陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心，水動(dòng)力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇無錫214082）

水下發(fā)射航行體空泡、氣泡和自由面相互影響的理論研究

陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心，水動(dòng)力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇無錫214082）

基于勢流理論、細(xì)長體理論和奇點(diǎn)分布法，對(duì)水下發(fā)射過程中的航行體空泡、自由面和筒口氣團(tuán)的相互影響開展了理論研究。文中用一個(gè)奇點(diǎn)模擬氣團(tuán)、用沿軸線分布的奇點(diǎn)模擬細(xì)長體形狀的航行體和空泡，建立了自由面影響下的氣團(tuán)和空泡相互耦合的動(dòng)力學(xué)模型，提出了非定常流場中帶氣體泄漏現(xiàn)象的含氣空泡的壓力估算方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中提出的模型的合理性。

空泡；自由面；奇點(diǎn)分布法；格林函數(shù)；細(xì)長體；氣泡

0 引言

水下高速航行體的空泡現(xiàn)象一直受到關(guān)注，尤其是在俄羅斯提出超空泡減阻技術(shù)并發(fā)展出超空泡魚雷之后，水下空泡的研究就引起了各國的極大重視。Savchenko等人[1]基于空泡形態(tài)的測量數(shù)據(jù)和量綱分析，建立了空泡形態(tài)與空化器阻力、空化數(shù)等之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。Fridman[2]總結(jié)了非線性超空泡流理論研究的方法。Kinnas和Fine[3]、Semenenko[4]發(fā)展了計(jì)算二維或軸對(duì)稱超空泡的邊界元方法；Delannoy和Kueny[5]、Senocak[6]發(fā)展了計(jì)算三維空泡的Multiphase CFD方法。在工程上，那些既能反映力學(xué)本質(zhì)又具有簡潔形式的空泡模型也得到深入研究，Logvinovich[7]提出的“空泡截面獨(dú)立膨脹原理”就是廣泛應(yīng)用于充分發(fā)展空泡的簡化計(jì)算模型。陳瑋琪[8]就基于此原理對(duì)水下垂直空泡的發(fā)展和出水潰滅過程進(jìn)行了計(jì)算。但是在實(shí)際問題中，水流場會(huì)受到船舶航行、水下爆炸、水下發(fā)射等各種擾動(dòng)源的影響，導(dǎo)致航行體穿越的實(shí)際上是一個(gè)非定常流場。在非定常流場中，空泡的演化過程必然不同于均勻流場，因此研究非定常流場中的空泡計(jì)算具有重要意義。

考慮水下航行體從一個(gè)水下筒中利用高壓氣體彈射出來的空泡問題（見圖1），航行體高速彈射出來后，在航行體尾部將產(chǎn)生一個(gè)空泡，同時(shí)筒中的氣體隨航行體一起沖入水中并在筒口產(chǎn)生一個(gè)迅速膨脹的氣團(tuán)，氣團(tuán)剛開始與空泡相連，隨后氣團(tuán)將會(huì)與空泡分離。但是，即使空泡距離氣團(tuán)較遠(yuǎn)，由于氣團(tuán)的膨脹或收縮對(duì)整個(gè)流場產(chǎn)生了擾動(dòng)，氣團(tuán)對(duì)空泡的發(fā)展仍然具有重要影響。俄羅斯專家在1994年之前就從理論上研究了這個(gè)問題，他們通過將筒口氣團(tuán)等效于一個(gè)球泡、將航行體尾空泡近似為圓柱體外形后，利用Rayleigh-Plesset方程作為筒口氣團(tuán)的動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算了航行體尾部空泡的形態(tài)及壓力變化過程。采用類似的思想，國內(nèi)李杰和魯傳敬[9]將尾空泡等效為球形，建立了尾空泡泡內(nèi)壓力變化模型，并與航行體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的聯(lián)合求解，討論了尾空泡對(duì)彈道的影響。程少華和權(quán)曉波[10]采用類似俄羅斯專家的方法將筒口氣團(tuán)與尾空泡的演化過程分為四個(gè)階段分別進(jìn)行了計(jì)算，但是他們用一個(gè)指數(shù)函數(shù)模擬了筒口氣團(tuán)內(nèi)的溫度下降過程。

在上述理論研究中，對(duì)自由面的影響研究不多。這其中可能的原因是，加入水面因素之后，問題就從空泡與氣團(tuán)的相互作用，變?yōu)樽杂擅?、空泡和氣團(tuán)三者的耦合作用，這使得問題的數(shù)學(xué)描述變得相當(dāng)困難。但是，我們認(rèn)為，自由面的存在極大地改變了水下流場中的壓力場形態(tài)，對(duì)空泡壓力及其發(fā)展過程的影響不可忽略。因此，為了深入探究筒口氣團(tuán)對(duì)空泡的影響機(jī)制，本文對(duì)自由面影響下的非定常流場中的空泡發(fā)展開展了理論研究。

1 問題的一般提法

水下帶空泡航行體與筒口氣團(tuán)的示意圖見圖1。在原來靜止的流體中，位于水深H處的筒中彈射出一個(gè)細(xì)長帶空泡航行體，并以速度U向上垂直運(yùn)動(dòng)。顯然，當(dāng)氣團(tuán)膨脹或收縮時(shí)，會(huì)導(dǎo)致航行體周圍的流場發(fā)生變化，從而改變空泡外形；反過來，航行體及空泡的運(yùn)動(dòng)，也會(huì)改變氣團(tuán)周圍的流場及氣泡的運(yùn)動(dòng)，因此雙方的影響是相互耦合的。

圖1 水下氣泡與航行體空泡示意圖Fig.1 Illustration of underwater gas bubble and vehicle’s cavity

建立坐標(biāo)系oxyz，xoy平面與靜止水面重合（見圖1水平虛線），z軸垂直向上。設(shè)重力流體是理想、不可壓和無旋，因此流場存在速度勢φ=φ（）t。但是注意到圖1中的航行體是在一個(gè)雙連通流場中運(yùn)動(dòng)，因此還需設(shè)流場中無環(huán)量，同時(shí)給定水面、空泡面和球泡面上法向速度初值，即給出Neumann邊界條件，且在無窮遠(yuǎn)處滿足，則流場中存在唯一的速度勢滿足Laplace方程：

邊界條件：

（2）自由水面（Sf:free surface）：DSf/Dt=0，psf=p0=const.。p0為大氣壓力。

（3）氣團(tuán)面（Sb:bubble surface）：DSb/Dt=0，psb=pb。pb為氣團(tuán)壓力。

（4）空泡面（Sc:cavity surface）：DSc/Dt=0，psc=pc，pc為空泡壓力。

（5）航行體浸濕面SA上不可穿透條件：?φ/?n=n·U，n為航行體外表面的法向量。由于問題是非定常的，因此還有初始條件：

（6）零時(shí)刻水面靜止Sf（0）=0，速度勢φ（0）=0。

（7）氣團(tuán)初始外形Sb（0）、初始速度?φ/?n及壓力pb（0）。

（8）空泡初始?jí)毫巴庑危簆c（0），Sc（0）。

（9）航行體初始速度及位置：U（0）=U0，z（0）=z0

原理上利用邊界元結(jié)合時(shí)間推進(jìn)的數(shù)值方法可以求解上述初邊界條件下的Laplace方程，得到空泡和氣泡的演化過程，但是數(shù)值求解是相當(dāng)復(fù)雜的，因此本文致力于尋找在工程上有用的近似解。正如俄羅斯流體力學(xué)專家Logvinovich[7]所言：應(yīng)該牢記，很少有重要的水動(dòng)力學(xué)問題是在與實(shí)際流動(dòng)相當(dāng)接近的流型中被解出來的，在大多數(shù)重要場合，為了提出數(shù)學(xué)解，原始的流動(dòng)模型在某些程度被簡化，所得出的解能在一定程度上反映所包含的實(shí)際物理過程。也就是說，為了求解復(fù)雜問題，必須采用包含模型的方程，這些模型在物理上可能不完全精確，但利用它可以給出工程上感興趣的近似解。

2 自由面的線性化

從原理上來看，氣團(tuán)與自由面的相互作用，同時(shí)會(huì)導(dǎo)致氣團(tuán)和自由面的不斷變形[11]，從而使問題變得復(fù)雜。但是現(xiàn)實(shí)中的問題存在三個(gè)特點(diǎn)：

（1）氣團(tuán)、空泡和航行體的最大直徑都遠(yuǎn)小于水深H。

（2）航行體是細(xì)長體，且航行速度較高，因此尾空泡也呈細(xì)長外形。

（3）航行體從出筒到出水的時(shí)間t非常短暫。

依據(jù)特點(diǎn)（1），可知?dú)鈭F(tuán)與自由面之間的相互影響很小[11]；依據(jù)特點(diǎn)（2），在航行體空泡未出水前，空泡截面主要是徑向膨脹，對(duì)自由面的擾動(dòng)也很小（這里不考慮細(xì)長體航行體對(duì)自由面的擾動(dòng)）；再考慮特點(diǎn)（3），因時(shí)間短暫，自由面還未來得及變形很大。因此在上述三個(gè)條件下，自由面波動(dòng)很小，可以線性化。設(shè)自由面方程為z=h（ x,y,t），g是重力加速度，則自由面線性化的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)條件分別為

3 筒口氣團(tuán)的模型

當(dāng)氣體從筒內(nèi)高速進(jìn)入水中開始形成氣團(tuán)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可看出氣團(tuán)近乎球形。研究表明[11]，當(dāng)球泡距水面較遠(yuǎn)時(shí)，球泡的膨脹過程也近乎維持球形。因此，在航行體出水的短暫過程中，氣團(tuán)都可以用一個(gè)球形氣泡近似（見圖1），而球泡的膨脹（收縮）又可以用一個(gè)點(diǎn)源（點(diǎn)匯）描述。模擬球泡的點(diǎn)源強(qiáng)度根據(jù)氣團(tuán)膨脹時(shí)排開的總流量來計(jì)算。如果設(shè)點(diǎn)源強(qiáng)度為Q（t），球泡的半徑為R，膨脹或收縮速度為，則模擬球泡的點(diǎn)源（匯）的強(qiáng)度與半徑之間的關(guān)系為本文稱Q（t）為氣團(tuán)的脈動(dòng)強(qiáng)度。

氣團(tuán)與球泡形狀的微小偏離，可以用球泡上非均勻分布的奇點(diǎn)來進(jìn)一步描述，這些奇點(diǎn)的總強(qiáng)度為0。不難看出，這些球面奇點(diǎn)對(duì)較遠(yuǎn)位置的總效應(yīng)相當(dāng)于一個(gè)偶極子擾動(dòng)，所誘導(dǎo)的速度勢按O（1/r2）衰減，遠(yuǎn)快于點(diǎn)源的O（ 1/r），因此從工程角度來看，球面上奇點(diǎn)的影響相對(duì)點(diǎn)源來說可忽略。

4 線性自由面條件下的點(diǎn)源解

何友聲在文獻(xiàn)[12]中給出了線性自由面條件下沿任意路徑運(yùn)動(dòng)的變強(qiáng)度點(diǎn)源速度勢，設(shè)源點(diǎn)坐標(biāo)為p=（ξ（t）,η（t）,ζ（t ）），強(qiáng)度為Q（t），場點(diǎn)坐標(biāo)為q=（x,y,z），則其解為

5 軸對(duì)稱流動(dòng)的奇點(diǎn)解

當(dāng)航行體以垂直方式出筒并忽略球狀氣團(tuán)的變形時(shí)，整個(gè)流場是軸對(duì)稱流動(dòng)（見圖1）。航行體及空泡都是軸對(duì)稱細(xì)長體，所以可以用對(duì)稱軸上的源分布來給出航行體和空泡的擾動(dòng)勢；又因?yàn)橥部跉鈭F(tuán)可用一個(gè)變強(qiáng)度點(diǎn)源來描述，所以整個(gè)流場的擾動(dòng)勢可用圖2所示的奇點(diǎn)分布模型給出。

圖2中l(wèi)0（實(shí)線）是航行體長度，l1（虛線）是尾空泡長度。為了方便，圖中的坐標(biāo)改為柱坐標(biāo)。這里假設(shè)航行體與尾空泡構(gòu)成一個(gè)完整的光滑細(xì)長體，細(xì)長體的橫截面積定義為S（z），且細(xì)長體兩端同時(shí)滿足S（z）=0和S′（z）=?S/?z=0。圖中的奇點(diǎn)可選取滿足線性自由面條件的點(diǎn)源解。

設(shè)航行體和空泡軸線上分布的源強(qiáng)密度為q（ζ,0,t），對(duì)應(yīng)的源點(diǎn)坐標(biāo)為（ζ,0），所研究的場點(diǎn)坐標(biāo)為（z,r），筒口氣團(tuán)的源強(qiáng)為Q（t），則利用（3）式，流場的速度勢可以表示為：

圖2 水下航行體空泡和氣泡的奇點(diǎn)分布模型Fig.2 Singularity distribution model of vehicles’cavity and gas bubble

從數(shù)學(xué)形式上來看，φ1是不考慮筒口氣團(tuán)影響的空泡航行體的速度勢，φ2是不考慮空泡航行體的筒口氣團(tuán)的速度勢。但是，由于源強(qiáng)分布須根據(jù)疊加速度勢φ=φ1+φ2滿足航行體、空泡和球泡的邊界條件而求出（速度勢φ自動(dòng)滿足線性自由面條件），因此φ1與φ2是相互耦合的，下面分別討論之。

（1）航行體上的邊界條件

根據(jù)細(xì)長體理論，在細(xì)長體邊界上應(yīng)滿足條件[14]

將速度勢的表達(dá)式（4）～（6）代入（7）式中進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算可求出源強(qiáng)。但是如果采用物理意義來理解，則更容易看出最后結(jié)果。注意到對(duì)航行體軸線上某點(diǎn)徑向速度有貢獻(xiàn)的只能來自緊鄰區(qū)域的源[13]，因此來自水面以上鏡像點(diǎn)和水下筒口氣團(tuán)的點(diǎn)源對(duì)航行體軸線上的徑向速度的貢獻(xiàn)為0；再注意到貝塞爾函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

這表明來自自由面波動(dòng)的貢獻(xiàn)也為0。這從物理上也好理解，由于水面外形也是軸對(duì)稱，因此對(duì)徑向速度貢獻(xiàn)必然為0。根據(jù)上述分析可看出航行體軸線l0上的源強(qiáng)為

由于航行體外形已知，因此航行體軸線上的源強(qiáng)q（ z,t）也是已知的。

（2）空泡的邊界條件

設(shè)空泡外形的半徑為Rc=Rc（z），因空泡也是一個(gè)自由面，所以在空泡表面上需滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)條件和動(dòng)力學(xué)條件：

根據(jù)類似前面的討論，鏡像點(diǎn)、球泡點(diǎn)源和自由面波動(dòng)對(duì)空泡徑向速度的貢獻(xiàn)為0。

再將（13）式代入動(dòng)力學(xué)條件（11）式，將得到一個(gè)非常復(fù)雜的表達(dá)式（略）。（13）式中的未知量Q （t），即球泡的脈動(dòng)強(qiáng)度，需根據(jù)球泡的動(dòng)力學(xué)條件給出，見下文。

（3）球泡的邊界條件

氣團(tuán)表面也包括運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件。當(dāng)氣團(tuán)用球泡近似時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件自然滿足，因此只需考慮動(dòng)力學(xué)邊界條件。由于球泡半徑遠(yuǎn)小于水深R/H＜＜1，因此這里用球泡中心深度H近似球面上任意點(diǎn)的深度，于是動(dòng)力學(xué)條件可表示為

將速度勢φ的表達(dá)式（4）～（6）代入（14）式，可以得到類似（13）式的復(fù)雜表達(dá)式。

原則上，將等式（11）～（14）聯(lián)立求解，可求出源強(qiáng)q（ z,t）和脈動(dòng)強(qiáng)度Q（t），再由（4）～（6）式得到速度勢，由（2）式得到自由面形狀。

但是在（13）式中包含復(fù)雜的積分，求解并不簡單，從工程角度來看，還希望能更簡化，因此下面討論一種符合實(shí)際問題的單向耦和解。

6 單向耦合

6.1 氣團(tuán)的脈動(dòng)強(qiáng)度

從物理上來看，航行體和空泡的所有能量，以及整個(gè)水流場中的能量，都來自于筒中高壓氣體釋放的能量，因此航行體及空泡受氣團(tuán)的影響不可忽略。但是，相對(duì)于整個(gè)流場的能量來看，航行體和空泡的能量在其中只占很少一部分，因此反過來看，航行體和空泡對(duì)筒口氣團(tuán)的影響很小，在一定條件下可忽略，這就是單向耦合的含義。在這種意義下，氣團(tuán)的速度勢可忽略航行體和空泡上的奇點(diǎn)影響，即有

從中可看出，氣團(tuán)上不同點(diǎn)的速度勢并不相同，與θ有關(guān)。這個(gè)差異與球泡假設(shè)有矛盾，但是正如在第3章所述，這個(gè)矛盾可以用球面分布的奇點(diǎn)來彌補(bǔ)，而這些奇點(diǎn)的影響相對(duì)又可忽略。因此，考慮到球面頂點(diǎn)位置最靠近航行體空泡，這里簡單的取球泡頂點(diǎn)的速度勢作為整個(gè)球泡速度勢的近似值，即取θ=π/2，得到

對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)得到

（18）式是一個(gè)一階非線性常微分方程組。如果已知球泡壓力變化規(guī)律pb=pb（t），或者再增加一個(gè)氣體狀態(tài)方程pb=ρgRgT（ρg、Rg分別是氣體密度和氣體常數(shù)），則可以通過常微分方程數(shù)值方法計(jì)算出氣團(tuán)的脈動(dòng)強(qiáng)度Q（t）。

6.2 空泡的脈動(dòng)強(qiáng)度

空泡軸線上的點(diǎn)源分布密度q（ z,t）由空泡表面的動(dòng)力學(xué)條件（11）式給出。將速度勢（4）、（5）、（6）式代入其中得到

注意到關(guān)系式

其中：β是速度向量▽?duì)?和▽?duì)?的夾角。

在細(xì)長體空泡條件下，▽?duì)?近似徑向方向；而當(dāng)氣團(tuán)距離空泡截面較遠(yuǎn)時(shí)，▽?duì)?近似為軸向方向，因此這兩個(gè)速度的夾角接近垂直，即于是（20）式可改寫為

等式右邊的壓力項(xiàng)

注意到（21）式所表示的物理意義，它可看作是單獨(dú)一個(gè)帶空泡航行體在環(huán)境壓力為p1（t）的無界流場中運(yùn)動(dòng)的柯西-拉格朗日積分。因此，求解在自由面和氣團(tuán)影響下的水下帶空泡航行體的問題，就轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)無界、非定常流場中的帶空泡航行體問題，這個(gè)問題無疑要更為簡單。

（21）、（22）式中速度勢φ1，φ2分別由（5）式和（6）式求出，其中φ2的表達(dá)式為

將（23）式代入（22）式，即可求出環(huán)境壓力p1（t）。再將p1（t）和φ1代入（21）式，原則上可求出q（ z,t）。但是速度勢φ1和φ2的表達(dá)式（5）和（6）中仍然含有反映自由面波動(dòng)影響的復(fù)雜積分項(xiàng)，計(jì)算還是比較復(fù)雜，因此需要對(duì)自由面波動(dòng)的影響進(jìn)行估算。

7 自由面波動(dòng)的影響及特殊解

首先考察自由面對(duì)空泡的影響，見（23）式中等號(hào)右邊第二項(xiàng)的積分項(xiàng)。注意到筒口氣團(tuán)的脈動(dòng)強(qiáng)度Q（t）可正可負(fù)，但是由于筒內(nèi)釋放的能量有限，因此Q（t）必然是有限的。設(shè)其最大值為Qm＞0，再作變量替換，令則（23）式的右邊第二項(xiàng)可變換為

其中的積分項(xiàng)

從不等式（26）可看出，如果發(fā)射筒釋放的能量有限，則只要水深H足夠大，出水時(shí)間t足夠短，就遠(yuǎn)小于（23）式等式右邊的第一項(xiàng)的絕對(duì)值大小，在這種條件下可認(rèn)為自由面波動(dòng)對(duì)空泡表面的速度勢的影響就很小。同樣的方法可證明在上述條件下自由面波動(dòng)對(duì)速度勢的變化率影響也很小。類似地，利用（16）式也能用同樣方法證明在上述條件下自由面波動(dòng)對(duì)筒口氣團(tuán)的影響也很小。于是可得出一個(gè)結(jié)論：只要t/H＜＜1，就可忽略自由面波動(dòng)影響，即從速度勢的表達(dá)式中去掉積分項(xiàng)。

在（18）式中去掉積分項(xiàng)，得到簡化的氣團(tuán)動(dòng)力學(xué)方程

在（23）式中去掉積分項(xiàng)，再代入（21）式中，并注意到Rc/H＜＜1且z有限，可得到氣團(tuán)產(chǎn)生的速度勢表達(dá)式

氣團(tuán)在所考察的空泡截面位置z上誘導(dǎo)的速度為

將（28）、（29）式代入（22）式得到環(huán)境壓力的表達(dá)式

在（5）式中去掉積分項(xiàng)，得到φ1的簡化表達(dá)式

將（30）、（31）式代入空泡動(dòng)力學(xué)條件（21）式，再結(jié)合（12）式，原則上可求出分布源強(qiáng)和空泡外形。但是我們注意到，即使不考慮自由面波動(dòng)影響，φ1的表達(dá)式（31）依然包含復(fù)雜的積分項(xiàng)。因此直接利用（21）式求解空泡外形還是很困難。

但是，如果再次注意到將（21）式所表達(dá)的物理含義看作是單一的帶空泡航行體在環(huán)境壓力為p1（t）的無界流場中運(yùn)動(dòng)，且空泡為細(xì)長體，則可得知此時(shí)的空泡滿足Logvinovich的“空泡截面獨(dú)立膨脹原理”[7]。因此我們可以跳過（21）式所表達(dá)的復(fù)雜方程，而直接采用獨(dú)立原理給出的空泡截面動(dòng)力學(xué)方程[7]：

其中：a是反映空化器外形的常數(shù)。注意到方程中的環(huán)境壓力項(xiàng)p1（t）由（30）式給出。

綜上所述，可將單向耦合且忽略自由面波動(dòng)影響的求解方法總結(jié)如下：

計(jì)算時(shí)，由前兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組求出氣團(tuán)脈動(dòng)強(qiáng)度Q（t），再代入第三個(gè)方程求出環(huán)境壓力p1（z,t），最后根據(jù)獨(dú)立膨脹原理方程組求出空泡外形。

在計(jì)算中還必須知道空泡壓力pc和氣團(tuán)壓力pb。其中，氣團(tuán)壓力可以通過在方程組中增加一個(gè)氣體狀態(tài)方程聯(lián)立求解得到，或者直接通過實(shí)驗(yàn)測量得到。但是空泡因存在氣體泄漏現(xiàn)象而并不能簡單地通過利用氣體狀態(tài)方程求出，因此需要通過另外方法確定。

8 空泡壓力的測量與計(jì)算

當(dāng)航行體剛出筒時(shí)，尾空泡內(nèi)卷入了大量筒口氣團(tuán)內(nèi)的氣體，而不是飽和蒸汽，本文稱這種主要成分為氣體的空泡為含氣空泡?？张莸奶卣髦饕张輭毫涂张萃庑?，實(shí)際上空泡壓力和空泡外形是相互耦合，只要確定了兩者之一，另一個(gè)就能計(jì)算出來。需要說明的是，由于空泡內(nèi)部壓力并不均勻，因此這里的空泡壓力專指航行體底部上的壓力傳感器所測量到的空泡壓力，也即空泡頭部位置的空泡壓力。

對(duì)于含氣空泡壓力，常規(guī)的計(jì)算方法都是先計(jì)算空泡外形及體積，然后利用氣體狀態(tài)方程得到空泡壓力。但是注意到空泡尾部并不封閉，而是存在復(fù)雜的氣體泄漏現(xiàn)象，泡內(nèi)氣體含量無法準(zhǔn)確得知，因此不能直接應(yīng)用氣體狀態(tài)方程，需要采用另外的方法來估算空泡壓力。本文在這里提出一種結(jié)合物理意義和經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的估算方法。

含氣空泡的典型實(shí)例可參考入水空泡和通氣超空泡。入水空泡實(shí)驗(yàn)表明，在入水較長時(shí)間內(nèi)，入水空泡的頭部形狀幾乎不會(huì)發(fā)生改變，似乎空泡頭部的是作為一個(gè)形狀和體積都不變的空氣容器在向前運(yùn)動(dòng)[14]。通氣超空泡的實(shí)驗(yàn)研究也發(fā)現(xiàn)類似情況，當(dāng)空泡數(shù)較小時(shí)，靠近空化器的空泡頭部外形僅受空化器外形的影響，而與空化數(shù)無關(guān)。例如，對(duì)于圓盤空化器，有個(gè)經(jīng)驗(yàn)型的“1/3”定律，即空泡頭部外形由經(jīng)驗(yàn)公式確定[7]。

綜合上述兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，可推測至少在空化數(shù)較小時(shí)，空化器分離點(diǎn)附近部分的空泡外形保持不變（見圖3虛線的前面部分），與空化器的運(yùn)動(dòng)速度、水深、空泡內(nèi)部壓力變化、外部環(huán)境壓力變化等因素?zé)o關(guān)（但是這些因素會(huì)影響外形保持不變的空泡范圍）。

因此，空泡靠近空化器的某一部分可以當(dāng)作一個(gè)“固體面”來看待，而空化器底部測量的空泡壓力應(yīng)與“固體面”上的壓力相同。設(shè)“固體面”上靠近空化器邊緣的壓力系數(shù)為-Cp：

其中：p1（h）表示航行體底部位置的環(huán)境壓力，則空泡壓力可按下式估算：

在短時(shí)間內(nèi)Cp可近似為一個(gè)常數(shù)，其具體值與航行體底部外形有關(guān)，由實(shí)驗(yàn)確定。將（35）式的pc代入（32）式中可得到空泡截面動(dòng)力學(xué)方程（32）的一種簡化形式

9 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在實(shí)驗(yàn)中，我們只測量和比較了含氣空泡壓力，而沒有比較空泡外形，這樣做的另一個(gè)關(guān)鍵理由是，空泡壓力的測量顯然比空泡外形的測量更容易，也更精確。

實(shí)驗(yàn)原理參見圖1所示，在水下固定位置H處放置一個(gè)發(fā)射筒，筒中航行體在垂直方向利用高壓氣體高速彈出。實(shí)驗(yàn)中測量的參數(shù)有：航行體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t、速度U、航形體尾部的水深h、空泡壓力pc、球泡壓力pb和環(huán)境壓力p1的分布。測量方案見圖3，通過沿航行體表面布置一排壓力傳感器sensor1…sensorN，可測量航行體周圍流場的環(huán)境壓力分布隨時(shí)空間的變化。球泡壓力和空泡壓力由布置在航行體底部和空泡內(nèi)的傳感器測量得到。實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果見圖4、圖5。其中所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算結(jié)果都已經(jīng)無量綱化（用上標(biāo)“*”表示）。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過程如下：將球泡壓力pb的測量值代入微分方程（33）中，利用數(shù)值方法求出氣泡脈動(dòng)強(qiáng)度Q；再將計(jì)算的Q值代入環(huán)境壓力公式計(jì)算出航行體底部在水深h位置的環(huán)境壓力p1（h,t），以及航行體表面上所有壓力傳感器位置上的環(huán)境壓力值p1′；最后將計(jì)算p1（h,t）代入公式（35），求出空泡壓力pc。在本次實(shí)驗(yàn)中，取參數(shù)Cp=0.07。

計(jì)算時(shí)，初始時(shí)刻取為航行體底部離開發(fā)射筒口一個(gè)半徑的距離，球泡半徑初始值取R（0）≈H-h（0），球泡膨脹速度初始值取航行體的初始速度

驗(yàn)證過程即是將上述計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測量值進(jìn)行比較。航行體表面上壓力傳感器sensor1位置的環(huán)境壓力計(jì)算值p1′和實(shí)測結(jié)果的對(duì)比見圖6（左圖），空泡壓力的計(jì)算值與實(shí)測結(jié)果的比較見圖6（右圖）。

圖3 壓力傳感器布置圖Fig.3 Pressure sensor distribution scheme

圖4 航行體速度（左圖）和水深（右圖）的測量結(jié)果Fig.4 Measured results of vehicle’s velocity(Left)and water depth(Right)

圖5 球泡壓力（左圖）和空泡壓力（右圖）的測量結(jié)果Fig.5 Measured results of the pressure of spherical bubble(Left)and cavity(Right)

圖6 測量壓力與計(jì)算壓力比較（左圖：空泡壓力；右圖：sensor1壓力）Fig.6 Comparison of measured and calculated pressure(Left:cavity pressure;Right:sensor1 pressure)

在t*=0和t*=0.01兩個(gè)時(shí)刻，航行體表面上所有壓力傳感器測量的環(huán)境壓力分布與計(jì)算的壓力分布的比較見圖7。

圖7 兩個(gè)不同時(shí)刻航行體上的壓力分布的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.7 Comparison of calculated and experimental pressure distribution of vehicles at two different moments

圖6右圖顯示，當(dāng)t*＞0.5時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果比計(jì)算結(jié)果偏大，經(jīng)過分析表明，這是由于實(shí)驗(yàn)中航行體頭部的空化影響了傳感器sensor1的測量結(jié)果，而不是計(jì)算的原因。從圖6、圖7的比較結(jié)果來看，方程（33）的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合相當(dāng)好，這表明本文所建立的球泡與空泡的耦合動(dòng)力學(xué)模型是合理的。

10 結(jié)論

基于勢流理論、細(xì)長體理論和空泡截面獨(dú)立膨脹原理，研究了水下發(fā)射過程中筒口氣團(tuán)、自由面和航行體空泡的耦合運(yùn)動(dòng)，建立了自由面、氣團(tuán)和空泡相互影響的動(dòng)力學(xué)模型，提出了帶泄氣現(xiàn)象的含氣空泡壓力的計(jì)算方法。研究表明，非定常流場中的含氣空泡壓力主要受流場的環(huán)境壓力的影響，空泡外形則隨著空泡壓力的變化而進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，空泡尾部的泄氣，可視作是空泡受流場壓力擠壓后產(chǎn)生的。本模型也可用于水下爆炸對(duì)空泡的影響研究。

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Theoretical study of the interaction of the underwater-vehicle cavity,free surface and gas bubble in launching

CHEN Wei-qi
(Key Lab of Science and Technology on Hydrodynamics,China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

The interaction of cavity,free surface and gas bubble around the outlet of the launch silo in the process of launching vehicles underwater is theoretically studied based on the potential theory,slender-body theory and singularity distribution method.The gas bubble is simulated by one singularity.The slendershaped vehicle and cavity are simulated by singularities distributing along the axis.A dynamic model of the interaction of the bubble and cavity under the influence of free surface is built up.And the method estimating the pressure of gas-filled cavity in the unstable flow field with gas-leakage from the cavity is proposed. The experiment verification shows that the calculated results of presented model agree exactly with the experimental results.

cavity;free surface;singularity distribution method;Green’s function;slender body

O352

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.08.001

1007-7294（2017）08-0929-12

2017-04-02

水動(dòng)力預(yù)研基金項(xiàng)目（51314010403）

陳瑋琪（1971-），男，博士，研究員，E-mail:tiger_cwq@aliyun.com。