張曉呵廣西民族大學(xué)理學(xué)院

第一型曲面積分的中值定理

張曉呵
廣西民族大學(xué)理學(xué)院

本文提出了第一型曲面積分的中值定理，并給出相關(guān)證明。與現(xiàn)有證法的區(qū)別是本文并未用到連續(xù)性，而是引入了定義在曲面上函數(shù)的介值性，再加之可積性，來定義和證明中值定理，此外還提出了第一型曲面積分的相關(guān)性質(zhì)。

第一型曲面積分；介值性；可積性；中值定理

此文為廣西民族大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目“項目名稱：第一型曲面積分的中值定理”的階段性成果，該項目獲得國家級立項，項目編號：201610608017。

1 引言

積分中值定理體系龐大，但仍然有大量數(shù)學(xué)學(xué)者在研究，在華東師范版[1]和劉玉璉[2]的數(shù)學(xué)分析中給出了積分中值定理和積分第二中值定理的定義和證明后，對于其在曲線和曲面上的形式并未明確，而本文給出了第一型曲面積分的中值定理。目前就第一型曲面積分的中值定理的提出和證明主要在連續(xù)型曲面[3-5]上，而本文給出的中值定理將“連續(xù)性”弱化為“介值性”和“可積性”，擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。

2 定義和定理

2.1 第一型曲面積分的定義和性質(zhì)

我們先回顧文獻(xiàn)[1]中關(guān)于第一型曲面積分的定義

定義2.11設(shè)S是空間中可求面積的曲面，f(x,y,z)為定義在S上的函數(shù)，對曲面S做分割T，它把S分割成n個小曲面塊Si(i=1,2,...n），以ΔSi記小曲面塊Si的面積，分割T的細(xì)度若極限：

存在，且與分割T及(ξi,ηi,ζi)(i=1,2,...n)取法無關(guān)，則稱此極限為f(x,y,z)在S上的第一型曲面積分，記作?Sf(x,y,z)d S。

我們可以觀察到，第一型曲面積分和第一型曲線積分有著很多類似之處，我們給出曲面積分的以下性質(zhì)：

性質(zhì)2.11（有界性）若函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積，則f(x,y,z)在S必定有界。

證明用反證法.若f在S上無界，則對于S上的任意分割T，必存在屬于T的某個小曲面塊Sk，f在Sk上無界，在i≠k的各個小曲面塊Si上任意取定(ξi,ηi,ζi)，并記：

現(xiàn)對任意大的正數(shù)M，由于f在Sk上無界，故存在(ξk,ηk,ζk)∈Sk，使得：

于是有：

由此可見，對于無論多么小的∥T∥，按照上述方法選取點集時，總能使積分和的絕對值大于任何預(yù)先給定的正數(shù)，這與函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積矛盾。

性質(zhì)2.12設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積，若f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S，則

證明由于在S上f(x,y,z)≥0，因此f(x,y,z)的任意積分和均為非負(fù)，由f(x,y,z)在曲面S可積，則有：

證明令F(x,y,z)=g(x,y,z)-f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S，顯然F可積，由性質(zhì)2.12推得

（7）式得證。

性質(zhì)2.14若曲面S由小曲面塊S1,S2...Sk接連而成，且也存在，且：i

證明參見文獻(xiàn)[1]積分區(qū)間可加性和第一型曲線積分的性質(zhì)二。

2.2 多元函數(shù)的介值性

我們先給出定義在曲面上的函數(shù)的介值性的定義。

定義2.21設(shè)f(x,y,z)是定義在曲面S上的函數(shù)，記：

我們稱f在S上是可介值的，如果任意的實數(shù)α：m＜α＜M，在曲面上至少存在一點(ξ,η,ζ)∈S，使得f(ξ,η,ζ)=α.（11）

事實上，函數(shù)的介值性是弱于連續(xù)性的，若f在S上是連續(xù)的，則f在S上可介值的；反之卻不一定成立。

3 主要結(jié)論

3.1 第一型曲面積分的中值定理

定理3.11（第一型曲面積分的中值定理）設(shè)f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ：z=z(x,y)上的函數(shù)，滿足如下條件：

1）f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ上可積；

2）f(x,y,z)是可介值的；

3）g(x,y,z)在Σ上不變號；

則至少存在一點(ξ,η,ζ)使得：

證明f(x,y,z)在Σ可積，由性質(zhì)2.11，f(x,y,z)在Σ有界，設(shè)M=sup{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ},m=inf{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ}.當(dāng)m=M時，f為Σ上的常函數(shù)，（12）式顯然成立。以下設(shè)m＜M，由條件3)，不妨設(shè)g(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈Σ，這時有：

由性質(zhì)2.13有：

其中Σl是Σ的任意一個小曲面塊，其中第二個不等號是由性質(zhì)2.12和2.14推得，由該不等式，我們知道由此我們可以斷定，必存在一點(ξl,ηl,ζl)∈Σl，使得f(ξl,ηl,ζl)=M.若不然，任意的(x,y,z)∈Σl，都有f(x,y,z)＜M，從而[M-f(x,y,z)]g(x,y,z)＞0,(x,y,z)∈Σl，進(jìn)而矛盾。因此，存在一點lllllll，即：

這就證得（12）式成立。

我們可以觀察到，定理3.11運用到了函數(shù)的可積性和可介值性，而我們知道，如果f在S上是連續(xù)的，則f在S上可介值的，也是可積的，因此，我們也可以得到如下結(jié)論：

定理3.12設(shè)f(x,y,z),g(x,y,z)在定義在光滑曲面Σ：z=z(x,y)上的連續(xù)函數(shù)，且滿足g(x,y,z)在Σ上不變號，則至少存在一點(ξ,η,ζ)使得：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010.

[2]劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊）（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2003.

[3]吳世玕,杜紅霞.曲線積分與曲面積分中值定理[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報,2006,(06)：30-31.

張曉呵（1996-），男，漢族，河北張家口人，本科，現(xiàn)就讀于廣西民族大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)方向。