劉貝貝

摘 要：猜想是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，它既是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，也是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的一種重要手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用猜想教學(xué)，能使學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)和材料，通過(guò)直覺(jué)觀察、動(dòng)手操作、歸納和類比等方法猜想新知，并對(duì)猜想的內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生由“猜想—驗(yàn)證”的學(xué)習(xí)方式，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，不僅能夠扎實(shí)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，靈活運(yùn)用思想和方法，還能獲得學(xué)習(xí)的美好體驗(yàn)，享受發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)帶來(lái)的愉悅，這將有利于改變長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中過(guò)分重視學(xué)生知識(shí)、技能的習(xí)得而忽視知識(shí)的形成過(guò)程和學(xué)生的體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)猜想教學(xué)；應(yīng)用；主體性

數(shù)學(xué)猜想即關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)方面的猜想（或稱猜測(cè)、假設(shè)等），這些猜想有的被驗(yàn)證為正確的，并成為定理；有的被驗(yàn)證為錯(cuò)誤的；還有一些正在驗(yàn)證過(guò)程中。

著名科學(xué)家牛頓有句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明?！辈孪胧菍?duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的知識(shí)和材料作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維形式。

數(shù)學(xué)猜想就是依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系所做出的一種推斷，是數(shù)學(xué)中的合情推理。波利亞指出：數(shù)學(xué)中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個(gè)方面，它們之間并不矛盾，在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過(guò)程中起交互作用。在嚴(yán)格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與推測(cè)，區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試；而在合情推理中，要區(qū)別理由較多的推測(cè)與理由較少的推測(cè)。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。本文就“猜想教學(xué)”在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用談點(diǎn)個(gè)人見解。

一、猜想論證可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體性

實(shí)現(xiàn)猜想的途徑，可以是探索試驗(yàn)、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為支柱。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之前，應(yīng)猜想這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)容；在完全做出詳細(xì)證明之前，應(yīng)先有猜想證明的思路。例如，在《等腰三角形的性質(zhì)》一節(jié)中，教師就可以讓學(xué)生動(dòng)手操作—猜想—論證—等出結(jié)論，學(xué)生已認(rèn)識(shí)等腰三角形，課前可以讓學(xué)生找（或做）一些等腰三角形的模型，經(jīng)歷動(dòng)手操作的過(guò)程，猜想出等腰三角形的對(duì)稱性，再由對(duì)稱性得到等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，最后歸納出猜想，一一加以驗(yàn)證其正確性。這一過(guò)程充分激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極性。這樣獲得的知識(shí)就不再是由老師講解分析，學(xué)生理解記憶而得的，而是學(xué)生通過(guò)“猜想——驗(yàn)證”的方法自主獲得的。學(xué)生對(duì)新知進(jìn)行猜想后急于求知和驗(yàn)證，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性也就會(huì)被充分調(diào)動(dòng)，學(xué)生能積極參與接下去的數(shù)學(xué)活動(dòng)。在接下去的探索活動(dòng)中教師引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想，修正猜想，完善猜想，最終獲得新知，學(xué)生由此經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，從中獲得了成就和滿足的情感體驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就會(huì)產(chǎn)生濃厚的興趣。另外，應(yīng)用“猜想教學(xué)”，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變成一個(gè)自主探索的過(guò)程。猜想教學(xué)要求學(xué)生在教師引導(dǎo)下，利用材料，主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)而不是消極接受知識(shí)。這種教學(xué)體現(xiàn)了學(xué)生參與和發(fā)現(xiàn)的主體地位。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中以主人翁的姿態(tài)出現(xiàn)，以積極的心態(tài)調(diào)動(dòng)原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)猜想新知識(shí)，同化新知識(shí)并不斷構(gòu)建整個(gè)知識(shí)體系。

二、數(shù)學(xué)猜想的方法

1.運(yùn)用不完全歸納法進(jìn)行猜想

這種猜想是對(duì)研究對(duì)象或問(wèn)題從一定的數(shù)量進(jìn)行觀察、分析，從而得出有關(guān)命題、結(jié)論、方法。歸納推理是針對(duì)一類事物而言的。一類事物A中的部分個(gè)體A1、A2…An都具有性質(zhì)P，那么A中的全部個(gè)體是否都具有性質(zhì)P呢？這就是一個(gè)歸納猜想的思維過(guò)程。例如，在等邊三角形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出則∠APD的度數(shù)為60°。在正方形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出∠APD=90°。在正五邊形的兩邊截取BE=CD，可以求出∠APD=108°。因此，學(xué)生可以根據(jù)歸納法得到猜想，當(dāng)多邊形是正n邊形，兩條線段的一個(gè)夾角等于這個(gè)正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角。

2.運(yùn)用類比法進(jìn)行猜想

這種猜想是通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象或問(wèn)題的相似性得出數(shù)學(xué)命題的猜想。在A和B兩類事物中，A有性質(zhì)P成立，B也有性質(zhì)P成立，A類中還有性質(zhì)Q成立，B類中是否也有性質(zhì)Q成立呢？這是一個(gè)類比猜想的思維過(guò)程。例如，在特殊的平行四邊形判定的證明過(guò)程中，我們先掌握了平行四邊形的判定，可以從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面判定，那么對(duì)于特殊的平行四邊形是不是也可以從這三個(gè)元素來(lái)分析呢？在教學(xué)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先猜想后論證，矩形的對(duì)角線相等，那么對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎？也許在這一過(guò)程中，還會(huì)有學(xué)生提出，對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎？不完全歸納不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，還可以在這一過(guò)程將新知進(jìn)行類比，幫助學(xué)生理解記憶。

3.運(yùn)用對(duì)稱的思想進(jìn)行猜想

這種方法是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題，運(yùn)用簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、相似性、和諧性、奇異性等，結(jié)合已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)所作出的知覺(jué)性猜想。例如，困難的問(wèn)題可能存在著簡(jiǎn)單的解答、對(duì)稱的條件可能存在對(duì)稱的結(jié)論以及可能會(huì)用對(duì)稱變換的方法加以解決、和諧的或奇異的構(gòu)思有助于問(wèn)題的明朗化或簡(jiǎn)單化就是因?yàn)槭褂昧藢?duì)稱的思想。

三、數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，作為教師，我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想假設(shè)，使學(xué)生在學(xué)好知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展能力，激發(fā)潛力，教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生猜想，并讓學(xué)生體會(huì)猜想的重要意義。

首先，數(shù)學(xué)猜想有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往只注重知識(shí)的表層，或者去死記知識(shí)，這樣學(xué)生在做題時(shí)就出現(xiàn)了知道但是不會(huì)做的現(xiàn)象，所以在教學(xué)中，教師必須想方設(shè)法地讓學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，并掌握這些知識(shí)。

數(shù)學(xué)課本中的很多定理，并不是由純邏輯的演繹推理得到的。多數(shù)是由特例，通過(guò)觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講解這些結(jié)論時(shí)，可以不要先把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生一起參與歸納猜想論證。如果教師直接將這些結(jié)論拋給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)感到很突然，而通過(guò)歸納猜想得出結(jié)論就顯得很自然。當(dāng)然這樣的猜想，還要引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證。

例如在講解多邊形的內(nèi)角和時(shí)，我們可以先帶著學(xué)生復(fù)習(xí)三角形的內(nèi)角和知識(shí)，再鼓勵(lì)學(xué)生將多邊形分解成三角形，看看有多少種分割方法。這樣，讓學(xué)生通過(guò)討論，就出現(xiàn)了幾種不同的分割方法，一方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生將多邊形內(nèi)角和的求法轉(zhuǎn)化成多個(gè)三角形的內(nèi)角和，其實(shí)，這一環(huán)節(jié)，學(xué)生自己也可以想到做到。最后再歸納總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和公式：180°·（n-2），學(xué)生敘述的語(yǔ)言表達(dá)可能不是十分準(zhǔn)確，但轉(zhuǎn)化的方法則非常清楚，學(xué)生理解得也更為透徹，這樣學(xué)生也更加清楚教材為什么要在講完三角形的內(nèi)角和后直接講多邊形的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性，體會(huì)類比和轉(zhuǎn)化的思想。

其次，數(shù)學(xué)猜想有利于更快捷地尋找解題思路。

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中不可缺少的一環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)思維的基本要素，歸納和類比是兩種主要表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)史上的許多重要成就是借助于數(shù)學(xué)猜想獲得的，各種數(shù)學(xué)新觀念的產(chǎn)生，都或多或少有它們的作用。

演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、表現(xiàn)數(shù)學(xué)體系的重要形式，但從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程和數(shù)學(xué)研究方法的角度看，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)一樣又是歸納的科學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，又是歸納的科學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)不單單是重現(xiàn)現(xiàn)有的結(jié)論和結(jié)論的證明過(guò)程，問(wèn)題和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程也是重要內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)有意識(shí)地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，關(guān)注學(xué)生個(gè)性與潛能的發(fā)展，從而有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

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