陳彥儒 馮仕猛

(1上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院； 2上海交通大學(xué)物理與天文系，上海 200240)

利用狹義相對(duì)論計(jì)算洛倫茲力和安培力

陳彥儒1馮仕猛2

(1上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院；2上海交通大學(xué)物理與天文系，上海 200240)

隨著對(duì)電磁現(xiàn)象研究的逐步深入，人們?cè)缫颜J(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象來(lái)源于電荷的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互聯(lián)系的統(tǒng)一體，稱之為電磁場(chǎng)。本文根據(jù)狹義相對(duì)論中洛倫茲變換的基本原理，利用兩個(gè)坐標(biāo)系中靜電力和電場(chǎng)的相對(duì)論變換，推導(dǎo)出洛倫茲力與庫(kù)侖力、安培力之間關(guān)系，即洛倫茲力和安培力來(lái)源于電場(chǎng)力的相對(duì)論變換，從而更加有助于理解洛倫茲力的物理本質(zhì)。

狹義相對(duì)論；電磁場(chǎng)；洛倫茲力;安培力

電場(chǎng)與磁場(chǎng)的產(chǎn)生都與電荷有關(guān)，它們的大小和方向又與電荷間的距離有關(guān)，還與電荷的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。電場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)，磁場(chǎng)也能產(chǎn)生電場(chǎng)，所以可以統(tǒng)稱為電磁場(chǎng)。利用電磁場(chǎng)張量和四維力的協(xié)變性及電荷相對(duì)論的不變性，可以討論電場(chǎng)力和安培力的相互轉(zhuǎn)換[1-3]，但這種轉(zhuǎn)換的前提是運(yùn)動(dòng)電荷中存在一個(gè)磁場(chǎng)，由此而可以推導(dǎo)出電磁場(chǎng)的相關(guān)變換關(guān)系。

經(jīng)典物理教科書(shū)上較少介紹磁場(chǎng)的本質(zhì)特征。本文利用相對(duì)論基本理論，討論一個(gè)在慣性參考系內(nèi)的兩個(gè)并行運(yùn)動(dòng)電荷所受的電場(chǎng)力如何轉(zhuǎn)換為另一個(gè)慣性參考系中的洛倫茲力，對(duì)進(jìn)一步理解電磁場(chǎng)的相對(duì)論變換有一定的意義。

1 狹義相對(duì)論變換推導(dǎo)洛倫茲力和安培力

1.1 兩個(gè)并行運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的洛倫茲力

在經(jīng)典電磁理論中，計(jì)算兩個(gè)并行運(yùn)動(dòng)電荷之間的洛倫茲力時(shí)，總是首先計(jì)算一個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度，然后計(jì)算該點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)電荷受到的洛倫茲力，如圖1所示。

圖1 兩個(gè)并行運(yùn)動(dòng)的電荷圖

在本文中，我們直接利用狹義相對(duì)論的基本理論來(lái)計(jì)算這個(gè)力。由狹義相對(duì)論，靜止參照系S中A電荷在周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為[4]

(1)

式中,u是電荷運(yùn)動(dòng)速度;q是電量;r是A電荷到空間某點(diǎn)之間的距離，z是空間某點(diǎn)與電荷運(yùn)動(dòng)方向之間的垂直距離。當(dāng)A電荷沿如圖1中的方向以u(píng)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，A電荷在B處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為

(2)

這樣，靜止坐標(biāo)系S中B電荷受到的電場(chǎng)力為

(3)

在與電荷運(yùn)動(dòng)速度相同的參照系中S′中，A電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為

(4)

在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S′中，B電荷受到的電場(chǎng)力為

(5)

因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系速度與運(yùn)動(dòng)電荷速度相同，根據(jù)狹義相對(duì)論中力的變換關(guān)系式[4，5]，把運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)中的力變換到靜止坐標(biāo)系中

(6)

式中F2是靜止坐標(biāo)系S中的力。把式(5)代到式(6)中可以得到

(7)

在S系看來(lái)，B電荷受到的力：一是利用電場(chǎng)的相對(duì)論變換式(3)得到的，另外一個(gè)力是通過(guò)相對(duì)論直接變換式(7)得到的，這兩個(gè)力之差為

(8)

利用級(jí)數(shù)展開(kāi)，式(8)可簡(jiǎn)單化為

(9)

式(9)表示在S系中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷之間除了一個(gè)庫(kù)侖力外，還存在一個(gè)其他力f，這與經(jīng)典洛倫茲力表達(dá)式[4，5]完全相同，這說(shuō)明通過(guò)力的相對(duì)論變換和場(chǎng)的相對(duì)論變換之差得到的S系中f就是洛倫茲力，也就是說(shuō)，磁場(chǎng)完全可以通過(guò)相對(duì)論變換計(jì)算。

1.2 兩個(gè)同方向運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的洛倫茲力

對(duì)于兩個(gè)電荷在一條直線上同方向的運(yùn)動(dòng)(或者反方向運(yùn)動(dòng))，如圖2所示。

圖2 兩個(gè)同方向運(yùn)動(dòng)電荷模型圖

在S系中A電荷在B電荷處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和B電荷受到的力分別為

(10)

在與電荷速度相同的參照系S′中，電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(11)

式中r′是運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S′中兩個(gè)電荷之間的距離，與圖2中靜止坐標(biāo)系S系中兩個(gè)電荷之間距離r的關(guān)系為

(12)

如此，在S′系中電荷之間的庫(kù)侖力可以寫(xiě)成為

(13)

在狹義相對(duì)論中，如果電荷只有x方向有運(yùn)動(dòng)速度，而在y、z方向運(yùn)動(dòng)速度為零，則運(yùn)動(dòng)方向上力的相對(duì)論變換關(guān)系[4，5]

(14)

因此， 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)中的力變換到靜止坐標(biāo)系S系中為

(15)

S系中的力，一個(gè)直接通過(guò)場(chǎng)的變換式(10)得到，另外一個(gè)是通過(guò)力的變換式(15)得到的，這兩個(gè)力之差式(15)-式(10)可以得到

f=F2-F1=0

(16)

式(16)表示兩個(gè)電荷在一條直線上作同方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們之間只有庫(kù)侖力，不受其他力作用，這與經(jīng)典理論是吻合的。

因此，直接利用兩個(gè)參照系中電場(chǎng)變換與力的變換，可以推導(dǎo)出洛倫茲力，這對(duì)正確理解洛倫茲力是非常有意義的。

1.3 直流長(zhǎng)直導(dǎo)線安培力的相對(duì)論計(jì)算

對(duì)于兩根直流長(zhǎng)直導(dǎo)線(如圖3所示)，設(shè)在長(zhǎng)度為L(zhǎng)0的導(dǎo)線內(nèi)電子電量為Q。

圖3 兩根直流導(dǎo)線的模型圖

首先研究在靜止的坐標(biāo)系S系中電荷線密度的改變。在S系中，設(shè)A導(dǎo)線單位長(zhǎng)度正電荷線密度是λ0+；當(dāng)電子沒(méi)有定向運(yùn)動(dòng)形成電流時(shí)，相同數(shù)量的正電荷占據(jù)的長(zhǎng)度和相同數(shù)量的電子占據(jù)的長(zhǎng)度相等。當(dāng)電子定向運(yùn)動(dòng)速度為u，在S系中與正電荷相同的電子占據(jù)的空間導(dǎo)體長(zhǎng)度在S系中收縮：

(17)

其中,L0是靜止系中導(dǎo)線的原長(zhǎng)；u是電子在導(dǎo)體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速率。這樣，S系中電子運(yùn)動(dòng)時(shí)線密度為

(19)

當(dāng)正負(fù)電荷都靜止時(shí)，有λ0-=λ0+=λ0，則在S系中凈電荷線密度為

(20)

式中λ就是A導(dǎo)線中的凈電荷線密度。利用無(wú)限長(zhǎng)的帶電長(zhǎng)直導(dǎo)線在周圍產(chǎn)生電場(chǎng)公式[4]

(21)

在S系中無(wú)限長(zhǎng)的A導(dǎo)線中凈電荷在周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(22)

式中r是A導(dǎo)線到B導(dǎo)線之間的距離。在S系中B導(dǎo)線中運(yùn)動(dòng)的電子受到A導(dǎo)線中凈電荷電場(chǎng)的庫(kù)侖力為

(23)

用同樣方法研究在與電子運(yùn)動(dòng)速度相同的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S′系中A導(dǎo)線電荷密度的改變。在S′系中，電子單位長(zhǎng)度線密度沒(méi)有改變，即λ0-=λ0；但正電荷相對(duì)于電子的運(yùn)動(dòng)速度為-u。同樣的道理，相同數(shù)量的正電荷占據(jù)的導(dǎo)體長(zhǎng)度會(huì)在S′系中收縮：

(24)

這樣，S′系中正電荷線密度為

(25)

則，在S′系中A導(dǎo)線凈電荷線密度為

(26)

利用線電荷密度產(chǎn)生電場(chǎng)的公式[4]， 則在S′系中無(wú)限長(zhǎng)的A導(dǎo)線中凈電荷在周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(27)

在S′系中B導(dǎo)線上運(yùn)動(dòng)電子受到的電場(chǎng)力為

(28)

利用式(6)兩個(gè)坐標(biāo)系中力的變換關(guān)系得到

(29)

在S系看來(lái)，B導(dǎo)線中運(yùn)動(dòng)電荷受到的力：一是利用電場(chǎng)的相對(duì)論變換式(23)得到的，另外一個(gè)力是通過(guò)相對(duì)論直接變換式(29)得到的。這兩個(gè)力之差為

f=F1-F2=

(30)

將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(31)

對(duì)于導(dǎo)線中運(yùn)動(dòng)電荷，一般情況下電荷速度遠(yuǎn)小于光速，式(31)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(32)

式(32)表示在S系中兩根導(dǎo)線通過(guò)電流時(shí)，通過(guò)力和場(chǎng)的變換得到f與經(jīng)典安培力表達(dá)式完全相同，說(shuō)明了可以直接通過(guò)相對(duì)論變換計(jì)算安培力。

總之，利用兩個(gè)參照系中電場(chǎng)和力的變換，可以推導(dǎo)出洛倫茲力與安培力，這對(duì)正確理解電磁場(chǎng)的相互轉(zhuǎn)換是非常有幫助的。

2 結(jié)語(yǔ)

利用狹義相對(duì)論力和場(chǎng)的變換關(guān)系可以完整推導(dǎo)出安陪力和洛倫茲力與電荷間庫(kù)侖力的關(guān)系，這對(duì)深入理解磁場(chǎng)的物理本質(zhì)是非常有意義的。

[1] 黃永順，李子軍.相對(duì)論情形下相對(duì)靜止運(yùn)動(dòng)電荷間的相互作用[J].漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，自然科學(xué)版,2010(01):79-83.HuangYongshun,LiZijun.Theinteractionbetweenrelativelystationarymotionchargesintherelativisticcase[J].JournalofZhangzhouNormalUniversity,NaturalScienceEdition, 2010(01): 79-83. (inChinese)

[2] 張祥雪,程艷霞,范秀華,等.洛倫茲力可看作靜止電荷所受電場(chǎng)力的相對(duì)論效應(yīng)[J].物理與工程， 2006，16(4):26-30.ZhangXiangxue,ChengYanxia,FanXiuhua,etal.Lorenzforcecanberegardedastherelativisticeffectoftheelectricfieldforceofstaticcharge[J].PhysicsandEngineering, 2006, 4(16): 26-30. (inChinese)

[3] 戴孟昆.洛倫茲力的相對(duì)論解釋[J].云南民族學(xué)院學(xué)報(bào)，自然科學(xué),2001, 10(2):329-331.DaiMengkun.Lorenz’stheoryofrelativity[J].JournalofYunnanInstitutefornationalities,(NaturalScience), 2001, 4(2): 329-313. (inChinese)

[4] 高景，等.大學(xué)物理教程(上、下)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社,2010.

[5] 趙凱華.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2003.

[6] 費(fèi)曼.費(fèi)曼物理(中譯本)第二卷[M].王子輔等，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2005:154.

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USING SPECIAL RELATIVISTIC EFFECTS TO CALCULATE THE LORENTZ FORCE BETWEEN AND AMPERE’S FORCE

Chen Yanru1Feng Shimeng2

(1Faculty of Mechanical Engineering and Power Energy;2Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)

With the continuous development in research on electromagnetic phenomena, people already realize the fact that magnetic phenomena source from the movement of charges and magnetic and electric fields are interrelated unity, which is called electromagnetic fields. Based on the fundamental theory of Lorentz transformation in special theory of relativity, this paper attempts to examine the relationship among the Lorentz force, the Coulomb force and the Ampere’s force by employing the difference of charge density between two coordinate systems and the relativistic transformation of the electric field and electrostatic force. Lorentz force and Ampere’s force are derived from the relativistic transformation of the electric field force, which might facilitate the understanding of the physical nature of the Lorentz force.

special relativity; electromagnetic force; Lorentz force; Ampere’s force

2016-08-05；

2017-02-28

陳彥儒，男,上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院學(xué)生；馮仕猛，男，副教授，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)物理，smfeng@sjtu.edu.cn。

陳彥儒，馮仕猛. 利用狹義相對(duì)論計(jì)算洛倫茲力和安培力[J]. 物理與工程，2017，27(4)：75-78.