單敏

【摘要】乘法分配律包含兩種運(yùn)算，其形式與交換律、結(jié)合律差別較大，學(xué)生已經(jīng)掌握的運(yùn)算律知識無法順利遷移到乘法分配律的學(xué)習(xí)，所以本課一直是運(yùn)算律教學(xué)的難點(diǎn)。本文從教材、教師、學(xué)生三個(gè)角度分析難點(diǎn)形成的原因，結(jié)合案例解析突破難點(diǎn)的方法，提出“以生為本”的教學(xué)策略——教師需把學(xué)生作為教學(xué)的起點(diǎn)和歸宿，充分發(fā)揮組織引導(dǎo)的作用，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對知識的意義建構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)生立場；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)的內(nèi)容不僅包括教學(xué)的結(jié)果，也包括結(jié)果的形成過程和其中蘊(yùn)含的思想方法。筆者認(rèn)為運(yùn)算律的教學(xué)，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識和運(yùn)用規(guī)律，同時(shí)還要讓學(xué)生經(jīng)歷獲得運(yùn)算律的過程，積累探索、思考的經(jīng)驗(yàn)；不僅要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)算律等式的外在形式，更要重視對其本質(zhì)意義的理解。乘法分配律是第八冊的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)實(shí)踐告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)困難重重。究其原因，是教材例題對知識的呈現(xiàn)還停留在形式感知階段，缺少對算式內(nèi)在規(guī)律的提煉；教師囿于教材編排，多注重對等式形式的感知，是缺少對知識內(nèi)涵的挖掘；學(xué)生第一次遇到包含了兩種運(yùn)算的運(yùn)算律，而且等式兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)不相等，規(guī)律表達(dá)式的形式和內(nèi)涵的復(fù)雜性讓學(xué)生難以順利掌握。這三方面的原因讓乘法分配律的學(xué)習(xí)成為整數(shù)運(yùn)算中的難點(diǎn)。

蘇霍姆里斯基說，如果說有什么影響了我們的教學(xué)，那應(yīng)該是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，即學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。鑒于以上的教學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師要再豐實(shí)例題的內(nèi)容，組織更有層次的探究活動(dòng)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種算法之間的內(nèi)部聯(lián)系，巧妙利用教學(xué)媒體從形象到抽象幫助學(xué)生逐步理解規(guī)律，獲得對知識的意義建構(gòu)，積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)。簡言之，教師要以學(xué)生現(xiàn)狀為教學(xué)依據(jù)，而不以文本為起點(diǎn)，要以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為教學(xué)追求，而非掌握規(guī)律形式為目的，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、找準(zhǔn)知識生長點(diǎn)，優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)

教材例題如下：

教材往往呈現(xiàn)的是靜態(tài)的知識，無法完整展開知識的發(fā)生發(fā)展過程。教材中僅針對情境提出了一個(gè)問題，列出了一組算式，據(jù)此進(jìn)行的思考和研究難免單薄，學(xué)生只能關(guān)注算式的外部形式，發(fā)現(xiàn)不了兩個(gè)算式的內(nèi)在聯(lián)系，所以舉出的例子也只是停留在模仿階段，這是對規(guī)律低階水平的認(rèn)識，如果在未來學(xué)習(xí)中遇到變式，很容易混淆出錯(cuò)。所以在實(shí)際教學(xué)中教師對例題進(jìn)行了改編，使情境更豐實(shí)，以幫助學(xué)生對知識進(jìn)行更細(xì)致的加工。

【片段一】

1.出示例題，提出問題：你能用兩種方法解決嗎？（學(xué)生獨(dú)立嘗試。）

2.反饋：讓學(xué)生說說方法，同時(shí)結(jié)合PPT課件直觀演示兩種方法之間的聯(lián)系。

方法一： 方法二：

方法一：（6+4）×20，先算出共有10個(gè)20，然后算出10個(gè)20 是多少；方法二：6×20+4×20，先算出6個(gè)20是多少，再算4個(gè)20 是多少，最后算出一共是多少。

3.朗讀等式，體會聯(lián)系。師板書等式（6+4）×20=6×20+4×20，讓學(xué)生齊讀，體會算式等式兩邊在形式上的聯(lián)系。

4.改編例題，再次體驗(yàn)規(guī)律。

學(xué)生列出算式，并連寫成等式：（6+4）×8=6×8+4×8然后個(gè)別說說兩種算法分別是怎么想的，并且再次用PPT 課件演示兩種方法之間的聯(lián)系，最后讀一讀等式。

方法一： 方法二：

5.再次改編例題，并提問：你也能用兩種方法解答嗎？

學(xué)生列出算式后，教師追問，這兩個(gè)算式得數(shù)相等嗎？不計(jì)算，怎么判斷得數(shù)相等呢？此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)能清晰熟練地表達(dá)兩個(gè)算式為什么得數(shù)相等。

【思考】建構(gòu)主義觀點(diǎn)認(rèn)為，兒童的學(xué)習(xí)總是和一定的情境相關(guān)聯(lián)，概念學(xué)習(xí)的過程不能逾越表象的建立階段，而直接實(shí)現(xiàn)對概念本質(zhì)的理解。乘法分配律在學(xué)生以往的學(xué)習(xí)和現(xiàn)實(shí)生活中有非常豐富的原型，只是學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)規(guī)律之前，對它的認(rèn)識還停留在無意識階段?，F(xiàn)實(shí)情境的作用如果僅用于提供一個(gè)供研究的算式，則沒有把數(shù)學(xué)知識與學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)結(jié)。這里教師通過組織學(xué)生經(jīng)歷三次解決同一情境、相同模型問題的過程，熟悉兩種算式的形式關(guān)聯(lián)，給探索規(guī)律以豐富的經(jīng)驗(yàn)支撐。同時(shí)教師發(fā)揮教學(xué)媒體的作用，直觀演示兩個(gè)算法之間的聯(lián)系，并且讓學(xué)生說說“不計(jì)算怎么判斷兩個(gè)算式相等”，幫助學(xué)生從形象思維向抽象思維過渡，逐步脫離情境掌握算式之間本質(zhì)關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)意義理解。對例題的精加工使學(xué)生對算式結(jié)構(gòu)形成清晰的表象，從而為下面進(jìn)行的比較、分析、概括、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。

二、體驗(yàn)規(guī)律普遍性，豐富探索層次

乘法分配律是客觀存在于數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的運(yùn)算規(guī)律，但是其學(xué)習(xí)對象是兒童，所以對它的認(rèn)識不僅要遵循數(shù)學(xué)的邏輯規(guī)律，也要遵循兒童的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)。

【片段二】

1.教師指示片段一中得到的三組等式，提問：（1）左邊的算式有什么相同之處？（2）右邊的算式有什么相同之處？（3）左邊和右邊的算式有什么聯(lián)系？讓學(xué)生先在小組里交流想法，然后全班交流。

生1：左邊都是先算兩個(gè)數(shù)的和，再乘一個(gè)數(shù)，右邊是先算出兩個(gè)乘法的積，再相加。（教師相機(jī)用不同筆色描出運(yùn)算符號）

生2：左邊算式有3個(gè)數(shù)，右邊卻有4個(gè)數(shù)，有一個(gè)數(shù)，在右邊出現(xiàn)兩次。（教師相機(jī)讓學(xué)生舉例說一說）

生3：右邊的乘法是把用原來括號里的數(shù)乘括號外面的數(shù)。（讓學(xué)生看板書舉例說一說）

……

2.教師提出探究要求：像板書上這種形式的等式，你還能再寫幾個(gè)嗎？（學(xué)生獨(dú)立嘗試）

反饋學(xué)生算式，教師板書。

（10+20）×8=10×8+20×8

（7+5）×40=7×40+5×40

……

教師追問：你們計(jì)算這些算式的得數(shù)了嗎？（學(xué)生：沒有?。?/p>

再追問：沒有計(jì)算，你們怎么確定能用等號連接成一個(gè)等式呢？你們能像例題中的算式一樣解釋一下為什么左右兩邊相等嗎？

生：左邊有（10+20）等于30個(gè)8，右邊10個(gè)8，加上20個(gè)8，也是30個(gè)8，所以相等。

……

【思考】兒童對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從情境開始的，但最終要走向“去情境化”，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的抽象認(rèn)識。在這個(gè)片段中，學(xué)生經(jīng)歷了兩次重要的數(shù)學(xué)抽象，第一次是從板書算式中發(fā)現(xiàn)等式特征，這是對等式形式的有意識認(rèn)知，當(dāng)學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)時(shí)，教師沒有急于指導(dǎo)學(xué)生提煉規(guī)律的表達(dá)方式，而是讓學(xué)生進(jìn)行第二次數(shù)學(xué)思考——根據(jù)算式特征再寫幾組這樣的等式，并引導(dǎo)學(xué)生模仿例題的模型，用乘法的意義解釋等式成立的原因，學(xué)生能順利解釋其原因。以往在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對表達(dá)等式為什么成立顯得困難，原因就是教學(xué)中忽視了規(guī)律模型在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍性，割裂了二者之間的聯(lián)系。而這一課中學(xué)生第一次觀察的這些算式都來自具體情境，有直接經(jīng)驗(yàn)做思考基礎(chǔ)，有表象做思維支撐，同時(shí)這兩次數(shù)學(xué)思考又都脫離了原有情境而進(jìn)行，使學(xué)生經(jīng)歷了“去情境化”的過程，從而跳出了原型，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。學(xué)生經(jīng)歷了從個(gè)別到一般，從數(shù)學(xué)的外在現(xiàn)象到內(nèi)在本質(zhì)的思維過程，符合學(xué)生仍以形象思維為主、抽象思維初步發(fā)展的規(guī)律，此時(shí)乘法分配律的揭示與提煉已是呼之欲出了。

三、感悟數(shù)學(xué)方法，規(guī)范提煉表達(dá)

【片段三】

教師指著黑板上所板書的所有算式提問：像這樣的算式你寫得完嗎？（學(xué)生：寫不完?。?/p>

師：那這樣的算式你能用一個(gè)算式或者一句話全部總結(jié)出來嗎？先自己嘗試說一說，寫一寫，再全班交流。

反饋：

生1：我發(fā)現(xiàn)算式兩邊是相等的。

生2：一個(gè)數(shù)加另一個(gè)數(shù)，再乘一個(gè)數(shù)等于前面的數(shù)乘這個(gè)數(shù)，后面的數(shù)也乘這個(gè)數(shù)，再加起來。

生3：（一個(gè)數(shù)+一個(gè)數(shù)）×一個(gè)數(shù)=一個(gè)數(shù)×一個(gè)數(shù)+一個(gè)數(shù)乘一個(gè)數(shù)。

生4：（甲數(shù)+乙數(shù)）×丙數(shù)=甲數(shù)×丙數(shù)+乙數(shù)×丙數(shù)。

生5：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

【思考】乘法分配律是一個(gè)運(yùn)算規(guī)律，規(guī)律的學(xué)習(xí)必定要經(jīng)過“發(fā)現(xiàn)—?dú)w納”的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)中對規(guī)律的學(xué)習(xí)大多是建立在不完全歸納的基礎(chǔ)上的。學(xué)生的能力差異客觀存在，不同學(xué)生對知識的感悟、歸納的水平、程度各不相同。以上片段中，對于所探究的知識的提煉表達(dá)，也不盡相同。雖然不同的學(xué)生歸納的形式不同，但是都表現(xiàn)出了很大的創(chuàng)造性。對于兒童來說，理解他人的想法，也可以完善和修正自己的認(rèn)識。教師在反饋時(shí)有意按照從淺顯到深刻，從片面到全面的順序進(jìn)行展示，讓全體學(xué)生經(jīng)歷從直白表達(dá)到抽象表達(dá)的提煉過程，如此每個(gè)層次的學(xué)生都有收獲和發(fā)展。

四、反思學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【片段四】

揭示乘法分配律后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩次回顧反思。

1.回故整個(gè)研究過程：解決實(shí)際問題——發(fā)現(xiàn)算式特點(diǎn)——仿照自己列式——總結(jié)得出規(guī)律。

回想一下我們的研究過程：

解決實(shí)際問題，得到等式

觀察等式，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)

自己列 式

概括等式，歸納運(yùn)算律

（a+b）×c=a×c+b×c

2.展示乘法分配律在兩位數(shù)乘兩位數(shù)、長方形的周長等學(xué)習(xí)中的使用。

【思考】數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的重要載體，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，但是具有一定的層級性：是在做的過程中習(xí)得和積累，并在反思的過程中得以提升的。通過回顧反思的過程可以讓學(xué)生清晰地看到知識從哪里來，怎么來的，又到哪里去。反思活動(dòng)下，使學(xué)生的思維由原來對于相關(guān)規(guī)律的不自覺認(rèn)識轉(zhuǎn)向更為自覺的狀態(tài)，使原有的感性經(jīng)驗(yàn)改造和提煉，獲得對數(shù)學(xué)知識的理性理解，實(shí)現(xiàn)從低層次向高層次的生長。

縱觀本課的教學(xué)實(shí)踐，教師從學(xué)生立場理解教學(xué)難點(diǎn)，突破了傳統(tǒng)的運(yùn)算律教學(xué)過度依賴練習(xí)、以知識為本位、教師為中心的課堂結(jié)構(gòu)，以學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平為起點(diǎn)，在情境創(chuàng)設(shè)和規(guī)律探究的環(huán)節(jié)用了較濃重的筆墨；以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知和思維發(fā)展為教學(xué)的歸宿，引導(dǎo)學(xué)生透過乘法分配律的數(shù)學(xué)現(xiàn)象追尋本質(zhì)意義。作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生在教師引導(dǎo)下，完整地經(jīng)歷了從直觀思維到表象思維，再到抽象思維的數(shù)學(xué)建模過程，實(shí)現(xiàn)對知識的意義建構(gòu)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“教學(xué)是教和學(xué)的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者?！苯處煂虒W(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)的把握、教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和組織等都影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教師對知識解剖的深度影響著學(xué)生思考的深度。要真正實(shí)現(xiàn)“以學(xué)生為中心”的教學(xué)，教師還要進(jìn)一步摒棄以本為本、教師中心的傳統(tǒng)觀念，不僅在思想上，更要在行動(dòng)上確立學(xué)生的主體地位，教師不越位，不缺位，以學(xué)生為教學(xué)的起點(diǎn)和歸宿，才能真正提高課堂學(xué)習(xí)品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。