湯昱薇， 謝霽明

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

高層建筑風(fēng)振分析中的模態(tài)組合問(wèn)題

湯昱薇， 謝霽明

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

大多數(shù)超高層建筑具有兩個(gè)側(cè)移振動(dòng)固有頻率非常接近的特點(diǎn)，使得風(fēng)振響應(yīng)分析中不能忽略其模態(tài)相關(guān)性。但目前普遍采用的SRSS(Square Root Squares)與CQC(Complete Quadratic Combination)模態(tài)組合方法存在理論上的不足，在實(shí)際工程應(yīng)用中不能正確把握風(fēng)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)特點(diǎn)，對(duì)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)一定的困惑甚至誤導(dǎo)。理論分析與數(shù)值計(jì)算證實(shí)了這兩種方法的缺陷。SRSS方法完全忽略了模態(tài)相關(guān)性。CQC方法雖然在一定程度上考慮了模態(tài)相關(guān)性，但未能反映模態(tài)相關(guān)性中的相位關(guān)系，導(dǎo)致過(guò)于保守的計(jì)算結(jié)果。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)的基本理論，可建立基于風(fēng)荷載互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合新方法(稱(chēng)為“CS模態(tài)組合法”)。這一方法能夠完整考慮相鄰模態(tài)之間的幅值相關(guān)性與相位相關(guān)性，原理清晰，計(jì)算簡(jiǎn)單，具有實(shí)際可操作性。與時(shí)域模擬結(jié)果的比較驗(yàn)證了這一新方法的可靠性與精確性。

高層建筑抗風(fēng)設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)風(fēng)效應(yīng)；模態(tài)相關(guān)性；模態(tài)組合法；CQC法；基于互譜密度函數(shù)的CS(Cross Spectrum)法

大多數(shù)超高層建筑采用幾乎正交對(duì)稱(chēng)的抗側(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，如圖1所示。這類(lèi)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性具有一個(gè)共同特點(diǎn)：兩個(gè)水平正交方向的振動(dòng)頻率非常接近，使得在結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算中必須考慮振動(dòng)模態(tài)之間的相關(guān)性。在不少工程實(shí)例中兩個(gè)水平正交模態(tài)的頻率比幾乎為1。

圖1 具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)體系的高層建筑示例

以圖2為例。模態(tài)1的振型位移方向與X軸成θ角，模態(tài)2的振型位移方向與Y軸也成θ角。這樣在計(jì)算沿結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸X方向的風(fēng)振響應(yīng)(例如加速度)時(shí)就必須考慮這兩個(gè)模態(tài)各自的貢獻(xiàn)以及這兩個(gè)模態(tài)之間的相關(guān)性。當(dāng)兩個(gè)模態(tài)的固有頻率相差很大時(shí)，模態(tài)相關(guān)性可忽略不計(jì)，于是可以采用對(duì)平方和取平方根的方法(簡(jiǎn)稱(chēng)SRSS方法)計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值。但當(dāng)這兩個(gè)模態(tài)的固有頻率相差不大以至模態(tài)相關(guān)性不可忽略時(shí)，SRSS方法會(huì)低估實(shí)際的動(dòng)力響應(yīng)。類(lèi)似問(wèn)題在求解沿X方向與Y方向的風(fēng)荷載組合(即考慮X-Y兩個(gè)方向同時(shí)作用的最大荷載)時(shí)也會(huì)遇到。

圖2 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的典型模態(tài)

計(jì)算沿結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸X方向的風(fēng)振響應(yīng)(例如加速度)時(shí)必須考慮這兩個(gè)模態(tài)各自的貢獻(xiàn)以及這兩個(gè)模態(tài)之間的相關(guān)性。在實(shí)際的工程實(shí)踐中，這一模態(tài)相關(guān)性問(wèn)題曾造成很大的困惑。設(shè)計(jì)人員在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)抗震設(shè)計(jì)時(shí)，通常采用一些商業(yè)軟件(例如ETABS)計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，包括固有頻率與模態(tài)振型。但將這些計(jì)算軟件應(yīng)用于上述對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)體系時(shí)，實(shí)際得到的振型主軸方向卻帶有一定的不確定性。這是因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)側(cè)移模態(tài)的固有頻率完全一致時(shí)，振型主軸方向?qū)嶋H上可沿任意水平方向(類(lèi)似圓桿懸臂梁)。但按目前通常采用的風(fēng)振響應(yīng)模態(tài)分析法，則是首先計(jì)算各模態(tài)的風(fēng)振響應(yīng)，然后進(jìn)行模態(tài)組合。當(dāng)振型主軸方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)方向不一致時(shí)，各振型中就出現(xiàn)X與Y方向的耦合。這樣在計(jì)算沿結(jié)構(gòu)坐標(biāo)的風(fēng)振響應(yīng)(包括動(dòng)力風(fēng)荷載與風(fēng)振加速度)時(shí)就涉及到各模態(tài)響應(yīng)中X分量或Y分量的組合。事實(shí)表明，采用傳統(tǒng)的SRSS組合方法或CQC(完全二次振型組合)方法得到的結(jié)果將受到各參與模態(tài)中X與Y分量的耦合程度影響，這顯然有悖于前述的對(duì)振型主軸方向任意性的理解。在實(shí)際工程中，初步設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)體系與設(shè)計(jì)深化后的結(jié)構(gòu)體系可能只有微小的調(diào)整，反映在結(jié)構(gòu)固有頻率上也只有微小的變化，但由計(jì)算軟件得到的X-Y模態(tài)耦合程度卻可能有明顯改變。從而按一般的風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算方法得到的設(shè)計(jì)風(fēng)荷載與風(fēng)振加速度也會(huì)有明顯改變，給設(shè)計(jì)人員帶來(lái)極大的困惑。

本文作者在實(shí)際工程實(shí)踐中較早注意到了這一問(wèn)題。并意識(shí)到造成這一問(wèn)題的根源在于缺乏對(duì)模態(tài)相關(guān)性的正確估計(jì)。為了考察模態(tài)相關(guān)性的影響，Xie等[1]對(duì)這類(lèi)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)體系采用SRSS與CQC兩種方法進(jìn)行了比較計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩種方法所得結(jié)果不但差異很大，而且所得結(jié)果都是振型耦合程度的函數(shù)。這在理論上是不合理的。根據(jù)對(duì)實(shí)際物理現(xiàn)象的研究，Xie等建議采用風(fēng)向坐標(biāo)對(duì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)振分析。按風(fēng)向坐標(biāo)分解得到的順風(fēng)向荷載與橫風(fēng)向荷載之間的相關(guān)性很小，從而可以弱化對(duì)模態(tài)相關(guān)性估計(jì)的要求。但之后的工程實(shí)踐證明這一改進(jìn)方法在實(shí)際應(yīng)用中是有困難的。在城市中心復(fù)雜的場(chǎng)地情況下，高層建筑受鄰近建筑物的氣動(dòng)干擾，風(fēng)向坐標(biāo)不一定完全對(duì)應(yīng)順風(fēng)向與橫風(fēng)向激勵(lì)。因此上述對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)體系風(fēng)振響應(yīng)分析的問(wèn)題并沒(méi)有完全得到解決。

本文從基本理論出發(fā)，分析了SRSS方法與CQC方法應(yīng)用于高層建筑風(fēng)振分析的局限性，提出了采用互譜密度函數(shù)計(jì)算模態(tài)相關(guān)性的新方法。并以一棟超高層建筑為例，通過(guò)時(shí)域模擬驗(yàn)證了這一新方法的準(zhǔn)確性。

本文中將這一基于互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合方法簡(jiǎn)稱(chēng)為CS方法。

1 高層建筑風(fēng)振響應(yīng)分析方法

迄今為止，確定高層建筑風(fēng)振響應(yīng)最常用也是最可靠的方法是風(fēng)洞試驗(yàn)與隨機(jī)振動(dòng)分析相結(jié)合的方法。

抗風(fēng)設(shè)計(jì)中僅考慮線性彈性階段，因此允許采用模態(tài)分解法將結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)以廣義坐標(biāo)的形式表達(dá)，即結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)可通過(guò)求解下列運(yùn)動(dòng)方程得到。

(1)

式(1)中與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的參數(shù)(如質(zhì)量、頻率、振型等)可以通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析得到，而與氣動(dòng)力有關(guān)的參數(shù)(即廣義氣動(dòng)力)的數(shù)值求解非常困難，目前還沒(méi)有成熟可靠的方法，所以需要通過(guò)風(fēng)洞模型試驗(yàn)直接測(cè)定。

1.1 廣義氣動(dòng)力的確定

風(fēng)洞試驗(yàn)的高頻測(cè)力天平方法HFFB(High Frequency Force Balance)是在20世紀(jì)80年代初建立的[2]。該方法巧妙地利用線性振型的廣義氣動(dòng)力與基底傾覆力矩之間僅差一個(gè)常數(shù)倍的特點(diǎn)，通過(guò)高頻天平量測(cè)基底傾覆力矩后直接求出廣義氣動(dòng)力。這一方法適用于當(dāng)時(shí)廣泛采用的剪切型結(jié)構(gòu)體系。在之后全球性的超高層建設(shè)熱潮中，框架核心筒結(jié)構(gòu)體系成為主流。對(duì)于這類(lèi)彎曲型高層建筑，風(fēng)工程師很快意識(shí)到由于非線性振型使得廣義氣動(dòng)力與基底彎矩之間的關(guān)系偏離了高頻測(cè)力天平方法的初始假定，從而使得高頻測(cè)力天平方法的精度會(huì)大打折扣[3]。

隨著電子掃描技術(shù)的成熟，20世紀(jì)90年代中期在風(fēng)洞試驗(yàn)中已經(jīng)可以做到幾乎同步地對(duì)幾百個(gè)壓力傳感器信號(hào)進(jìn)行快速采樣。這一技術(shù)被迅速地用于對(duì)整個(gè)建筑外表面風(fēng)壓的幾乎同步采樣，并通過(guò)對(duì)采樣數(shù)據(jù)按振型函數(shù)進(jìn)行加權(quán)積分的方法得到廣義氣動(dòng)力[4]。這一方法被稱(chēng)為高頻壓力積分法HFPI(High Frequency Pressure Integration)。在某些文獻(xiàn)中，這一方法也被不完全嚴(yán)格地稱(chēng)之為“同步測(cè)壓法”。由于高頻壓力積分法不需要對(duì)振型函數(shù)作線性假定，理論上可以測(cè)定任意高階模態(tài)的廣義氣動(dòng)力，這一方法曾一度被認(rèn)為在精度方面優(yōu)于高頻測(cè)力天平方法。但實(shí)踐證明高頻壓力積分法的精度不一定高于高頻測(cè)力天平方法。這是因?yàn)楦哳l壓力積分法蘊(yùn)含了一個(gè)基本假定：即假定每個(gè)測(cè)壓點(diǎn)的從屬面積內(nèi)的壓力是相同的。而大多數(shù)高層建筑覆面上都會(huì)有一些非結(jié)構(gòu)構(gòu)件，這些非結(jié)構(gòu)構(gòu)件產(chǎn)生的局部氣流擾動(dòng)使上述假定無(wú)法被真正滿足。此外，這一方法中的測(cè)壓點(diǎn)布置需要結(jié)合測(cè)試人員對(duì)建筑表面風(fēng)壓變化梯度的估計(jì)與經(jīng)驗(yàn)，不適當(dāng)?shù)臏y(cè)點(diǎn)布置也會(huì)明顯影響試驗(yàn)結(jié)果。這些使得高頻壓力積分法的精度比高頻測(cè)力天平方法更易受到人為因素的不利影響。對(duì)某些復(fù)雜外形建筑物的高頻壓力積分試驗(yàn)，往往還不得不增加基底天平試驗(yàn)。通過(guò)測(cè)試總的平均荷載達(dá)到驗(yàn)證高頻壓力積分試驗(yàn)可靠性的目的[5]。

考慮到絕大多數(shù)超高層建筑的風(fēng)振響應(yīng)是由其基本模態(tài)響應(yīng)決定的，風(fēng)工程研究人員再次將注意力放到高頻測(cè)力天平方法上，試圖在該方法中加入對(duì)非線性振型的修正，拓展其可適用的范圍[6]。在諸多的修正方法中，Xie等[7]建立的高頻測(cè)力多天平技術(shù)具有較好的實(shí)用性。這一方法不但解決了復(fù)雜連體結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)問(wèn)題，而且建立了精度與適用性較好的非線性振型處理方法，對(duì)扭轉(zhuǎn)廣義氣動(dòng)力也能得到合理的估計(jì)[8]，因而被很快應(yīng)用于包括臺(tái)北101大樓、迪拜塔以及上海中心大廈等一系列重要工程項(xiàng)目的抗風(fēng)設(shè)計(jì)。這一方法不需要對(duì)陣風(fēng)剖面作任何假定，而是在廣義氣動(dòng)力測(cè)定時(shí)增加基底剪力的信息，由此得到氣動(dòng)中心變化的時(shí)程，然后通過(guò)對(duì)陣風(fēng)壓剖面的瞬態(tài)擬合由以下公式計(jì)算廣義氣動(dòng)力。

(2)

目前高頻測(cè)力天平方法與高頻壓力積分方法已成為兩個(gè)互為補(bǔ)充的基本方法，用于測(cè)定高層建筑的外部風(fēng)荷載。

1.2 風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算

在確定氣動(dòng)力之后，可采用時(shí)域分析方法或頻域分析方法求解式(1)的運(yùn)動(dòng)方程。

時(shí)域方法采用逐步數(shù)值積分直接給出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的某一時(shí)程樣本，然后依據(jù)各態(tài)歷經(jīng)假定，對(duì)時(shí)程樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得到響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，包括平均值、均方差、峰值等等。時(shí)域方法對(duì)模態(tài)疊加也是在時(shí)域內(nèi)完成的，所以不需要對(duì)模態(tài)相關(guān)性作任何假定。例如加速度的均分差可由下式得到：

(3)

時(shí)域方法的不足之處在于缺乏對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性和結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間物理關(guān)系的清晰描述，因而一般不適合用于指導(dǎo)抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。此外時(shí)域方法的計(jì)算時(shí)間也比較長(zhǎng)。

頻域方法能清晰直觀地描述結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性和結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的物理關(guān)系，計(jì)算量較小，是目前風(fēng)工程研究與結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)中普遍采用的方法。

但頻域方法中的模態(tài)疊加是對(duì)統(tǒng)計(jì)量直接實(shí)施的，所以就需要估計(jì)各模態(tài)統(tǒng)計(jì)量之間的相關(guān)性。以加速度的均方差為例，其一般表達(dá)式可寫(xiě)為：

(4)

如果兩個(gè)模態(tài)頻率相差較大，則模態(tài)相關(guān)性可以忽略，即認(rèn)為當(dāng)j≠k時(shí)，Cjk≈0。式(4)可由此簡(jiǎn)化為：

(5)

式(5)稱(chēng)為SRSS模態(tài)組合法。

如果兩個(gè)模態(tài)頻率相差較小(例如小于10%)，則模態(tài)相關(guān)性一般不可以忽略。目前風(fēng)工程中主要衍用Wilson等[9]針對(duì)地震反應(yīng)譜分析提出的完全二次型組合法(CQC方法)，其中相關(guān)系數(shù)由下列近似表達(dá)式求出：

(6)

式中：ζj與ζk分別為j模態(tài)與k模態(tài)的結(jié)構(gòu)阻尼比；γjk為j模態(tài)與k模態(tài)的頻率比。

可以看出，ρjk是一個(gè)介于0和2之間的正值，因此蘊(yùn)含了模態(tài)相關(guān)性的同相位假定。但這樣就帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題：如果j與k模態(tài)振型為同號(hào)，則CQC組合結(jié)果將大于SRSS組合；反之若j與k模態(tài)振型為異號(hào)，則CQC組合結(jié)果將小于SRSS組合。根據(jù)模態(tài)分解法原理，不難證明j與k模態(tài)振型取同號(hào)或異號(hào)不改變實(shí)際加速度的方差。考慮到這一點(diǎn)，CQC在風(fēng)響應(yīng)計(jì)算中往往將式(4)寫(xiě)為：

(7)

這一處理雖然保證了對(duì)結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的估計(jì)偏于安全，但卻是本文引言中所述問(wèn)題的根源。

2 基于互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合法

描述結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)應(yīng)當(dāng)包括幅值和相位兩個(gè)方面，但傳統(tǒng)的CQC方法和SRSS方法在計(jì)算時(shí)缺省其中之一或兩者的相關(guān)信息。由于正交同性建筑的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，這一缺省將帶來(lái)可觀的誤差。

為了在頻域分析中完整保留兩個(gè)相鄰模態(tài)之間相關(guān)性的信息，本文從基本關(guān)系推導(dǎo)合適的模態(tài)組合方法。

對(duì)基本方程(1)兩邊進(jìn)行傅里葉變換，可以得到加速度的傅里葉變換為

(8)

式中：Hj為j模態(tài)加速度響應(yīng)的傳遞函數(shù)，其中實(shí)部與虛部分別為：

不難證明，j模態(tài)加速度的自譜為：

(9)

式中:

j模態(tài)與k模態(tài)加速度的互譜可表示為：

(10)

假設(shè)j模態(tài)與k模態(tài)的阻尼比相同，式(10)右端第二項(xiàng)中與傳遞函數(shù)有關(guān)的系數(shù)可展開(kāi)為：

(11)

由于模態(tài)相關(guān)性只有在模態(tài)頻率比較接近時(shí)才有考慮的必要，這里近似假定ωj≈ωk。式(11)表明實(shí)虛部交叉項(xiàng)對(duì)互譜的貢獻(xiàn)可以近似忽略。這樣式(10)就可以簡(jiǎn)化為：

(12)

式中:

對(duì)式(12)兩邊求積分，可以得到j(luò)模態(tài)與k模態(tài)加速度的協(xié)方差。

(13)

其中

(14)

由此得到模態(tài)組合的一般表達(dá)式：

(15)

由于這里的相關(guān)系數(shù)由廣義風(fēng)荷載的互功率譜求得，不但能反映模態(tài)響應(yīng)的幅值相關(guān)性，而且包含與模態(tài)振型一致的相位相關(guān)性。從而能夠在模態(tài)組合計(jì)算中完整地考慮模態(tài)相關(guān)性影響。

3 模態(tài)組合法的實(shí)例研究

以圖3所示超高層建筑的高頻測(cè)力天平試驗(yàn)為例，模型幾何比例1∶500，風(fēng)速比3∶1，采樣頻率為足尺情況下2 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為足尺情況下4小時(shí)。分別采用SRSS方法、CQC方法、本文提出的基于互譜密度函數(shù)的CS方法計(jì)算了該建筑的風(fēng)振加速度。然后與時(shí)域計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。時(shí)域方法是在時(shí)域內(nèi)完成模態(tài)疊加的，不需要對(duì)模態(tài)相關(guān)性作任何假定，所以在這里被作為檢驗(yàn)方法。

所考慮的大樓在建筑外形與結(jié)構(gòu)體系兩方面都有著很好的對(duì)稱(chēng)性，存在引言中所述的振型位移方向任意性的問(wèn)題。

圖3 超高層建筑實(shí)例及風(fēng)向角示意

風(fēng)洞試驗(yàn)中，風(fēng)向角的定義以正北向?yàn)榱愣龋槙r(shí)針計(jì)算，風(fēng)向角與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系統(tǒng)的關(guān)系見(jiàn)圖3。

實(shí)例分析中，考慮了以下三種工況。

(1) 工況1：假設(shè)兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的自振頻率完全相同，但振型主軸方向偏離結(jié)構(gòu)坐標(biāo)30°(θ=30°)，參見(jiàn)圖2。

(2) 工況2：假設(shè)兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的自振頻率完全相同，但振型主軸方向偏離結(jié)構(gòu)坐標(biāo)45°(θ=45°)。

(3) 工況3：假設(shè)兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的振型主軸方向仍偏離結(jié)構(gòu)坐標(biāo)30°(θ=30°)，但自振頻率比減至0.95。

圖4為工況1的計(jì)算結(jié)果?？煽闯霾捎帽疚奶岢龅腃S方法與時(shí)域方法得到的加速度均方根值完全相同，但采用SRSS方法與CQC方法得到的加速度數(shù)值則存在較大的誤差。

CS方法與時(shí)域方法所得結(jié)果表明最大加速度是由橫風(fēng)向風(fēng)振引起的。X方向的最大加速度出現(xiàn)在350°與170°附近，而Y方向的最大加速度則出現(xiàn)在80°與260°附近。然而采用SRSS方法與CQC方法計(jì)算后，這四個(gè)風(fēng)向在X與Y方向都會(huì)產(chǎn)生較大的加速度。這一錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果源于在處理振型耦合時(shí)對(duì)模態(tài)相關(guān)性的不正確考慮造成的。

在兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的自振頻率完全相同的情況下，將振型主軸方向繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)至45°(工況2)。所得結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯觯捎帽疚牡腃S方法與時(shí)域分析方法得到的加速度值和工況1完全相同，表明當(dāng)兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的自振頻率完全相同時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)與振型主軸方向的選取無(wú)關(guān)，這是符合實(shí)際情況的。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

但采用SRSS方法與CQC方法計(jì)算時(shí)，所得到的加速度值則錯(cuò)誤地受到振型主軸方向選取的影響。圖4與圖5的結(jié)果還表明，由于CQC方法考慮了幅值的相關(guān)性，所得到的加速度雖然偏保守，但與SRSS方法相比較為接近正確值。其主要問(wèn)題在于CQC方法沒(méi)能夠正確考慮相位相關(guān)性，造成對(duì)出現(xiàn)加速度峰值的風(fēng)向角估計(jì)錯(cuò)誤。在實(shí)際工程應(yīng)用中，圖4或圖5的結(jié)果還需要結(jié)合表征風(fēng)速風(fēng)向聯(lián)合概率分布的風(fēng)氣候模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后才能得到不同設(shè)計(jì)回歸期的最大加速度。對(duì)出現(xiàn)最大加速度的風(fēng)向角估計(jì)錯(cuò)誤，會(huì)導(dǎo)致過(guò)于保守的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載與不切實(shí)際的風(fēng)振舒適度評(píng)估。與此相比，采用SRSS組合方法則有可能得到過(guò)小的加速度值，導(dǎo)致不安全的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載。

圖6給出工況3的計(jì)算結(jié)果，其中第二模態(tài)的固有頻率提高了5%，使得兩個(gè)水平側(cè)移模態(tài)的自振頻率比減至0.95?？梢钥闯鲭S著頻率比的減小，模態(tài)相關(guān)性的影響得以降低，從而SRSS方法與CQC方法產(chǎn)生的誤差也明顯減小。同時(shí)還可以看出CS方法與時(shí)域分析方法兩者之間開(kāi)始出現(xiàn)微小的差別。這是因?yàn)殡S著頻率比偏離1，式(11)描述的荷載互譜中的實(shí)虛部交叉項(xiàng)不再為零，而在目前的CS方法中，為簡(jiǎn)化計(jì)算起見(jiàn)這一交叉項(xiàng)被省略了。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

本實(shí)例的進(jìn)一步計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)頻率比減至0.90時(shí)，各種組合方法的計(jì)算結(jié)果趨于一致，模態(tài)相關(guān)性的影響可以基本忽略。

以上討論了模態(tài)組合法在風(fēng)振加速度計(jì)算中的應(yīng)用，在結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載計(jì)算也同樣需要考慮模態(tài)組合法，其結(jié)論是類(lèi)似的。本文不再贅述。

雖然以上分析的對(duì)象是水平正交方向具有非常接近甚至完全相同結(jié)構(gòu)特性的建筑物，所提出的CS模態(tài)組合方法也適用于處理一般的模態(tài)相關(guān)性問(wèn)題。例如圖7所示結(jié)構(gòu)體系。這類(lèi)結(jié)構(gòu)的模態(tài)中通常存在側(cè)移與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合現(xiàn)象，其中側(cè)移為主的固有頻率和扭轉(zhuǎn)為主的固有頻率之間可能非常接近。因而可以采用本文方法正確計(jì)算其模態(tài)相關(guān)性與耦合風(fēng)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

圖7 側(cè)移與扭轉(zhuǎn)頻率接近的結(jié)構(gòu)示例

Fig.7 Example of a structure with similar frequencies in sway and rotating motions

4 結(jié) 語(yǔ)

大部分已建和待建的超高層建筑在兩個(gè)水平正交方向具有非常接近甚至完全相同的結(jié)構(gòu)特性，由此造成前兩階側(cè)移振動(dòng)的固有頻率非常接近。對(duì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)體系的結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載與風(fēng)振計(jì)算，必須考慮其模態(tài)相關(guān)性。

傳統(tǒng)的SRSS模態(tài)組合方法忽略相鄰模態(tài)之間的相關(guān)性，導(dǎo)致對(duì)風(fēng)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)的估計(jì)偏低，在應(yīng)用于實(shí)際工程項(xiàng)目時(shí)存在安全隱患。CQC模態(tài)組合方法考慮了相鄰模態(tài)之間的幅值相關(guān)性，但未能正確計(jì)入相鄰模態(tài)之間的相位相關(guān)性，造成對(duì)風(fēng)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)的估計(jì)過(guò)于保守，在應(yīng)用于實(shí)際工程項(xiàng)目時(shí)會(huì)帶來(lái)不必要的浪費(fèi)。對(duì)水平正交方向結(jié)構(gòu)特性完全相同的高層建筑，應(yīng)用SRSS或CQC方法時(shí)還可能忽略振型位移主軸方向任意性的基本事實(shí)，造成風(fēng)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)依賴(lài)于振型位移主軸方向的錯(cuò)誤結(jié)論。這不但帶來(lái)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)優(yōu)化中的困惑，更可能對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。

本文從基本理論出發(fā)，建立了基于風(fēng)荷載互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合新方法(CS模態(tài)組合方法)，這一方法完整考慮了相鄰模態(tài)之間的幅值相關(guān)性與相位相關(guān)性，原理清晰，計(jì)算簡(jiǎn)單，具有實(shí)際可操作性。與時(shí)域模擬結(jié)果比較證實(shí)了這一方法的可靠性與精確性。

所提出的CS模態(tài)組合方法也適用于處理一般的模態(tài)相關(guān)性問(wèn)題。

[1] XIE J, KUMAR S, GAMBLE S. Wind loading study for tall buildings with similar dynamic properties in orthogonal directions[P]. Proc., 11th Int. Conf. Wind Eng.Lubbock, Texas,2003.

[2] TSCHANZ T, DAVENPORT A G.The base balance technique for the determination of dynamic wind loads[J]. J. WindEng. Ind. Aerody.,1983, 13:429-439.

[3] BOGGS D W. Validation of the aerodynamic model method[J]. J. Wind Eng. Ind. Aerody., 1992, 42(1): 1011-1022.

[4] IRWIN P A, KOCHANSKI W W. Measurement of structural wind loads using the high frequency pressure integration method[P]. Proc. ASCE Structures Congress, Boston, 1995:1631-1634.

[5] XIE J, TO A. Design-orientated wind engineering studies for CCTV new building[P]. Proc. 6th Asia-Pacific Conf. on Wind Eng., Seoul, Korea,2005.

[6] HOLMES J D. Mode shape corrections for dynamic response to wind[J]. J. Eng. Struct., 1987, 9(3): 210-212.

[7] XIE J, IRWIN P A. Application of the force balance technique to a building complex[J]. J. Wind Eng. Ind. Aerody., 1998,77/78(98): 579-590.

[8] XIE J, GARBER J. HFFB technique and its validation studies[J]. Wind & Structures,An International Journal,2014,18(18):375-389.

[9] WILSON E L, DER KIUREGHIAN A, BAYO E R. A replacement for the SRSS method in seismic analysis[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1981,9(2):187-192.

Mode combinations in wind-induced vibration analysis of tall buildings

TANG Yuwei, XIE Jiming

(School of Civil Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

Most super-tall buildings have a feature of their first two sway modes’ natural frequencies being very close to each other，so in their wind-induced vibration analysis their mode correlations cannot be ignored. However, the current adopted mode combination methods of SRSS and CQC have shortcomings in theory and can’t handle correctly the features of wind-induced structural responses in actual applications to bring structural anti-wind optimization design a certain confusion even misleading. Here, the shortcomings of these two methods were verified through theoretical analysis and numerical computation. SRSS method fully neglected mode correlations. Although CQC method considered mode correlations to a certain extent, it couldn’t reflect the phase relation in mode correlations to cause too conservative computation results. Based on the fundamental principles of random vibration, a new method of mode combinations named the CS method based on cross spectral density function was proposed here. It was shown that the new method can fully consider amplitude correlations and phase correlations between adjacent modes; its principle is clear, and it is easy to calculate. The reliability and correctness of this method were verified through comparing its results with those of simulation in time domain.

tall buildings; anti-wind design; wind effect of structure; mode correlations; mode combinations; CQC method; CS method based on cross spectral density function

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51578505)

2016-02-23 修改稿收到日期：2016-07-04

湯昱薇 女，碩士生，1993年生

謝霽明 男，教授，博士生導(dǎo)師,1955年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.003