譚安全，劉敬喜，李天勻，朱翔

（1．中國(guó)船級(jí)社重慶分社，重慶401121；2.華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074）

復(fù)合材料層合圓柱殼的振動(dòng)特性

譚安全1，劉敬喜2，李天勻2，朱翔2

（1．中國(guó)船級(jí)社重慶分社，重慶401121；2.華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074）

文章基于Love殼體理論，對(duì)復(fù)合材料層合圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。通過(guò)比較，文中計(jì)算方法所得的結(jié)果與文獻(xiàn)比較吻合。運(yùn)用該方法，討論了簡(jiǎn)支、固支和自由等邊界條件，軸向模態(tài)和鋪層角度對(duì)圓柱殼振動(dòng)特性的影響。分析表明，在低階周向模態(tài)時(shí)，邊界條件和軸向模態(tài)的影響更大。

復(fù)合材料圓柱殼；振動(dòng)；邊界條件；周向模態(tài)

0 引言

復(fù)合材料因其自身的高比強(qiáng)度、比剛度和減振性能好等優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于各工程領(lǐng)域中。由于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的各向異性，其振動(dòng)特性必然不同于各向同性結(jié)構(gòu)，因此對(duì)復(fù)合材料圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行研究很有必要。針對(duì)各向同性梁、板和殼的振動(dòng)特性研究[1-5]已很成熟，但對(duì)于復(fù)合材料層合圓柱殼的振動(dòng)特性研究則較少。陳輝[6]利用最小勢(shì)能原理給出了復(fù)合材料圓柱殼的自振頻率的計(jì)算方法。Chen[7]則基于三維彈性理論考察了層合板的自由振動(dòng)。Aydogdu[8]運(yùn)用瑞利—里茲法研究了不同邊界條件下層合梁的振動(dòng)特性。本文基于Love殼體理論導(dǎo)出了任意鋪層復(fù)合材料圓柱殼的自由振動(dòng)方程，考慮耦合效應(yīng)的影響，對(duì)不同鋪層數(shù)的復(fù)合材料層合圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。

1 理論分析

分析一有限長(zhǎng)彈性薄壁復(fù)合材料層合圓柱殼，坐標(biāo)系及周向模態(tài)如圖1所示。x、θ和r分別表示圓柱殼的軸向、周向和徑向坐標(biāo)，u、v和w分別表示圓柱殼中面的軸向位移、周向位移和徑向位移。殼厚為h，中面半徑為R，縱向彈性模量為E1、橫向彈性模量為E2、主泊松比為μ1、次泊松比為μ2、殼體密度為ρ、面內(nèi)剪切模量為G、殼體長(zhǎng)度X和鋪層數(shù)L。

由Love殼體理論[9]得：

圖1 圓柱殼坐標(biāo)系及周向模態(tài)示意圖Fig.1 Coordinate system and circumferential modes

式中：圓柱殼的內(nèi)力可以表示為：

對(duì)于薄殼，（2）式中的應(yīng)力可以用廣義胡克定律寫(xiě)成：

方程（3）中的應(yīng)變部分用Love殼體理論表示為厚度z的函數(shù)

式中：ex、eθ和γxθ為距離參考面z處的軸向、周向和剪切應(yīng)變，e1、e2和γ分別為參考面應(yīng)變，k1、k2和τ為參考面曲率。參考面的應(yīng)變和曲率可以表示為：

將（5）式和（6）式代入（3）式中，然后將結(jié)果代入（2）式中，圓柱殼的內(nèi)力最終可以表示為如下矩陣形式：

式中：Aij、Bij和Dij分別表示拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度。蔡氏不變量：

令V1=cos2θi，V2=cos4θi，V3=sin2θi，V4=sin4θi，θi表示復(fù)合材料層合圓柱殼各層的鋪層角度，則有：

殼體振動(dòng)時(shí)周向取駐波形式的解，考慮到振動(dòng)波沿殼體軸向的傳播，因此用波傳播方法將殼體中面位移表示為：

式中：Um、Vm和Wm是x、θ和r方向的振幅，km為軸向波數(shù)，m和n分別是軸向和周向模態(tài)階數(shù)，ω是圓頻率（rad/s）。

將（7）、（10）式和（11）式代入到(1)式中，得到圓柱殼的自由振動(dòng)微分方程，將其表示為如下矩陣形式：

由（12）式可得：

通過(guò)（13）式，可以獲得有限長(zhǎng)復(fù)合材料層合圓柱殼的固有頻率，因此，可將（13）式轉(zhuǎn)換為：

上式是關(guān)于ω2的三階代數(shù)方程，對(duì)于每一個(gè)km和n有3對(duì)不同的頻率，3個(gè)正根，3個(gè)負(fù)根。其中，3個(gè)正根分別代表復(fù)合材料層合圓柱殼的軸向、周向和徑向環(huán)頻率，最小的根代表彎曲振動(dòng)，其它兩個(gè)則為平面振動(dòng)。

根據(jù)Zhang[1]提出的不同邊界條件下所對(duì)應(yīng)的波數(shù)，如表1所示（F：自由，C：固支，S：簡(jiǎn)支）。

2 計(jì)算與討論

為了驗(yàn)證本文分析的正確性，將所得結(jié)果與Lam[10]和Zhang[11]進(jìn)行了對(duì)比。表2給出的復(fù)合材料層合圓柱殼鋪層數(shù)為3層，鋪層角度為90/0/90，兩端簡(jiǎn)支時(shí)的自由振動(dòng)頻率，無(wú)量綱頻率。

表1 各邊界條件下的波數(shù)Tab.1 Wave numbers of all kinds of boundary conditions

表2 兩端簡(jiǎn)支時(shí)鋪層角度為[90/0/90]的圓柱殼自由振動(dòng)頻率比較（h/R=0.002）Tab.2 Comparison of the natural frequencies parameters for a three-layered,cross-ply [90/0/90]cylindrical shell with SS boundary conditions(h/R=0.002)

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)結(jié)果吻合很好，表明本文的推導(dǎo)和計(jì)算程序是正確、可靠的。

本文計(jì)算了對(duì)稱鋪層數(shù)分別為4、6和8層的有限長(zhǎng)復(fù)合材料層合圓柱殼的振動(dòng)特性。參數(shù)如下：殼體厚徑比h/R=0.002，橫向彈性模量E2=8.0 GN/m2，縱向彈性模量E1=2E2，泊松比μ1=0.25，殼體密度ρ=1 640 kg/m3，殼體長(zhǎng)徑比X/R=10，鋪層角度分別為（0/90）S、（0/60/-60）S和（0/45/90/-45）S。

圖2（a）-（c）給出了不同鋪層數(shù)的復(fù)合材料層合圓柱殼在兩端固支（C-C）、兩端簡(jiǎn)支（S-S）、一端固支一端簡(jiǎn)支（C-S）和一端固支一端自由（C-F）四種邊界條件下，頻率隨周向模態(tài)的變化曲線。當(dāng)殼體在低階模態(tài)時(shí)，不同的邊界條件對(duì)殼體的自由振動(dòng)影響很大，頻率從高到低依次為：C-C、C-S、S-S和C-F。隨著周向模態(tài)n的增大，不同邊界條件對(duì)殼體振動(dòng)的影響逐漸減小，最終趨于一致。

圖2 各邊界條件對(duì)殼體振動(dòng)頻率的影響（m=1）Fig.2 Influences of boundary conditions on vibration frequence for cylindrical shells

通過(guò)計(jì)算，四種邊界條件對(duì)不同鋪層數(shù)殼體自由振動(dòng)頻率的影響趨于一致。為便于說(shuō)明，圖3只給出了兩端固支（C-C）邊界時(shí)，鋪層角度為（0/90）S、（0/60/-60）S和（0/45/90/-45）S的殼體振動(dòng)頻率隨周向模態(tài)的變化曲線。隨著周向模態(tài)的增大，邊界條件對(duì)不同鋪層數(shù)殼體振動(dòng)的影響逐步由無(wú)到有，從小到大。殼體頻率由高到低依次為（0/45/90/-45）S、（0/90）S和（0/60/-60）S的鋪層角度。

圖4給出了鋪層角度為（0/60/-60）S，兩端簡(jiǎn)支的殼體在不同軸向模態(tài)時(shí)，周向模態(tài)對(duì)殼體自由振動(dòng)的影響曲線。當(dāng)周向模態(tài)較低時(shí)，不同軸向模態(tài)數(shù)對(duì)殼體自由振動(dòng)影響較大，并隨著周向模態(tài)的增大而減小，最終趨于一致。對(duì)于某一周向模態(tài)n，軸向模態(tài)m越大，殼體的振動(dòng)頻率越高。

圖3 固支邊界條件對(duì)不同鋪層數(shù)殼體振動(dòng)頻率的影響（m=1）Fig.3 Influences of CC conditions on vibration frequence for cylindrical shells with different layers(m=1)

圖4 簡(jiǎn)支邊界條件對(duì)殼體振動(dòng)頻率的影響Fig.4 Influences of SS conditions on vibration frequence for cylindrical shells

3 結(jié)論

基于Love殼體理論，針對(duì)不同鋪層角度的復(fù)合材料層合圓柱殼在各邊界條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，并將所得結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了比較，結(jié)果吻合得很好。從中可以得到以下結(jié)論：

（1）各邊界條件對(duì)殼體自由振動(dòng)的影響在周向模態(tài)較小時(shí)較大，隨著n的增大，影響逐漸較小，對(duì)于某一周向模態(tài)C-C時(shí)殼體頻率最大，依次為C-S、S-S和C-F。

（2）各邊界條件對(duì)不同鋪層角度殼體的自由振動(dòng)的影響，隨著周向模態(tài)的增大而逐漸增大。鋪層角度為（0/45/90/-45）S的殼體振動(dòng)頻率最高，（0/90）S次之。

（3）軸向模態(tài)對(duì)殼體自由振動(dòng)的影響也是在n較小時(shí)出現(xiàn)，并且軸向模態(tài)m越大，殼體的振動(dòng)頻率越高。

[1]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Frequency analysis of cylindrical panels using a wave propagation approach[J].Applied Acoustics,2001,62(3):527-543.

[2]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach[J].Journal of Sound and Vibration,2001,239(3):397-403.

[3]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach[J].Applied Acoustics,2001,62(4):229-243.

[4]Yan J,Li F Ch,Li T Y.Vibrational power flow analysis of a submerged viscoelastic cylindrical shell with wave propagation approach[J].Journal of Sound and Vibration,2007,303(1-2):264-276.

[5]Zhang X M.Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach[J].International Journal of Mechanical Sciences,2002,44(7):1259-1273.

[6]陳輝.復(fù)合材料圓柱殼的振動(dòng)頻率分析[J].纖維復(fù)合材料,1989,3(12):12-21. Chen H.Analysis of vibration frequency on laminated composite cylindrical shell[J].Fiber Composites,1989,3(12):12-21.

[7]Chen W Q,Lu C F.3D free vibration analysis of cross-ply laminated plates with one pair of opposite edges simply supported[J].Composite Structures,2005,69(1):77-87.

[8]Aydogdu M.Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method[J].International Journal of Mechanical Sciences,2005,47(11):1740-1755.

[9]Love A E H.A treatise on the mathematical theory of elasticity[M].Cambridge:Cambridge University,1952:242-260.

[10]Lam KY,Loy C T.Analysis of rotating laminated cylindrical shells by different thin shell theories[J].Journal of Sound and Vibration,1995,186(1):23-35.

[11]Zhang X M.Vibration analysis of cross-ply laminated composite cylindrical shells using the wave propagation approach [J].Applied Acoustics,2001,62(11):1221-1228.

[12]Sarmila Sahoo.Free vibration of laminated composite stiffened hyperbolic paraboloid shell panel with cutout[J].Journal of Physics:Conference Series,2016(1):52-63.

[13]Viswanathan K K,Lee Sang-Kwon.Free vibration of laminated cross-ply plates including shear deformation by spline method[J].International Journal of Mechanical Sciences,2007,49(3):352-363.

[14]Sarmila Sahoo.Free vibration behavior of laminated composite stiffened elliptic parabolic shell panel with cutout[J].Curved and Layered Structures,2015(1):162-182.

[15]Lam K Y,Qian Wu.Free vibration of symmetric angle-ply thick laminated composite cylindrical shells[J].Composites Part B:Engineering,2000,31(4):345-354.

[16]Sarmila Sahoo.Laminated composite stiffened cylindrical shell panels with cutouts under free vibration[J].International Journal of Manufacturing,Materials,and Mechanical Engineering(IJMMME),2015(3):37-63.

[17]Dey Tanish,Ramachandra L S.Non-Linear vibration analysis of laminated composite circular cylindrical shells[J].Composite Structures,2016(6):135-148.

[18]蔡四維.復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京:人民交通出版社,1987:7-38.

Vibrational characteristics of laminated composite cylindrical shell

TAN An-quan1,LIU Jing-xi2,LI Tian-yun2,ZHU Xiang2
(1.China Classification Society Chongqing Branch,Chongqing 401121,China;2.College of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

Based on the Love theory,the vibrational characteristics of laminated composite cylindrical shell are studied.The obtained results were evaluated with those in the literature and both are in agreement.With this method,the influences of boundary conditions,axial modes and fiber angles on the vibrational characteristics of cylindrical shell are investigated.It is concluded that the influences of boundary conditions and axial modes can be seen to be more significant at small circumferential modes than at large circumferential modes.

composite cylindrical shell;vibration;boundary condition;circumferential mode

O343

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.08.013

1007-7294（2017）08-1035-06

2016-12-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40976058）

譚安全（1986-），男，工程師，E-mail:tananquan@126.com；劉敬喜（1975-），男，副教授。