陳奎孚

(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083)

轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧的微變形分析及其應(yīng)用

陳奎孚

(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083)

教材中經(jīng)典的彈簧振子的彈簧不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但工程上彈簧軸線會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)的情形比比皆是。彈簧軸線轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)造成幾何非線性，但是圍繞平衡位置的微幅振動(dòng)仍是振動(dòng)學(xué)習(xí)的最重要任務(wù)。本文先用解析法導(dǎo)出了彈簧微變形的近似表達(dá)式，再利用直觀的幾何關(guān)系驗(yàn)證這一表達(dá)式，而后者易于理解和記憶。利用3個(gè)例題對(duì)表達(dá)式的威力進(jìn)行了驗(yàn)證。

振動(dòng)；微變形；微幅振動(dòng)；線性振動(dòng)；幾何法；解析法

圖1(a)所示的模型是物理教材和振動(dòng)教材使用頻率最高的振動(dòng)系統(tǒng)[1,2]。該系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，彈簧軸線無轉(zhuǎn)動(dòng)，因而彈簧變形與系統(tǒng)的描述坐標(biāo)之間的關(guān)系就很簡(jiǎn)單。然而稍微復(fù)雜一點(diǎn)的工程問題中，彈簧軸線就可能有轉(zhuǎn)動(dòng)，比如圖1(b)和圖1(c)所示情形，因此工程專業(yè)的學(xué)生不能止步于教材中的經(jīng)典例題。此外，一些有趣的特殊振動(dòng)系統(tǒng)也要考慮彈簧軸線轉(zhuǎn)動(dòng)[3-5]。

圖1 振動(dòng)系統(tǒng)示例

無論采用分離體的方法，還是采用能量法，振動(dòng)分析都需要確定彈簧的變形量。但對(duì)于彈簧軸有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，變形量確定因幾何復(fù)雜性而對(duì)學(xué)生有挑戰(zhàn)性。本來這是技術(shù)問題，但是若該技術(shù)掌握不好，不僅導(dǎo)致分析速度的下降，更因分析的困難和近似因素取舍的糾結(jié)會(huì)使學(xué)生有挫折感，從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和信心。

彈簧軸有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形一般是非線性的，但振動(dòng)分析起碼要得到工程最關(guān)心的固有頻率, 此時(shí)就要研究振動(dòng)系統(tǒng)圍繞平衡位置的微幅振動(dòng)，這就退化為線性振動(dòng)。此外，研究微幅線性振動(dòng)也是進(jìn)一步深入分析不可或缺的一環(huán)。

圖2 彈簧在振動(dòng)中的改變

本文將針對(duì)微幅振動(dòng)的特殊性，利用解析法和幾何法兩種方法導(dǎo)出彈簧微變形的近似表達(dá)式。該近似表達(dá)式可以消除學(xué)生在分析同類問題時(shí)的挫折感。最后通過3個(gè)例子演示近似表達(dá)式的威力。

1 解析法

假定彈簧不抵抗彎曲，因而彈簧總是直的。在振動(dòng)過程中，彈簧的改變可分解為如下3種基本模式的組合(見圖2(a))：旋轉(zhuǎn)(AB→CD)、平移和伸縮。3種模式中只有伸縮會(huì)改變彈性勢(shì)能。我們來分析彈簧的伸縮量。

為了便于分析，把彈簧端點(diǎn)A和C重合起來，這樣就可以構(gòu)成一個(gè)△ABD，如圖2(b)所示。圖中β是AB和BD之間的夾角;γ是AB和AD之間的夾角。

由正弦定理有

(1)

即

(2)

因此彈簧伸長(zhǎng)量為

(3)

在微幅振動(dòng)過程中，β和γ發(fā)生偏離平衡參數(shù)的微變化，即β=β0+Δβ，γ=γ0+Δγ，其中：Δβ和Δγ均為微幅量;β0和γ0為平衡位置所對(duì)應(yīng)的參數(shù)。作為近似分析，將式(3)微分近似有

即

(4)

注意系統(tǒng)在靜平衡位置，AB和CD是重合的，即γ0=0，故式(4)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(5)

上式表明：δ近似式很簡(jiǎn)潔，且與Δβ無關(guān)。

β0是在靜平衡位置下的參數(shù)，但是如果只考慮靜平衡一個(gè)位置，則BD=0，這使得β0不確定。但若從β=β0+Δβ角度考慮，則β0是β當(dāng)Δβ→0的極限。當(dāng)Δβ→0，對(duì)單自由度系統(tǒng)必有B→D，這樣割線BD的方向就趨近于B的軌跡切線方向。因此β0為AB與B點(diǎn)軌跡切向之間的夾角。當(dāng)然，如果彈簧兩個(gè)端點(diǎn)都有運(yùn)動(dòng)(如圖1(c)中彈簧), 則為相對(duì)于A的軌跡(圖1(c)中B相對(duì)于A)。

2 幾何法

上述推導(dǎo)過程幾何意義不明顯，難于記憶。下面介紹有幾何意義的近似分析方法。圖3中，彈簧用抽象的桿表示。在AD上找到E點(diǎn)，使得AE=AB,這樣就有δ=ED。

圖3 幾何法

在△EBD中：∠D=π-β-γ；∠EBD=β-(π/2-γ/2)。由正弦定理有

即得

即

(6)

在微幅情形下，cos(β+γ/2)與cosβ0相差一個(gè)小量，而sin(β+γ)與sinβ0相差一個(gè)小量，因此式(6)可變?yōu)?/p>

(7)

如果注意到了BE=2lsin(γ/2)與lγ相差一個(gè)高階小量，那么式(7)就是式(5)。

很多時(shí)候BD的信息容易獲得，那么對(duì)△EBD再度使用正弦定理有

即有

再次使用γ和Δβ為小量的假設(shè)有

(8)

式(7)和式(8)的推導(dǎo)過程仍然難于記憶。下面給出較為容易記憶的方法。作∠A的角平分線交于圖3中的BE于F。因AB=AE而有AF垂直于BE。當(dāng)γ→0時(shí)，AB和AE趨于平行于AF，因而△BED趨近于∠BED為直角的三角形。

在近似直角△BED中，自然有

它們分別就是式(7)和式(8)。

注意： 上述易記的幾何法關(guān)鍵點(diǎn)是：以彈簧原長(zhǎng)為腰作等腰三角形；此三角形的高和兩腰在微幅振動(dòng)下都近似垂直于底邊；等腰三角形底邊、伸縮量和彈簧端點(diǎn)位移近似組成直角三角形(彈簧端點(diǎn)位移為斜邊)。

3 應(yīng)用

例題1 如圖4(a)所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。輪緣繞有軟繩，下端掛有質(zhì)量m，繩與輪緣之間無滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與a已知。求微幅振動(dòng)的固有頻率p。

解 圓盤轉(zhuǎn)過θ的分析示意見圖4(b)。按照通常近似處理，重力只影響平衡位置，所以忽略重力的影響。系統(tǒng)的動(dòng)能為

在圖4(b)的AD上找到E點(diǎn)使得AE=AB。在近似直角△DEB中，DB為斜邊。對(duì)微幅振動(dòng)DB≈aθ，因而彈簧伸長(zhǎng)量

δ=ED≈DBsin∠EBD≈-a θcosβ0

式中的靜平衡位置參數(shù)β0見圖4(c),易知它為180°，故δ≈aθ。這樣彈簧勢(shì)能

圖4 例題1圖

得到

例題2 圖5(a)中的均質(zhì)剛性桿，長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，桿處于鉛垂位置為系統(tǒng)靜平衡位置，此時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。求系統(tǒng)固有頻率p。

圖5 例題2圖

解AB發(fā)生θ角位移的分析見圖5(b)。系統(tǒng)動(dòng)能為

勢(shì)能包括彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能。選擇桿豎直為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn)。重力勢(shì)能

(9)

為求右邊彈簧的勢(shì)能，從FD′的延長(zhǎng)線找到E點(diǎn)使得FE=FD。在近似直角△DD′E中斜邊DD′≈θl/2是已知信息，因此彈簧縮短量

這樣右邊彈簧的勢(shì)能

得到

例題3 圖6(a)所示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m, 半徑為R, 只滾不滑，圖示為靜平衡位置，彈簧處于自然長(zhǎng)度。求其固有頻率p。

解 此題解答可參考文獻(xiàn)[6]。我們這里選擇圓柱體的柱心C的位移x為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)動(dòng)能為

圖6 例題3圖

在△BB′B″中，EB′≈BB′sin∠B′BE=BB′cos∠B′BH≈2xcos(θ/2)cosβ0。這里β0是靜平衡位置時(shí)的彈簧軸與B軌跡切線的夾角。由圖6(c)可知β0=θ/2。因此右邊彈簧縮短量為

這樣得到右邊彈簧的勢(shì)能為

類似地可以得到左邊彈簧的勢(shì)能

由瑞利法可以得到固有頻率

(10)

圖7 另一種方式確定例題3右邊彈簧壓縮量

其中β0是B′趨近于B″的極限方向(因?yàn)榭鄢藞A柱的平移分量，所以不再是B的絕對(duì)軌跡方向)與彈簧軸之間夾角。由圖7(b)的幾何關(guān)系得到β0=θ。因此右邊彈簧縮短量為

4 結(jié)語

工程上往往要分析彈簧軸有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形。本文針對(duì)最關(guān)心的微幅振動(dòng)的特殊性，推導(dǎo)了彈簧伸縮量的近似表達(dá)式。該表達(dá)式可大大降低相關(guān)問題的分析難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

本文建議了一種易記幾何法，其關(guān)鍵點(diǎn)是：找彈簧原長(zhǎng)的等腰三角形；此三角形的高和兩腰對(duì)微幅振動(dòng)情形都是近似垂直于底邊的；等腰三角形底邊、伸縮量和彈簧端點(diǎn)位移線段近似組成為直角三角形(彈簧端點(diǎn)位移線段為斜邊)。

[1] 王少杰,顧牡, 毛駿健. 大學(xué)物理學(xué)(下冊(cè))[M].2版. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社,2002:97-98.

[2] 陳奎孚. 機(jī)械振動(dòng)教程[M]. 北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,2014:6-9.

[3] 郭敏,閆誠(chéng)實(shí),王靖淇,等. 彈簧參與的微小振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎?[J]. 物理與工程,2015,25(3):41-43. Guo Min, Yan Chengshi, Wang Jingqi, et al. Is the micro vibration of spring a simple harmonic motion[J]. Physics and Engineering, 2015, 25(3): 41-43. (in Chinese)

[4] 陳奎孚,蔡春. 僅據(jù)平衡位置為系統(tǒng)彈性勢(shì)能零點(diǎn)就能使振子勢(shì)能為kx2/2嗎?[J]. 物理與工程, 2015,25(2):52-54. Chen Kuifu, Cai Chun. Can the concise form ofkx2/2 for the system potential enegy be taken for granted if merely the equilibrium position is chosen as the zero point of system potential energy?[J]. Physics and Engineering, 2015,25(2): 52-54. (in Chinese)

[5] 陳奎孚,蔡春.關(guān)于“對(duì)物理教材中兩個(gè)概念的討論”中“加減平衡力系”的商榷[J]. 物理與工程, 2015,25(1):59-60. Chen Kuifu, Cai Chun. Remarks on“discussion of two concepts in physics textbooks”[J]. Physics and Engineering, 2015, 25(1): 59-60. (in Chinese)

[6] 邢譽(yù)峰.工程振動(dòng)基礎(chǔ)——知識(shí)要點(diǎn)及習(xí)題解答[M]. 北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2004.

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THE MICRO-DEFORMATION ANALYSIS OF AN AXIS ROTATING SPRING AND ITS APPLICATION

Chen Kuifu

(College of Science, China Agricultural University, Beijing 100083)

The canonical vibrators in textbooks do not possess axis rotating springs; however this case is ubiquitous in engineering. The Spring axis rotation causes the geometrical nonlinearity, but it is an essential task to analyze the linear vibration in a micro-scale around its statically balanced configuration. However, this task is a daunting challenge to students because of the sophisticated geometrical relationship. The analytical approach was utilized to derive the approximate spring’s micro-deformation expressions, and then this expression was corroborated by a geometrical approach. The latter is easy to be assimilated and remembered. The power of the approximate expression was demonstrated by three examples.

Vibration; micro-deformation; micro-vibration; linear vibration; geometrical approach; analytical approach

2016-04-26

陳奎孚，男，教授，從事力學(xué)和振動(dòng)的教學(xué)研究，chenkuifu@cau.edu.cn。

陳奎孚. 轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧的微變形分析及其應(yīng)用[J]. 物理與工程，2017，27(4)：10-14.