孫佳杰，楊柯，葛彤

（1.杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州310018；2.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240）

基于凱恩動力學(xué)的AUV建模

孫佳杰1，楊柯1，葛彤2

（1.杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州310018；2.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240）

推導(dǎo)出基于凱恩動力學(xué)的AUV運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程。采用廣義速度取代速度和角速度，給出了廣義慣性力和廣義主動力的計算方法。推導(dǎo)出作用在AUV上的水動力的計算方法，并通過仿真實驗給出了水動力系數(shù)。為了驗證該模型的有效性，對AUV的深度控制、前進(jìn)距離控制進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果表明，該模型是有效的。

凱恩動力學(xué)；AUV；建模；廣義速度

0 引言

計算機(jī)建模和仿真可以為機(jī)器人的研究提供巨大的幫助。動力學(xué)模型可以通過調(diào)整設(shè)計參數(shù)和水動力系數(shù)優(yōu)化機(jī)器人的性能。AUV的動力學(xué)模型是研究AUV運(yùn)動控制以及機(jī)械設(shè)計的基礎(chǔ)。機(jī)器人的動力學(xué)可以采用理論力學(xué)和分析力學(xué)的動力學(xué)方程（例如，Newton-Euler（N-E）動力學(xué)方程、Lagrange-Euler（L-E）方程、Routh方程、Appell方程、Kane方程）來分析。采用不同的建模方法對同一機(jī)器人進(jìn)行建模，最終結(jié)果是相同的。但是，運(yùn)算速度和質(zhì)量有很大差別。而運(yùn)算速度和質(zhì)量恰恰是實時控制的關(guān)鍵[1-2]。

N-E方程包含機(jī)器人模塊間的相互作用力，很難消除該作用力以便獲得機(jī)器人運(yùn)動與受力之間的清晰表達(dá)式[3]。因此，N-E方程主要用于機(jī)器人設(shè)計階段的受力分析。L-E方程、Routh方程和Appell方程通常為非線性差分方程，求解該方程時耗時長、運(yùn)算速度慢[4-6]。Kane方程是1970年發(fā)展起來的分析力學(xué)的分支，方程的形式非常簡單（只需加、減、乘、除運(yùn)算），因此，非常適合創(chuàng)建復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)方程用于實時控制。例如，夏丹[7]提出了基于Kane動力學(xué)的機(jī)器魚的波狀運(yùn)動模型；李新友[8]創(chuàng)建了基于Kane動力學(xué)的3UPS/S關(guān)聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型；沈飛[9]提出基于Kane動力學(xué)的機(jī)器海豚動力學(xué)模型；Cheng[10]分析了四自由度平行髖關(guān)節(jié)模擬器的運(yùn)動學(xué)；Liu[11]提出采用Kane動力學(xué)方程創(chuàng)建多體系統(tǒng)的動力學(xué)方程。Yang[12-13]推導(dǎo)出基于Kane動力學(xué)方程的水下蛇形機(jī)器人和水下四足行走機(jī)器人的動力學(xué)模型。

盡管Kane動力學(xué)已經(jīng)出現(xiàn)在一些機(jī)器人的建模中，基于Kane動力學(xué)的AUV動力學(xué)模型仍然沒有出現(xiàn)。本文提出了基于Kane動力學(xué)的AUV建模方法，該方法消除了N-E方程中的相互作用力和L-E方程中的勢能或Gibbs方程。Kane方程采用廣義速度，可以為非正交約束系統(tǒng)選取一組相互獨(dú)立的運(yùn)動變量，以便獲得一階差分方程形式的動力學(xué)模型。Kane方法可以將外部環(huán)境的作用力直接添加到AUV動力學(xué)方程，該方程可以方便地轉(zhuǎn)化為適用于控制的閉環(huán)形式。AUV動力學(xué)方程可以為“哪些力真正影響動力學(xué)模型”提供物理解釋。

1 水動力

1.1 水動力計算公式

AUV在運(yùn)動過程中受到的水動力主要包括：浮力、附加質(zhì)量力、附加質(zhì)量矩、柯氏力、柯氏力矩、拖曳力和拖曳力矩。浮力可表示為

式中：ρ表示流體的密度；V表示AUV排開水的體積；g表示重力加速度。

附加質(zhì)量力和附加質(zhì)量矩取決于AUV的形狀?？紤]到AUV的對稱性和載體坐標(biāo)系原點的位置，附加質(zhì)量力和附加質(zhì)量矩可以表示為：

圖1 AUV慣性坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系Fig.1 The inertia frame and body frame of AUV

式中：u、v、w表示AUV速度在載體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的分量；p、q、r表示AUV角速度在載體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的分量，如圖1所示；Xu˙、Yv˙、Zw˙表示與加速度相關(guān)的水動力系數(shù)；Kp˙、Mq˙、Nr˙表示與角加速度相關(guān)的水動力系數(shù)。

柯氏力和柯氏力矩可以表示為

式中：m表示AUV本體的質(zhì)量；Ix、Iy、Iz表示AUV本體相對于載體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的中心轉(zhuǎn)動慣量，如表1所示；α1、α2、α3、β1、β2和β3可以表示為

拖曳力和拖曳力矩分別為

表1 AUV本體的參數(shù)Tab.1 Parameters of AUV body

式中：Xu、Yv、Zw表示與速度相關(guān)的水動力系數(shù)；Kp、Mq、Nr表示與角速度相關(guān)的水動力系數(shù)；分別表示與相關(guān)的水動力系數(shù)。

有水流存在的情況下，AUV相對于水流的速度可以表示為

式中：uf、vf、wf為水流速度在載體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸方向的分量。u′、v′、w′代替上述中的u、v、w即可獲得水流作用下的水動力計算公式。

1.2 水動力系數(shù)

我們采用CFD軟件設(shè)計AUV外形，通過Gambit導(dǎo)入AUV外形并對流體區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最后將網(wǎng)格劃分后的結(jié)果導(dǎo)入Fluent軟件，設(shè)置邊界條件，計算水動力系數(shù)。計算獲得的水動力系數(shù)如表2～5所示，剩余水動力系數(shù)的取值為0。

表2 與速度相關(guān)的水動力系數(shù)Tab.2 Hydrodynamic coefficients associated with the velocity

表3 與速度的二次方相關(guān)的水動力系數(shù)Tab.3 Hydrodynamic coefficients associated with the square of the velocity

表4 與加速度相關(guān)的主要水動力系數(shù)Tab.4 The main hydrodynamic coefficients associated with the acceleration velocity

表5 與加速度相關(guān)的耦合水動力系數(shù)Tab.5 The coupling hydrodynamic coefficients associated with the acceleration velocity

2 運(yùn)動學(xué)分析

本小節(jié)推導(dǎo)出AUV的速度、角速度、加速度、角加速度、偏速度和偏角速度的計算公式。速度對第r個廣義速率求偏導(dǎo)數(shù)即可得到第r個偏速度，角速度對第r個廣義速率求偏導(dǎo)數(shù)即可得到第r個偏角速度。為了便于描述我們引入Z函數(shù)。

2.1 廣義坐標(biāo)與廣義速度

AUV可以等效為6自由度的剛體，因此，廣義坐標(biāo)可以定義為

式中：x0、y0、z0表示AUV質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的位置；φ、θ、ψ表示AUV相對于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)角。

廣義速度可以定義為

本文用到兩個坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系和載體坐標(biāo)系，如圖1所示。兩個坐標(biāo)系之間可以通過坐標(biāo)變換矩陣相互關(guān)聯(lián)。從慣性坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的變換矩陣可以表示為

式中：Z1=sinθ，Z2=cosφ，Z3=sinφ，Z4=cosθ，Z7=sinψ，Z9=cosψ。

2.2 運(yùn)動學(xué)相關(guān)變量的計算

角速度可以表示為

式中：nx、ny、nz為x、y、z軸方向的單位矢量；Z5=Z3Z4，Z6=Z2Z4。

AUV質(zhì)心的速度可以表示為

式中：Z8＝Z4Z7，Z10＝Z4Z9，Z11＝Z2Z9+Z1Z3Z7，Z12＝Z1Z3Z9-Z2Z7，Z13＝Z3Z7+Z1Z2Z9，Z14＝Z1Z2Z7-Z3Z9。

AUV上任意點的速度可以寫成

式中：r為質(zhì)心（載體坐標(biāo)系原點）到任意點的矢徑；（xa,ya,za）表示任意點在載體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

角加速度為

式中：Z15=Z4u5u6，Z16=Z6u4u6-Z3u4u5-Z1Z3u5u6，Z17=-Z2u4u5-Z1Z2u5u6-Z5u4u6。

加速度為

AUV上任意點的偏速度為

偏角速度為

3 動力學(xué)分析

本小結(jié)推導(dǎo)出基于凱恩動力學(xué)的AUV動力學(xué)方程。在推導(dǎo)過程中，首先計算出作用在AUV上的廣義主動力和廣義慣性力。作用在AUV上的力與作用點處的第r個偏速度點積，即可獲得力對第r個廣義主動力的貢獻(xiàn)，力矩與第r個偏角速度求點積，即可得到力矩對第r個廣義主動力的貢獻(xiàn)。慣性力和慣性矩分別與偏速度和偏角速度求點積，即可得到慣性力和慣性矩對廣義慣性力的貢獻(xiàn)。

3.1 廣義主動力和廣義慣性力

作用在AUV上的力包括：慣性力F*、慣性矩T*、重力G、浮力B、附加質(zhì)量力FA和附加質(zhì)量矩MA、柯氏力FC和柯氏力矩MC、拖曳力FD和拖曳力矩MD、推進(jìn)器的推力T1,T2,…,T6。慣性力、重力、附加質(zhì)量力、柯氏力和拖曳力的作用點為質(zhì)心，令（15）式中的xa=0，ya=0，za=0即可得到質(zhì)心處的偏速度。同理，令（15）式中的xa、ya、za分別取浮心、推力作用點的坐標(biāo)，即可得到浮心、推力作用點處的偏速度。

慣性力和慣性矩可以表示為

AUV本體對廣義慣性力的貢獻(xiàn)，可通過慣性力與質(zhì)心處的偏速度點積、慣性矩與偏角速度點積獲得。

重力對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

浮力對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

拖曳力和拖曳力矩對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

式中：FD,x、FD,y和FD,z為拖曳力在載體坐標(biāo)系下的三個分量；TD,x、TD,y和TD,z為拖曳力矩在載體坐標(biāo)系下的三個分量。

附加質(zhì)量力和附加質(zhì)量矩對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

柯氏力和柯氏力矩對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

推力對廣義主動力的貢獻(xiàn)為：

3.2 AUV凱恩動力學(xué)模型

AUV的凱恩動力學(xué)模型可以表示為

式中：

4 仿真驗證

我們采用Matlab/Simulink中得S函數(shù)創(chuàng)建AUV凱恩動力學(xué)方程，在Simulink中設(shè)計AUV的控制系統(tǒng)，分別對AUV的深度控制（圖2）和前進(jìn)距離控制（圖3）進(jìn)行仿真。

由圖2可以看出，0～16 s為AUV下潛的過程，16 s后，AUV達(dá)到期望的深度10m，并保持該深度不變。由圖3可以看出，0～20 s為AUV前進(jìn)的過程，20 s后，AUV達(dá)到期望的前進(jìn)距離。仿真結(jié)果表明，我們創(chuàng)建的AUV模型是正確的。

圖2 AUV深度控制Fig.2 The deep control of AUV

圖3 AUV前進(jìn)控制Fig.3 The forward control of AUV

5 結(jié)論

通過仿真實驗，獲得了AUV的水動力系數(shù)。詳細(xì)介紹了基于凱恩動力學(xué)的AUV建模方法。通過該方法可以清晰地看出哪些力對AUV的動力學(xué)方程起作用。基于凱恩動力學(xué)建立的AUV模型，可以方便地轉(zhuǎn)化成適用于控制的閉環(huán)形式。通過仿真，驗證了基于凱恩動力學(xué)建立的AUV模型的有效性。

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Modeling of AUV based on Kane dynamics

SUN Jia-jie1,YANG Ke1,GE Tong2
(1.School of Mechanical Engineering,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China;2.School of Naval Architecture,Ocean and Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

Kinematics and dynamics for AUV are developed.The generalized active force and the generalized inertia force are deduced by means of replacing velocity and angular velocity by generalized velocity. The equations of hydrodynamic forces of AUV are deduced.Hydrodynamic coefficients are determined through simulation.The simulations of depth control and forward distance control are implemented to verify the dynamic model of AUV.Simulation results show that the dynamic model is effective.

Kane dynamics;AUV;model;generalized velocity

TP242.6

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.08.004

1007-7294（2017）08-0960-08

2017-03-11

國家自然科學(xué)基金項目（51309133）；杭州電子科技大學(xué)科研啟動基金項目資助（ZX150204301002/006）

孫佳杰（1998-），男，本科；楊柯（1983-），男，博士，講師，E-mail:yjs2yangke@163.com。