鄭玉敏

(黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院，哈爾濱 150000)

對(duì)常微分方程數(shù)學(xué)建模案例的研究

鄭玉敏

(黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院，哈爾濱 150000)

案例教學(xué)法貼近學(xué)生們的實(shí)際情況，引出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生們對(duì)常微分方程在實(shí)際應(yīng)用過程中的了解及對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的理解，從而有效地提高了學(xué)生們的數(shù)學(xué)建模能力和學(xué)生們對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。所以，強(qiáng)化對(duì)常微分方程數(shù)學(xué)建模案例的研究，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；案例分析

如今，越來越多的院校在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中應(yīng)用案例教學(xué)法，因?yàn)榘咐虒W(xué)法本身就是由貼近學(xué)生們的生活實(shí)際情境而引發(fā)數(shù)學(xué)問題，并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在運(yùn)用學(xué)生們所學(xué)會(huì)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中所遇到的問題的一個(gè)過程。應(yīng)用案例教學(xué)法不僅進(jìn)一步縮短了實(shí)際生活情境與數(shù)學(xué)教學(xué)情境之間的差異，還對(duì)進(jìn)一步提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生們的實(shí)踐創(chuàng)新能力有著至關(guān)重要的作用。所以，做好案例教學(xué)法的應(yīng)用也是各個(gè)院校開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作所采用的重要手段。常微分方程作為高等教育的重要組成內(nèi)容，絕大多數(shù)學(xué)生在常微分方程的學(xué)習(xí)過程中往往只了解如何去解方程，而不知道這些方案的真實(shí)背景，造成學(xué)生們?cè)诔Ｎ⒎址匠痰膶W(xué)習(xí)過程中缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)力、產(chǎn)生了消極的學(xué)習(xí)態(tài)度。案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)授課過程中恰恰是由實(shí)際案例出發(fā)，使學(xué)生們更加清楚的掌握對(duì)常微分方程的應(yīng)用，加深了學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的進(jìn)一步理解，有效提高了學(xué)生們的數(shù)學(xué)建模能力和對(duì)問題的實(shí)際分析能力、解決能力。所以，在常微分方程的學(xué)習(xí)過程中將數(shù)學(xué)建模思想融入其中，能使學(xué)生們更好的掌握常微分方程的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)背景、學(xué)習(xí)意義，從而最大限度的提高學(xué)生們對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

以常微分方程中的若干習(xí)題為例，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行闡述，按照數(shù)學(xué)建模解決問題的思想對(duì)其進(jìn)行科學(xué)合理的假設(shè)，構(gòu)建微分方程模型，并讓學(xué)生們運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模型求解，使學(xué)生們?cè)跀?shù)學(xué)課堂上將所學(xué)到的數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模內(nèi)容有機(jī)的融合，最終利用數(shù)學(xué)建模方法把數(shù)學(xué)建模思想表達(dá)出來，使學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課堂知識(shí)的同時(shí)，正確掌握數(shù)學(xué)建模思想，更好的掌握常微分的方程理論。

模型假設(shè)：第一，假設(shè)湖水的唯一水源就是河水，且湖水的實(shí)際容量不會(huì)發(fā)生變化；第二，假設(shè)湖水中污染物A的濃度始終都是均勻的；第三，假設(shè)當(dāng)河水流入到湖泊以后能與湖水進(jìn)行充分的融合，并且能在湖水中將全部的有毒污染物溶解。

歷經(jīng)6ln3年以后，該湖泊中所包含的污染物A可以降到m0之內(nèi)。

問題2：乘坐公共汽車的時(shí)候，對(duì)交通信號(hào)燈的等待是十分煩惱的問題，尤其是由紅、黃、綠三種顏色組成的交通路口指揮信號(hào)燈，想要從綠燈轉(zhuǎn)換為紅燈必須要經(jīng)過黃燈的過渡，黃燈需要亮起一段時(shí)間以后方可從綠燈轉(zhuǎn)換為紅燈。雖然這種設(shè)計(jì)十分科學(xué)、合理，能夠最大限度的避免某個(gè)方向車流等待時(shí)間過長(zhǎng)的問題，最大限度的減輕司機(jī)與乘客的煩惱，但是，如若交通指揮信號(hào)燈在閃爍時(shí)間設(shè)計(jì)上存在不合理性，人們不僅面臨更加漫長(zhǎng)的等待，也會(huì)進(jìn)一步增加司機(jī)與乘客的煩惱，所以，應(yīng)該科學(xué)、合理的設(shè)計(jì)交通路口指揮信號(hào)燈閃爍的時(shí)間，使其閃爍時(shí)間長(zhǎng)短更加合理。

分析模型：黃燈信號(hào)具有兩個(gè)作用：其一，提醒駕駛員注意紅、綠信號(hào)燈，當(dāng)紅燈信號(hào)亮起的時(shí)候應(yīng)立刻停車，讓橫向車流、人流通過，對(duì)于已經(jīng)超過了停止線的車輛允許繼續(xù)通過；其二，當(dāng)黃燈信號(hào)亮起的時(shí)候，為確保機(jī)動(dòng)車與行人都能在安全的原則下通行，車輛仍然會(huì)向前行駛一段距離L以后方能停車，假設(shè)道路寬度為D，此時(shí)的問題就是如何對(duì)L的大小進(jìn)行確定。

此時(shí)黃燈信號(hào)要亮起多久才最為科學(xué)合理呢？

通過上述公式的推導(dǎo)可以得知，從黃燈信號(hào)開始閃爍的時(shí)間算起，包括駕駛員看到黃燈信號(hào)時(shí)，準(zhǔn)備開始停止機(jī)動(dòng)車時(shí)所用的時(shí)間，以及讓已經(jīng)超過了停止線的機(jī)動(dòng)車順利通過路口所用的時(shí)間，黃燈信號(hào)最為科學(xué)、合理的閃爍時(shí)間應(yīng)該為：

通過常微分方程解的各種屬性研究對(duì)一些現(xiàn)象進(jìn)行解釋，從而對(duì)未來的發(fā)展趨勢(shì)做出有效的預(yù)測(cè)，為人們?cè)O(shè)計(jì)新的裝置提供重要的參考依據(jù)。所以常微分方程也是研究自然科學(xué)、工程技術(shù)乃至社會(huì)生活現(xiàn)象的重要工具。筆者對(duì)常微分方程中的部分內(nèi)容進(jìn)行了分析，在常微分方程中融入數(shù)學(xué)建模思想，使數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活內(nèi)容緊密的聯(lián)系在一起，并在教學(xué)過程中應(yīng)用案例教學(xué)法，對(duì)案例進(jìn)行分析，采取提出問題、分析問題、建立模型、求解模型的一系列教學(xué)手段，讓學(xué)生們更加清楚的了解到常微分方程的實(shí)際背景，對(duì)所列出的常微分方程進(jìn)行求解，更好地解決生活中所遇到的實(shí)際問題。這樣不僅大大提高學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，也大大的增強(qiáng)了學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。這種數(shù)學(xué)建模思想有著極為深遠(yuǎn)的意義，值得我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中深入的研究與探討。

[1] 廉海榮，趙俊芳，褚寶增.在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討[C]//城市空間結(jié)構(gòu)理論與資源型城市轉(zhuǎn)型研究——中國(guó)科協(xié)第224次青年科學(xué)家論壇，2010.

[2] 劉洪霞，周紹偉.常微分方程數(shù)學(xué)建模案例分析[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，(12)：22-23.

[3] 方芳.常微分方程理論在數(shù)學(xué)建模中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[D].合肥：安徽大學(xué)，2010.

[4] 王莉.關(guān)于常微分方程課程教學(xué)模式的探索與研究[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，(08)：13-15.

Research on mathematical modeling of ordinary differential equations

ZHENG Yu-min

(Heilongjiang Ecological Engineering Vocational College, Harbin 150000, China)

Case teaching method is close to the actual situation of students, which strengthens the understanding of the practical application of ODE and mathematical modeling ideas, so as to effectively improve students’ mathematical modeling ability and their interest in applying mathematics. Therefore, it is of great practical significance to study the case of mathematical modeling of ordinary differential equations in higher mathematics teaching and research.

Ordinary differential equation; Mathematical modeling; Case analysis

2017-05-20

鄭玉敏(1978-)，女，碩士，副教授。

O175.1

A

1674-8646(2017)13-0066-02