陳 懷，田 源，何澤榮

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

具有xk型增長率的脈沖害蟲模型的周期行為

陳 懷1，田 源2，何澤榮1

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

研究了一類具有xk型增長率的害蟲綜合治理模型.利用后繼函數(shù)確立了周期解的存在性，運用類龐加萊準(zhǔn)則分析了周期解的穩(wěn)定性.最后使用MATLAB對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗證了其理論結(jié)果.

害蟲治理；周期解；穩(wěn)定性；后繼函數(shù)；類龐加萊準(zhǔn)則

0 引 言

噴灑農(nóng)藥和投放天敵是治理害蟲的兩種主要方法.近年來，很多學(xué)者針對各類害蟲控制系統(tǒng)進(jìn)行了理論研究，提出了相應(yīng)的操作方法.陳蘭蓀[1]針對半連續(xù)動力系統(tǒng)給出了相關(guān)定義和部分理論結(jié)果.Zhang T. Q.等[2]研究了Gompertz系統(tǒng)周期解的存在性和穩(wěn)定性.Tian Y.等[3]研究了控制時間依賴于捕食者和食餌數(shù)量的種群系統(tǒng)，并建立了階一周期解的穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[4]提出了一種新的種群增長率.本文對文獻(xiàn)[4]研究的害蟲模型加以改進(jìn)，建立了一類新的害蟲治理模型，并對模型進(jìn)行了分析.

1 預(yù)備知識

定義1[1]假設(shè)脈沖集M和相集N均為實數(shù)集R的子集.在相集N上定義坐標(biāo)，例如定義N與x軸的交點Q的坐標(biāo)為0，N上任意一點A的坐標(biāo)為A與Q的距離，記為a.設(shè)由點A出發(fā)的軌線與脈沖集交于一點C，點C的脈沖相點為點B，它在相集N上，坐標(biāo)為b.稱B為A的后繼點，點A的后繼函數(shù)為F(A)=b-a.

引理1[1]后繼函數(shù)F(A)是連續(xù)的.

考慮如下系統(tǒng)

(1)

其中，φ(x,y)表示系統(tǒng)的脈沖函數(shù).

2 基礎(chǔ)模型

最為經(jīng)典、最為簡單的捕食者—食餌模型是Lotka-Volterra模型.文獻(xiàn)[4]提出了新的種群增長模型

(2)

與Malthus模型不同，它考慮了一類食餌比例縮小的增長率，這里0

在害蟲治理過程中，無論是投放天敵還是噴灑殺蟲劑都是分批進(jìn)行的，因此防治害蟲是一種脈沖行為.本文考慮如下脈沖微分方程模型：

(3)

3 定性分析

3.1 周期解的存在性

圖1 模型(3)的結(jié)構(gòu)圖和周期解

綜上所述，模型(3)必存在周期解.證畢.

3.2 周期解的穩(wěn)定性

φ0.

P(x,y)=rxk-bxy,Q(x,y)=cxy-dy,A(x,y)=-px,B(x,y)=-qy+τ,φ(x,y)=x-h.

計算得到

由此得出

因此，

4 數(shù)值模擬

本節(jié)用實例來驗證前面的理論結(jié)果.對于模型(3)，令r=0.7，b=0.5，c=0.3，d=1.5，k=0.75，p=0.4，q=0.3，h=0.4.通過計算得到P(0.240,2.000)，Q(0.400,1.760)，A(5.000,0.936).使用MATIAB進(jìn)行數(shù)值模擬.取不同的τ值，即釋放不同數(shù)目的天敵，得到結(jié)果如圖2所示.圖2(a)中，τ=1.7時，害蟲和天敵的數(shù)量經(jīng)過一段周期后回到從前值；圖2(b)中，τ=2.5時，投放天敵量大，使得害蟲量減少到初始值以下，天敵量隨之減少，經(jīng)過多次脈沖后某一周期害蟲和天敵數(shù)量回到從前值，圖2(c)中，τ=0.8時，天敵投放量少，但也造成害蟲量減少，同樣經(jīng)過多次脈沖后某一周期害蟲和天敵量回到從前值.由此可知，釋放不同數(shù)目的天敵時害蟲數(shù)量仍然是可控的.

圖2 不同τ值下，系統(tǒng)(3)的周期解模擬圖

5 結(jié)束語

本文對具有xk型害蟲增長率的脈沖系統(tǒng)模型進(jìn)行了周期行為分析.研究發(fā)現(xiàn)，害蟲的冪律增長值k對模型周期解的存在性和穩(wěn)定性有明顯的影響.當(dāng)0

[1]陳蘭蓀.害蟲治理與半連續(xù)動力系統(tǒng)幾何理論[J].北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,12(1):1-9.

[2]ZHANG T, MENG X, LIU R, et al. Periodic solution of a pest management Gompertz model with impulsive state feedback control[J]. Nonlinear Dynamics, 2014,78(2):921-938.

[3]TIAN Y, SUN K, CHEN L, et al. Geometric approach to the stability analysis of the periodic solution in a semi-continuous dynamic system[J]. International Journal of Biomathematics, 2014,7(2):121-139.

[4]HATTON I A, MCCANN K S, FRYXELL J M, et al. The predator-prey power law: Biomass scaling across terrestrial and aquatic biomes[J]. Science, 2015,369(6252):aac6284.

[5]SIMEONOV P S, BAINOV D D. Orbital stability of periodic solutions of autonomous systems with impulse effect[J]. Comptes Rendus De Lacadeémie Bulgare Des Sciences Sciences Matheématiques Et Naturelles, 1988,19(12):2561-2585.

[6]宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011:19-23，98-109.

The Periodic Behaviors of a Pest Management Model withxkPower Growth Rate

CHEN Huai1, TIAN Yuan2, HE Zerong1

(1.SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China;2.SchoolofInformationEngineering,DalianUniversity,DalianLiaoning116622,China)

A new pest IPM strategy model withxkpower growth rate is proposed and studied in this paper. Firstly, the existence of periodic solutions is established by means of successor functions. Then, the stability of periodic solution is analyzed via the analogue of Poincaré criterion. Finally, the theoretical results of the paper are illustrated by MATLAB numerical simulations.

pest model; periodic solution; existence and stability; successor function; analogue of Poincaré criterion

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.020

2016-10-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271104；11401068)

陳懷(1993-)，女，貴州畢節(jié)人，碩士研究生，運籌學(xué)與控制論.通信作者:何澤榮教授，E-mail:zrhe@hdu.edu.cn.

O175.1

A

1001-9146(2017)04-0090-04