吳勝珍

【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題過(guò)程中非常重要且好用的指導(dǎo)思想，在數(shù)學(xué)的廣袤領(lǐng)域中，數(shù)與形可謂左膀右臂，彼此相輔相成。數(shù)與形各有其優(yōu)點(diǎn)，也各有其不足之處。巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不言而喻，在解題中將易做到巧解，快解，進(jìn)而提高解題效率。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；解題；應(yīng)用

數(shù)與形是數(shù)學(xué)問(wèn)題中的兩大模塊，兩者看似有著天壤之別，實(shí)則息息相關(guān)。數(shù)是抽象繁瑣的代碼，通過(guò)形的轉(zhuǎn)化可將之形象化，通過(guò)對(duì)圖形的觀察發(fā)現(xiàn)潛在規(guī)律，從而找到更加快捷的解題途徑。而對(duì)于一些復(fù)雜的圖形，通過(guò)數(shù)的轉(zhuǎn)化，可將復(fù)雜難解的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化成單純的代數(shù)運(yùn)算，從而省去大把尋找解題思路的時(shí)間。由此觀之，數(shù)與形各有千秋，數(shù)形結(jié)合思想若能熟練掌握、巧妙應(yīng)用，將是解題中的一大利器。

掌握數(shù)形結(jié)合思想，要求我們對(duì)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)有充分的分析、變形、聯(lián)想能力，對(duì)形的幾何特征、幾何意義有深入的挖掘和準(zhǔn)確的把握，要樹(shù)立數(shù)形一體的思維框架，這及其考驗(yàn)一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合和不等式

一些復(fù)雜的不等式的題目，若直接從代數(shù)角度出發(fā)尋找解題思路往往費(fèi)解甚至走進(jìn)死胡同。此時(shí)若能下意識(shí)的觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，往幾何方向聯(lián)想，往往會(huì)有柳暗花明之感。

例題一：設(shè)x、y、z為正數(shù)，求證+>

對(duì)于此題，若直接從代數(shù)角度出發(fā)很難找到解題的突破口。但只要認(rèn)真觀察式子結(jié)構(gòu)，不難使我們聯(lián)想到余弦定理，根式也就可能代表了某些線段長(zhǎng)，再由不等式聯(lián)想到三角形中兩邊之和大于第三邊，于是有了以下解法：如圖，設(shè)AD=x，BD=y，CD=z，，再根據(jù)余弦定理就有： AB=，BC=，AC=，再根據(jù)三角形ABC中三邊關(guān)系有AB+BC>CD，從而原不等式得證。

例題二：解

像這種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不等式顯然難以從代數(shù)角度正面直接入手解題，而從結(jié)構(gòu)上看，不妨將式子配方，再觀察是否有適當(dāng)?shù)膱D形進(jìn)行契合。解法如下：不等式化簡(jiǎn)得，其幾何意義直線y=2上的點(diǎn)到（-2，0）和（2，0）距離之和小于等于6。于是可以構(gòu)造橢圓方程，將y=2帶入解得x=，則不等式解集為。

通過(guò)以上的兩個(gè)例題我們可以發(fā)現(xiàn)，解決復(fù)雜的不等式問(wèn)題，走數(shù)形結(jié)合的道路往往趨利避害、事半功倍。這就要求我們對(duì)于式子的結(jié)構(gòu)有深入的剖析，對(duì)式子的變形技巧靈活掌握，對(duì)常見(jiàn)的兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)線距離公式、圓錐曲線定義及方程等知識(shí)點(diǎn)有全面的掌握，同時(shí)兼?zhèn)溆胸S富的聯(lián)想能力。

二、數(shù)形結(jié)合與向量

向量是數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)特的工具，因?yàn)樗邆浠仔问降霓D(zhuǎn)化和運(yùn)算，又具備坐標(biāo)方面的代數(shù)運(yùn)算，因此，向量常常被作為連接代數(shù)和幾何的橋梁，數(shù)形結(jié)合的思想在解決向量的題目中往往是一把利刃。

例題三：已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（c+a）·（c-b）=0，則|c|的最大值是？

此題無(wú)論從基底還是坐標(biāo)的角度都十分費(fèi)解，但是如果能夠抓住題干中的眾多垂直關(guān)系加以利用，構(gòu)造適合的圖形觀察幾何特征就會(huì)發(fā)現(xiàn)更加快捷的解題途徑。解法如下：如圖做向量OA⊥OB，記向量OA，OB分別為a，b，根據(jù)直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，則向量c為以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以AB為直徑的圓上記作C，易得該圓直徑為，則|c|取最大值時(shí)即OC為直徑時(shí)。|c|最大值為。

不僅僅是平面向量，數(shù)形結(jié)合在空間向量中的應(yīng)用也同樣簡(jiǎn)便，尤其是在解決立體幾何的題目中。在計(jì)算空間角、證明平行、垂直等位置關(guān)系中，化空間關(guān)系為簡(jiǎn)單明了的向量坐標(biāo)運(yùn)算，將會(huì)大大減輕解題負(fù)擔(dān)。

三、數(shù)形結(jié)合與函數(shù)

函數(shù)作為中學(xué)階段的一個(gè)重要且熱門(mén)的考點(diǎn)，將數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的淋漓盡致。函數(shù)的特殊性在于它兼具了圖像和方程兩個(gè)性質(zhì)。函數(shù)的圖像將函數(shù)獨(dú)有的單調(diào)性、零點(diǎn)、極值、最值、漸進(jìn)等各項(xiàng)幾何特征以最直觀的方法表現(xiàn)出來(lái)，便于我們做出草圖，進(jìn)行初步的定性分析。而要做一些精確的定量，就需要借助方程，從代數(shù)角度運(yùn)算。正如華羅庚所言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”只有掌握好數(shù)形結(jié)合的思想，才能將復(fù)雜多變的函數(shù)問(wèn)題系統(tǒng)化，才能將函數(shù)研究清楚。

通過(guò)函數(shù)的幾何特征求一些未知數(shù)的值或者取值范圍是函數(shù)一類?？嫉念}型，這就需要我們做出適當(dāng)?shù)牟輬D，尋找?guī)缀侮P(guān)系，列出方程或不等式求解。

例題四：函數(shù)y=a|x|與y=x+a的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)均存在未知數(shù)的情況存在太多變的因素，我們不好直接畫(huà)出其圖像，因此可對(duì)兩者進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。易得a=0時(shí)不符合題意，因此將a|x|

=x+a轉(zhuǎn)化|x|=x+1。則問(wèn)題就變成新的函數(shù)y=|x|和y=x+1有兩個(gè)交點(diǎn)。畫(huà)出兩者圖像，即可找出臨界位置是平行位置，再計(jì)算得出C選項(xiàng)。

除此之外，在函數(shù)中求解恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題等大題，甚至在一些復(fù)雜的三角函數(shù)值域及倒數(shù)問(wèn)題中，數(shù)形結(jié)合思想往往作為主導(dǎo)思想貫穿著整個(gè)解題思路，形的不確定性、未知數(shù)取值變化的影響往往被作為分類討論的依據(jù)，因此，數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問(wèn)題中的重要作用可見(jiàn)一斑。要掌握數(shù)形結(jié)合的方法、解決好函數(shù)千變?nèi)f化的題目，要求我們對(duì)各項(xiàng)初等函數(shù)的圖像及其特征充分把握，對(duì)未知數(shù)取值的影響有全面深入的分析。

四、數(shù)形結(jié)合與數(shù)列

像數(shù)列這種看似純粹研究數(shù)的模塊中，數(shù)形結(jié)合思想仍然發(fā)揮著舉足輕重的作用。就拿特殊數(shù)列——等差數(shù)列來(lái)說(shuō)，其前n項(xiàng)和的表示式經(jīng)化簡(jiǎn)為Sn=An2+Bn形式，就發(fā)現(xiàn)它的所有點(diǎn)是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)。于是對(duì)等差數(shù)列最大、最小項(xiàng)，以及對(duì)其前n項(xiàng)和最值、相等項(xiàng)的研究，就可以轉(zhuǎn)化成對(duì)二次函數(shù)圖像的研究，而借助二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，就可以達(dá)到巧解、速解的效果。

例題五：等差數(shù)列{an}中，a1>0，S6=S10，則（1）n= 時(shí)，Sn取得最大值（2）S16= 。

如果知道借助二次函數(shù)圖像求解，此題將十分容易：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和可寫(xiě)成Sn=An2+Bn的形式.由已知S6=S10可知對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱軸應(yīng)是x=8，且公差小于零，開(kāi)口向下，有最大值.于是可知n=8時(shí)，Sn取得最大值.因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)（16，0），即S16=0。

變式：等差數(shù)列{an}中，S9>0，S10<0，則當(dāng)n= 時(shí)，Sn最大。

分析如下：設(shè)二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則m∈（9，10），所以對(duì)稱軸為x=∈（4.5，5），靠近5，因此當(dāng)n=5時(shí)，Sn取最大值。

可見(jiàn)，及時(shí)是在數(shù)列中，圖形的應(yīng)用也是非常靈活巧妙的，這也印證了美國(guó)圖論學(xué)者哈里的一句話：“千言萬(wàn)語(yǔ)不及一張圖?！?/p>

五、數(shù)形結(jié)合與概率

數(shù)形結(jié)合思想甚至可以滲透到概率領(lǐng)域。最為典型的就是幾何概型。但是在解決一些復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就往往會(huì)遺忘形的輔助作用。其實(shí)，借助適當(dāng)圖形解決概率問(wèn)題，可能會(huì)使得抽象復(fù)雜的問(wèn)題更加明了直觀。

例題六：甲、乙兩人約定在晚上7時(shí)到8時(shí)之間在公園門(mén)口會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人15分鐘，還未來(lái)即可離去，那么兩人能見(jiàn)面的概率是多少？

此題的情景看似簡(jiǎn)單，但是如果不借助圖形，實(shí)際上費(fèi)解也易錯(cuò)。此時(shí)，圖形的優(yōu)越性就得到了充分的體現(xiàn)：如圖，以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，那么兩人能見(jiàn)面的充要條件是|x-y|≤15。（x，y）的所有可能結(jié)果組成的圖形是邊長(zhǎng)為60的正方形，能見(jiàn)面的時(shí)間由圖中兩平行線之間部分所表示。由此便可輕松計(jì)算出所求概率P=。

綜上對(duì)各類題目的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的適用性是及其廣泛的。數(shù)學(xué)并不僅僅是研究“數(shù)”的一門(mén)學(xué)科，也是研究“形”的一門(mén)學(xué)問(wèn)。數(shù)與形，兩者息息相關(guān)，如同工匠的左膀右臂，相輔相成，才能構(gòu)建一座富麗堂皇的數(shù)學(xué)城堡。其實(shí)，數(shù)形結(jié)合思想遠(yuǎn)不止局限在不等式、向量、函數(shù)、數(shù)列、概率等問(wèn)題，它可能滲透到數(shù)學(xué)所能涉及的各個(gè)領(lǐng)域，熟練掌握數(shù)形結(jié)合，將會(huì)對(duì)我們的解題產(chǎn)生莫大的幫助。而要想培養(yǎng)一個(gè)人的數(shù)形結(jié)合思想，就必須要有豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，有廣闊縝密的思維，要善于聯(lián)想，突破常規(guī)思維的限制，這就及其考驗(yàn)一個(gè)人的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想有其顯著的優(yōu)越性和廣泛的適用性，它是解決各項(xiàng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一把利刃，掌握它，在解題過(guò)程中將如虎添翼！