- 9342(2017)08- 0056- 06