黃春陽(yáng) 唐山彭向和

(重慶大學(xué)航空航天學(xué)院，重慶400017)

創(chuàng)刊60周年專欄

超彈性薄膜與可壓縮基底雙層結(jié)構(gòu)表面失穩(wěn)分析1)

黃春陽(yáng) 唐山2)彭向和3)

(重慶大學(xué)航空航天學(xué)院，重慶400017)

當(dāng)上層超彈性硬質(zhì)薄膜和下層可膨脹基底構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)受壓時(shí)，薄膜的自由表面可通過(guò)形成褶皺降低系統(tǒng)能量.研究表明,上下兩層的模量比不同時(shí)，上層彈性硬質(zhì)薄膜將表現(xiàn)出不同的表面失穩(wěn)模式.本文提出了一種新穎的方法可有效抑制雙層軟材料的表面失穩(wěn)，即改變基底材料的泊松比，這種方法同時(shí)適用于不具有應(yīng)變硬化的軟材料.首先基于Neo-Hookean模型發(fā)展了小變形條件下雙層結(jié)構(gòu)表面失穩(wěn)的理論模型，通過(guò)半解析的方法得到了表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變；然后通過(guò)有限元計(jì)算與模擬，進(jìn)一步驗(yàn)證了負(fù)泊松比基底可延緩表面失穩(wěn).結(jié)果表明：(1)當(dāng)雙層結(jié)構(gòu)基底泊松比為正且趨于0.5(不可壓縮)時(shí)，雙層結(jié)構(gòu)在較小的壓縮應(yīng)變下出現(xiàn)表面失穩(wěn)；(2)當(dāng)基底的泊松比為負(fù)且趨于-1時(shí)，可被壓縮至46%而不出現(xiàn)表面失穩(wěn)，即可膨脹基底能有效抑制薄膜的表面失穩(wěn).本文發(fā)展的方法及主要結(jié)果可為延展性電子器件的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).

薄膜--基底結(jié)構(gòu),表面失穩(wěn),負(fù)泊松比,可延展性電子

引言

Biot的線性擾動(dòng)分析認(rèn)為，平面應(yīng)變條件下，半無(wú)限超彈性材料受壓時(shí)，如果施加壓縮應(yīng)變達(dá)到臨界值εBiot=0.46，自由表面將喪失穩(wěn)定性，形成波浪形褶皺[1].然而實(shí)驗(yàn)[24]、理論[47]以及計(jì)算[8-9]表明當(dāng)施加壓縮應(yīng)變達(dá)到εcrease=0.35時(shí)，自由表面將形成折痕.超彈性塊體在彎曲載荷下通常也可觀察到折痕.折痕不同于褶皺，因?yàn)檎酆叟R界應(yīng)變小于褶皺臨界應(yīng)變?chǔ)與rease＜εBiot.但是具有硬質(zhì)薄膜和厚軟基底構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)受到壓縮時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)波浪形褶皺以降低系統(tǒng)能量[1011].褶皺是自由表面整體無(wú)限小擾動(dòng)，而折痕則是局部大應(yīng)變下的自我接觸.折痕的接觸區(qū)域有尖點(diǎn)，不同于褶皺.這些特殊表面形貌可應(yīng)用到生物仿生[12]、生物淤積[13]、表面粘附[14]和細(xì)胞工程[15]等.但是表面失穩(wěn)[16,17]也會(huì)導(dǎo)致材料失效，比如微電子系統(tǒng)[1819]和復(fù)合材料的屈曲[2021].因此人們?nèi)菀茁?lián)想到的一個(gè)的問(wèn)題是：如何抑制或者推遲表面失穩(wěn)？

為回答上述問(wèn)題，Cao和Hutchinson[22]通過(guò)力學(xué)理論和計(jì)算研究了超彈性硬質(zhì)薄膜在超彈性軟基底上的雙層結(jié)構(gòu)在受壓下的失穩(wěn)[22]，結(jié)果表明褶皺出現(xiàn)的臨界應(yīng)變?chǔ)舧rinkle取決于薄膜的楊氏模量Ef與基底的楊氏模量Es之比Ef/Es.例如Ef/Es=20時(shí)，εwrinkle=0.07[18]；Ef/Es=2時(shí)，εwrinkle=0.30，臨界應(yīng)變小于εcrease和εBiot[22].Feng和Tian[23]，Wang和Zhao[24]詳細(xì)分析了受壓薄膜--基底雙層結(jié)構(gòu)的表面失穩(wěn).考慮了薄膜與基底的楊氏模量，界面的粘結(jié)強(qiáng)度、薄膜厚度和基底的預(yù)拉伸等因素對(duì)表面失穩(wěn)的影響.Jin和Suo[25]最近的研究表明：材料硬化可抑制表面折痕出現(xiàn).隨壓縮應(yīng)變?cè)龃?，平直表面?huì)失穩(wěn)形成折痕.隨著壓縮應(yīng)變?cè)龃蠛筒牧蠎?yīng)變硬化，折痕將隨之消失.這種抑制表面折痕的方法很大程度上依賴材料的本構(gòu)行為，不具有普遍性.

本文提出了一種新穎的方法抑制雙層軟材料表面失穩(wěn)，可適用于不具有應(yīng)變硬化的軟材料.理論分析表明，當(dāng)基底為負(fù)泊松比材料時(shí)，表面失穩(wěn)臨界應(yīng)變可被推遲到εBiot.為驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，建立了有限元模型，研究了受壓下薄膜與基體表面失穩(wěn)的形變過(guò)程.有限元分析結(jié)果表明，所提出的方法能夠抑制或延緩折痕、褶皺、倍褶皺或者折疊等表面失穩(wěn)模式[2627].當(dāng)基底材料為正泊松比時(shí)，沒(méi)有同樣的效應(yīng).因此，負(fù)泊松比基底是抑制雙層軟材料結(jié)構(gòu)表面失穩(wěn)的重要因素.

在研究材料的表面失穩(wěn)時(shí)，先前的理論[1,4,7,10]和計(jì)算[89,22,24]通常假設(shè)材料為不可壓縮的高分子彈性體(泊松比為0.5).但軟材料或多或少具有一定的壓縮性.可壓縮性與溫度T及材料的微觀結(jié)構(gòu)有關(guān)，例如高分子聚合物在溫度T高于自身玻璃化溫度Tg時(shí)，往往不可壓縮；但是當(dāng)T＜Tg時(shí)，往往具有可壓縮性.Greaves等[28]對(duì)此做了詳細(xì)的綜述，分子動(dòng)力學(xué)模擬也證明高分子材料的泊松比與溫度有關(guān)[29].對(duì)于各項(xiàng)同性材料，泊松比ν滿足-1＜ν＜0.5.一些研究者通過(guò)設(shè)計(jì)具有凹角或者弧形的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，得到具有負(fù)泊松比性質(zhì)的材料[2832].

1 表面失穩(wěn)理論模型

如圖1表示，考慮薄膜--基體雙層結(jié)構(gòu).上層為硬質(zhì)薄膜，下層為基底.為考慮泊松比效應(yīng)，采用可壓縮Neo-Hookean模型[29,33]，其自由能函數(shù)為

假設(shè)上層薄膜初始厚度為h，下層基底初始厚度為H.可壓縮基底可通過(guò)微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)得到[32]，比如孔洞.即使存在微觀結(jié)構(gòu)，依然假設(shè)其為均質(zhì)超彈性材料，以方便分析.薄膜和基底材料均假設(shè)為可壓縮的Neo-Hookean材料.一般情況下，考慮無(wú)窮厚基底，假設(shè)h/H=100.在下面的符號(hào)中，下角標(biāo)“s”和“f”分別表示基底和薄膜.

圖1 薄膜--基底雙層結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic ofa thin film-substrat bilayer

在大變形和平面應(yīng)變條件下，一種半解析方法可用于研究多層結(jié)構(gòu)的表面失穩(wěn)問(wèn)題.它主要包括兩個(gè)分析步驟：第一步，統(tǒng)一施加沿x1方向的預(yù)拉伸λ;第二步，在當(dāng)前構(gòu)型下，施加任意波長(zhǎng)的擾動(dòng).

在Lagrangian構(gòu)型中，增量問(wèn)題通過(guò)下式描述

式中Div表示在初始構(gòu)型下的散度算子.通常在即時(shí)構(gòu)型中構(gòu)造失穩(wěn)問(wèn)題，引入變換[35]

平衡方程又可以寫為

式中div表示即時(shí)構(gòu)型下的散度算子.

取以下形式的擾動(dòng)

式中K為波數(shù).

假設(shè)薄膜與基底不存在界面分離和相對(duì)滑移，即在薄膜和基底界面處[36]

其中[·]表示跳躍算子，定義為

上標(biāo)“+”和“-”表示薄膜與基體界面的上方和下方.

在平面應(yīng)變條件下，連續(xù)性條件可表示為

表面失穩(wěn)問(wèn)題的邊界條件為：

上表面

下表面

求解平衡方程可得由待定未知系數(shù)表示的v1和v2的解.按照?qǐng)D1中討論的雙層結(jié)構(gòu)，連續(xù)條件和邊界條件共有8個(gè)方程和8個(gè)待定未知系數(shù).存在非平凡解的條件為8個(gè)方程的系數(shù)矩陣行列式等于零.由此可得表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變.在小變形條件下，可得下式表示的表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變[37]

其中,A0為上層薄膜褶皺的振幅，n為褶皺的數(shù)量，H為基底厚度.

本文考慮了兩種不同的薄膜和基底模量比：Ef/Es=1和Ef/Es=20.

假設(shè)上層薄膜不可壓，即νf=0.5，基底泊松比νs在-1到0.5之間變化.圖2顯示了預(yù)測(cè)的臨界失穩(wěn)應(yīng)變和基底泊松比的關(guān)系.其中定義臨界應(yīng)變?chǔ)與rit=1-λcrit，結(jié)果與Biot[1]，Cao和Hutchnison[22]的結(jié)果一致.從圖2中可見，當(dāng)Ef/Es=1，對(duì)于不同的νs，褶皺出現(xiàn)的臨界應(yīng)變均為0.46，與Biot基于均勻不可壓超彈性材料預(yù)測(cè)結(jié)果相同[1].當(dāng)Ef/Es=20時(shí)，褶皺出現(xiàn)的臨界應(yīng)變隨基底泊松比νs減小而單調(diào)增加.當(dāng)基底泊松比為正時(shí)，泊松比對(duì)于褶皺出現(xiàn)的影響可忽略；當(dāng)基底的泊松比從0到-1變化時(shí)，褶皺出現(xiàn)臨界應(yīng)變劇烈增加(從0.08增加到0.46).當(dāng)νs接近于-1時(shí)，臨界應(yīng)變趨近εBiot=0.46.盡管只展示了Ef/Es=1和Ef/Es=20兩種情形，但詳盡的計(jì)算表明，使用其他模量比的結(jié)果也與此規(guī)律相符.綜上所述，受壓情況下，基底為負(fù)泊松比材料可有效抑制和推遲表面失穩(wěn)發(fā)生，臨界應(yīng)變的上限εBiot=0.46.

圖2 臨界應(yīng)力εcrit隨基底泊松比νs的變化Fig.2 Criticalstrainεcritatonsetof surfacew rinklesvs.Poisson’s ratio of substrateνs

2 表面失穩(wěn)的有限元分析

本節(jié)將應(yīng)用有限元模型進(jìn)一步驗(yàn)證負(fù)泊松比基底可延緩表面失穩(wěn)的結(jié)論.本文所有有限元計(jì)算均采用商用軟件ABAQUS完成[33].基于之前的工作建立有限元模型[29,38]，與Cao和Hutchinson[22]的工作類似.有限元模型采用CPE4H單元，單元總數(shù)為20000.分析主要分兩步完成：(1)線性擾動(dòng)分析；(2)后屈曲分析.第一步采用線性擾動(dòng)分析，得出基礎(chǔ)失穩(wěn)模態(tài)；第二步引入微小缺陷(約為0.05h)乘以基礎(chǔ)失穩(wěn)模態(tài)，對(duì)初始有限元網(wǎng)格進(jìn)行擾動(dòng)，進(jìn)行后屈曲分析.

采用與前節(jié)的理論分析相同的邊界條件，其他參數(shù)Ef/Es=20，νf=0.5.圖3顯示了不同壓縮應(yīng)變下雙層結(jié)構(gòu)表面形貌.首先討論基底泊松比νs=0.4的結(jié)果.周期褶皺出現(xiàn)臨界應(yīng)變?yōu)棣與rit=0.085，如圖3(a)所示，與理論分析相一致.表面正弦褶皺的幅值逐步增大.當(dāng)壓縮應(yīng)變接近0.18時(shí)，出現(xiàn)二次分岔.隨著壓縮應(yīng)變進(jìn)一步增加到0.24，倍褶皺會(huì)出現(xiàn).與Cao和Hutchinson所觀察到的現(xiàn)象相符.若基底的泊松比νs=-0.9，在壓縮應(yīng)變?yōu)?.28時(shí)，薄膜表面并沒(méi)有產(chǎn)生褶皺或者折痕，如圖3(b)所示.當(dāng)壓縮應(yīng)變到0.37時(shí)，表面出現(xiàn)很小幅值的褶皺.壓縮應(yīng)變0.37已經(jīng)大于均勻材料中出現(xiàn)折痕的臨界應(yīng)變值εcrease=0.35[4,7].隨著壓縮應(yīng)變?cè)黾拥?.40，表面折痕會(huì)在薄膜表面形成，但其深度很小，很難用肉眼觀察到.對(duì)比圖2所示的理論分析結(jié)果，可見有限元模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果幾乎一致.

圖3 不同壓縮應(yīng)變下薄膜--基底結(jié)構(gòu)表面形貌Fig.3 Surfacemorphology of thin film-substrat system atdi ff erent compressive strain

3 結(jié)論

目前，高分子聚合物基底被廣泛用于提高金屬和半導(dǎo)體薄膜的延展性[3943].比如銅薄膜可在Kapton基底上達(dá)到超過(guò)50%的應(yīng)變[39]；銀薄膜可延展至46%的應(yīng)變[40].這些研究可幫助設(shè)計(jì)可延展性電子產(chǎn)品[42].本文提出了一種新的方法在壓縮條件下抑制或者推遲雙層基底與薄膜的表面失穩(wěn).負(fù)泊松比基底與超彈性薄膜構(gòu)成的雙層結(jié)構(gòu)，上層薄膜可壓縮至46%而未出現(xiàn)表面失穩(wěn).考慮到壓縮和拉伸同等重要性，該方法為延展性電子產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供了一種新思路.

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STUDY OFSURFACE INSTABILITY ABOUT HYPERELASTIC FILMSON AUXETIC SUBSTRATESUNDER COMPRESSION1)

Huang Chunyang Tang Shan2)Peng Xianghe3)
(College ofAerospace Engineering，Chongqing University，Chongqing 400017，China)

When abilayerstructure consisting ofa thin sti ff fil and a thick compliantsubstrate subjected to compressive deformation,its free surfacewould bew rinkled tom inim ize the energy of the system,and di ff erentw rinkle patternsmay appear fordi ff erentratiosof themodulusof the fil to thatof thesubstrate.In thisarticle,wedeveloped anovelapproach to suppress the surface instability of such bilayermaterialsunder severe compression by adjusting the Poisson’s ratio of the substrates.Thisapproach isalso applicable to thebilayer consisting ofa softsubstrateand a fil w ith elasticmodulus sim ilar to thatof the substrate.We developed an analyticalapproach for surface instability of the bilayer based on Neo-Hookeanmodel in the case of small deformation,and obtained the critical strain of the bilayerw ith a semi-analytical method.Then,we used finit elementapproach(FEA)to illustrate that the instability of the thin fil can be delayed if the substrate hasa negative Poisson’s ratio.We showed that：(1)when the Poisson’s ratio of the substrate is positive and close to 0.5(nearly incompressible),the surface instabilitymay occur to the bilayer system ata very small compressive strain;(2)if the Poisson’s ratio of thesubstrate isnegativeand close to-1,the fil can be compressed up to 46%w ithout occurence surface instability.The approach developed and the results obtained in this article imply a greatpotentialofauxeticmaterialsused to enhance the compressibility of thin films which can provideguidance for the design of lam inate ductileelectronic devices.

thin film-substrat system,surface instability,negative Poisson’s ratio,stretchableelectronics

O34

A

10.6052/0459-1879-17-161

2017-05-08收稿，2017-05-31錄用,2017-05-31網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472065).

2)唐山，教授，主要研究方向：跨尺度數(shù)值模擬與力學(xué)表征.E-mail：shan tang 0917@163.com

3)彭向和，教授，主要研究方向：跨尺度數(shù)值模擬與力學(xué)表征.E-mail：xhpeng@cqu.edu.cn

黃春陽(yáng),唐山,彭向和.超彈性薄膜與可壓縮基底雙層結(jié)構(gòu)表面失穩(wěn)分析.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(4)：758-762

Huang Chunyang,Tang Shan,Peng Xianghe.Study of surface instability abouthyperelastic film on auxetic substratesunder compression.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：758-762