劉璟澤姜東韓曉林費(fèi)慶國

?(東南大學(xué)工程力學(xué)系,南京210096)?(東南大學(xué)空天機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究所,南京211189)??(南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院,南京210037)

動(dòng)力學(xué)與控制

曲線加筋Kirchho ff-M ind lin板自由振動(dòng)分析1)

劉璟澤?,?姜東?,??韓曉林?費(fèi)慶國?,2)

?(東南大學(xué)工程力學(xué)系,南京210096)?(東南大學(xué)空天機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究所,南京211189)??(南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院,南京210037)

相比傳統(tǒng)加筋板，曲線加筋板能夠更充分地發(fā)揮材料力學(xué)性能.在加筋板力學(xué)分析中，厚板通常采用Reissner-M indlin理論，然而當(dāng)板厚較薄時(shí)易出現(xiàn)剪切自鎖，離散的Kirchho ff-M indlin理論采用假設(shè)剪切應(yīng)變場可避免該問題.針對(duì)曲線加筋Kirchho ff-M indlin板自由振動(dòng)分析，采用離散的Kirchho ff-M indlin三角形單元和Timoshenko曲梁單元分別模擬板和加強(qiáng)筋，根據(jù)板的位移插值函數(shù)及筋板交界面的位移協(xié)調(diào)條件，建立基于板單元位移自由度的有限元方程.為了驗(yàn)證方法的有效性和準(zhǔn)確性，采用直線加筋薄板、曲線加筋薄板和厚板3種模型進(jìn)行算例研究，通過收斂性和精度分析來選擇合理的有限元網(wǎng)格密度.直線加筋薄板前20階固有頻率均與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好；曲線加筋板算例中，本文方法滿足收斂條件的板單元數(shù)目為2469，Nastran模型板單元數(shù)目為6243；本文所得曲線加筋板固有頻率與Nastran計(jì)算結(jié)果最大誤差為3.4%.研究結(jié)果表明，本文方法無需筋板單元共節(jié)點(diǎn)，可使用較少的有限元網(wǎng)格數(shù)量，并能夠保證計(jì)算精度；在離散Kirchho ff-M indlin三角形板單元基礎(chǔ)上構(gòu)造Timoshenko梁單元可同時(shí)適用于曲線加筋薄板與厚板自由振動(dòng)分析.

曲線加筋，Kirchho ff-M indlin板，自由振動(dòng)分析

引言

加筋結(jié)構(gòu)在同等重量條件下具有更加出色的力學(xué)性能，已廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、汽車等領(lǐng)域.傳統(tǒng)的加筋板/殼多采用橫向、縱向或按照特定角度鋪設(shè)筋條，并不能最大限度地發(fā)揮材料性能.Kapania等[1]提出了曲線筋的概念，曲線加筋可有效考慮局部性能，更利于結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì).

在加筋板有限元建模中，當(dāng)筋條形狀發(fā)生改變時(shí)，為使筋板節(jié)點(diǎn)一致，必須對(duì)筋節(jié)點(diǎn)重新劃分單元.為了克服這種困難，許多研究者提出在有限元分析中使用等參單元對(duì)筋板分別建模，然后利用板單元的節(jié)點(diǎn)近似表達(dá)筋單元節(jié)點(diǎn).Mukhopadhyay等[2]進(jìn)行了偏心加筋板的自由振動(dòng)分析.通過有限元方法中的插值函數(shù)，利用筋板接觸面的位移協(xié)調(diào)條件，使得筋的位移和幾何坐標(biāo)可以用板的形式表達(dá).因此，加強(qiáng)筋可以被布置在板單元內(nèi)的任意位置，無需沿著板的節(jié)點(diǎn)線布置.Ghosh和Biswal[3-4]使用四節(jié)點(diǎn)矩形單元模擬板單元，加強(qiáng)筋單元?jiǎng)偠染仃囉媒罟?jié)點(diǎn)所在的四節(jié)點(diǎn)板單元來表達(dá).Kumar和Mukhopadhyay[5]使用梁單元對(duì)加強(qiáng)筋來建模.梁單元的節(jié)點(diǎn)位移和坐標(biāo)被其所在板的殼單元節(jié)點(diǎn)位移和坐標(biāo)插值得到.此模型被廣泛應(yīng)用于加筋板結(jié)構(gòu)的靜力分析[67]，屈曲分析[810]，自由振動(dòng)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析[11-15].

關(guān)于加強(qiáng)筋的建模方法，經(jīng)歷了一段時(shí)期的發(fā)展，早期線性插值函數(shù)被用來模擬加強(qiáng)筋，但事實(shí)證明它會(huì)導(dǎo)致較大的位移、應(yīng)力誤差[16]，隨后，科研工作者采取增加節(jié)點(diǎn)自由度、增加插值函數(shù)的階數(shù)來提高模擬精度[17].近來，人們多采用3節(jié)點(diǎn)梁單元，對(duì)加強(qiáng)筋進(jìn)行建模[1820].

為了對(duì)加筋板的板單元建模，基于Kirchho ff薄板理論，Barik等[21]結(jié)合四節(jié)點(diǎn)矩形平面應(yīng)力單元和板彎曲單元進(jìn)行了加筋板的靜力、自由振動(dòng)和前屈曲分析.基于Reissner-M indlin厚板理論，Mukheriee和Mukhoadhyay[22]使用等參單元進(jìn)行加筋板自由振動(dòng)和屈曲分析.Holopainen[23]應(yīng)用混合插值彎曲板單元進(jìn)行加筋板的自由振動(dòng)分析，可以有效避免剪切鎖死，且具有較好收斂性.Nguyen-Thoi等[24]基于平滑離散剪切間隙方法，將板單元和膜元結(jié)合，并使用厚梁單元模擬筋條進(jìn)行了加筋板的自由振動(dòng)分析.章向明等[2526]構(gòu)造了用于復(fù)合材料偏心加筋板、殼結(jié)構(gòu)大變形分析的板、殼單元，此模型將肋骨連同板、殼視為一個(gè)單元，即偏心加筋板、殼單元，同時(shí)考慮了幾何非線性和剪切變形.張志峰等[27]基于精細(xì)三角形M indlin板單元構(gòu)造了21個(gè)自由度三角形復(fù)合材料加筋板、殼單元，并將其應(yīng)用于加筋板、殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)、屈曲的分析.

Katili[28]基于Reissner-M indlin板理論和假設(shè)剪切應(yīng)變場提出了一種離散的Kirchho ff-M indlin三角形彎曲板單元DKMT，這種單元同時(shí)適用于厚板與薄板分析，可以避免剪切鎖死和零能模式.

本文使用DKMT單元作為板單元，采用網(wǎng)格劃分工具DistMesh[29]生成板的有限元網(wǎng)格，鐵木辛柯梁單元作為筋單元，利用三階B-Spline曲線對(duì)加強(qiáng)筋進(jìn)行幾何建模.筋板單元無需共節(jié)點(diǎn)，加強(qiáng)筋可以在板內(nèi)任意布置.本文首先進(jìn)行了收斂性研究，將直線加筋板頻率結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得出了收斂的有限元模型；其次分別分析了薄板和厚板情況下的曲線加筋板固有頻率和振型，并與Nastran分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

1 離散K irchho ff-M ind lin三角形單元

1.1 位移場

離散Kirchho ff-M indlin三角形單元(discreteKirchho ff-M indlin triangular,DKMT)是一種包含橫剪切效應(yīng)的彎曲板單元,結(jié)合文獻(xiàn)[30]中對(duì)板單元內(nèi)撓度場定義，單元內(nèi)任意一點(diǎn)撓度和法線轉(zhuǎn)角可以表達(dá)為

其中，Np,1=λ，Np,2=ξ，Np,3=η，Pk表示一組高階函數(shù)，P4=4λξ，P5=4ξη，P6=4λη，λ=1-ξ-η.wp,i是1,2,3節(jié)點(diǎn)的撓度，βpx,i和βpy,i是1,2,3節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，?βsk是中點(diǎn)4,5,6的轉(zhuǎn)角.Ck和Sk是三角形邊與x軸所成角度的余弦和正弦值.單元如圖1所示.

圖1 離散的Kirchho ff-M indlin三角形單元Fig.1 Discrete Kirchho ff-M indlin triangularelement

1.2 本構(gòu)關(guān)系

彎曲應(yīng)變?yōu)?/p>

將式(1)代入式(2)，得

剪應(yīng)變可以表示為

式中，up為三角形單元三個(gè)角節(jié)點(diǎn)位移，?βsk為三個(gè)邊中點(diǎn)切向轉(zhuǎn)角，?βsk與up之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系

式(3)～式(5)中，Bbβ,Bb?β,Bs?β和An表達(dá)式見參考文獻(xiàn)[28].

對(duì)于線彈性、各向同性均勻的平板，彎矩本構(gòu)方程為

剪力本構(gòu)方程為

其中，Db=Eh3/12(1-v2)，Dsh=kGh，E是楊氏模量，h是平板厚度，v是泊松比，k=5/6是剪切修正系數(shù)，G是剪切模量.

1.3 單元的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣

彎曲剛度矩陣為

其中

剪切剛度矩陣為

其中

則采用兩點(diǎn)高斯積分得到板單元的剛度矩陣為

單元的質(zhì)量矩陣Mp采用集中質(zhì)量矩陣，單元的每個(gè)結(jié)點(diǎn)上集中1/3的質(zhì)量.

2 曲線加強(qiáng)筋理論

假設(shè)曲線加強(qiáng)筋具有均勻截面，由均質(zhì)、各向同性、線彈性材料制成，如圖2所示.利用三節(jié)點(diǎn)等參梁單元模擬加強(qiáng)筋，其坐標(biāo)可由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和插值函數(shù)表示為

加強(qiáng)筋的彈性常數(shù)矩陣可以寫為

其中，rs=(xs,ys)為加強(qiáng)筋在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；Ns,i是3節(jié)點(diǎn)等參曲梁單元的形函數(shù).根據(jù)曲線筋的切線方向t、法線方向n、次法線方向b建立局部坐標(biāo)系,任意點(diǎn)的位移場可由其單元節(jié)點(diǎn)位移和插值函數(shù)表示為

加強(qiáng)筋的質(zhì)量矩陣可以寫成

其中，usT={wb,βt,βn},us,i是局部坐標(biāo)系下曲線筋單元第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移.

線性應(yīng)變可以表示為

其中,1/R表示加強(qiáng)筋曲率[14],Es是加強(qiáng)筋的彈性模量；Gs是加強(qiáng)筋的剪切模量；A是加強(qiáng)筋的橫截面積；bs和hs分別是加強(qiáng)筋的截面寬度和高度；Ab表示b方向的剪切面積,Ab=KbA；Kb表示b方向的剪切強(qiáng)度因子；In和Ib表示加強(qiáng)筋橫截面相應(yīng)于n方向和b方向的二次轉(zhuǎn)矩，In=bs/12+e2As，Ib=bs/12；Jt是加強(qiáng)筋截面的扭力常數(shù)，對(duì)于矩形加強(qiáng)筋，可以近似表示為Jt=hs/3.

3 加筋板有限元方程

圖2 加強(qiáng)筋位移和局部坐標(biāo)系Fig.2 Displacementand localcoordinate system for the curved sti ff eners

得到上述加強(qiáng)筋應(yīng)變矩陣及彈性矩陣后，可通過數(shù)值積分計(jì)算加強(qiáng)筋剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，但此時(shí)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣仍由加強(qiáng)筋的位移來表示，為建立加筋板的有限元方程，需采用板的節(jié)點(diǎn)位移來表示加強(qiáng)筋的位移.分析流程如圖3所示.

在筋板接觸位置，筋與板的坐標(biāo)和位移都應(yīng)是相同的，板單元內(nèi)的坐標(biāo)和位移可采用板單元節(jié)點(diǎn)插值表示，在整體坐標(biāo)系下，第i個(gè)筋節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)可由板節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示為

圖3 曲線加筋板模態(tài)分析流程Fig.3 Flow chartofmodalanalysis for curvilinearly sti ff ened plates

加強(qiáng)筋在局部坐標(biāo)系下和整體坐標(biāo)系下的位移可以通過轉(zhuǎn)換矩陣實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換

其中，usgT={ws,βsx,βsy}為加強(qiáng)筋在整體坐標(biāo)系下的位移.轉(zhuǎn)換矩陣為

加強(qiáng)筋在整體坐標(biāo)系下的位移可用筋節(jié)點(diǎn)位移插值表示為

則整體坐標(biāo)系下第i個(gè)筋節(jié)點(diǎn)的位移可由板節(jié)點(diǎn)位移表示為

根據(jù)式(5)可知邊中點(diǎn)切向轉(zhuǎn)角與板三個(gè)角節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，將式(5)和式(22)代入式(21)可得

則加強(qiáng)筋內(nèi)的位移場就可由板單元的節(jié)點(diǎn)位移來表示

至此，筋和板節(jié)點(diǎn)位移自由度轉(zhuǎn)化完成，并可以得到由板的位移自由度表示的加強(qiáng)筋的剛度矩陣，則加強(qiáng)筋的單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸?/p>

加強(qiáng)筋的單元質(zhì)量矩陣可以表示為

Js是筋單元的雅克比矩陣,行列式的值為

建立曲線加筋板的自由振動(dòng)分析有限元方程如下

其中,Kp和Ks分別是板和筋的剛度矩陣，通過兩點(diǎn)高斯積分求得；Mp和Ms分別是板和筋的質(zhì)量矩陣，Mp由集中質(zhì)量矩陣求得，Ms通過兩點(diǎn)高斯積分求得；ω是固有頻率；d是板的節(jié)點(diǎn)位移自由度向量.

4 曲線筋參數(shù)化建模

Zhao等[10]提出一種曲線筋參數(shù)化建模方法，在參數(shù)化空間中，曲線筋的位置、曲率和筋條數(shù)目用于參數(shù)化加強(qiáng)筋的形狀.利用三階B-Spline曲線來生成曲線筋的形狀曲線，起始點(diǎn)A和結(jié)束點(diǎn)B位于自然空間上的邊緣，用于參數(shù)化曲線筋的位置，控制點(diǎn)C用來控制曲線筋的曲率.初始控制點(diǎn)C0是線段AB中點(diǎn)，d是垂直于向量AB的單位向量，控制點(diǎn)C的位置可以按曲率設(shè)計(jì)步長α沿方向d移動(dòng)C0得到.曲線加強(qiáng)筋的參數(shù)化表達(dá)方式如圖4所示.邊界參數(shù)與點(diǎn)自然坐標(biāo)的關(guān)系如表1所示.

圖4 曲線加強(qiáng)筋的參數(shù)化表達(dá)方式Fig.4 Parametric expression of curvilinear sti ff ener

表1 邊界參數(shù)c和點(diǎn)自坐標(biāo)(ξ,η)的關(guān)系Table1 The relationship between the perimeterparameterε and the pointnatural coordinates(ξ,η)

5 數(shù)值算例

5.1 直線加筋板自由振動(dòng)分析

考慮一四周固支的直線加筋板，如圖5所示，加強(qiáng)筋偏心布置，材料參數(shù)E=68.9GPa，v=0.3，ρ=2670 kg/m3，進(jìn)行自由振動(dòng)分析.Olson等[31]對(duì)此模型進(jìn)行了自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)以及有限元分析，Holopainen[23]應(yīng)用一種混合插值彎曲板單元對(duì)此模型進(jìn)行自由振動(dòng)分析，Nguyen-Thoi等[24]基于平滑離散剪切間隙方法，將板單元和膜元結(jié)合，并使用厚梁單元模擬筋條對(duì)此模型進(jìn)行了自由振動(dòng)分析.

圖5 雙筋直線加筋板幾何模型Fig.5 Geometry of sti ff ened platew ith two straightsti ff eners

首先進(jìn)行收斂性研究，計(jì)算無筋板固有頻率隨網(wǎng)格密度變化，從表2結(jié)果可知,當(dāng)板網(wǎng)格密度為32×32時(shí)，板的自由振動(dòng)頻率開始收斂.保持板網(wǎng)格密度為32×32，研究直線加筋板固有頻率隨筋單元數(shù)目變化的收斂性，直線加筋板固有頻率結(jié)果如表3所示.由表3可知，當(dāng)筋單元數(shù)目為15時(shí)，加筋板固有頻率開始收斂.由此可見，板單元網(wǎng)格密度采用32×32，每條加強(qiáng)筋單元數(shù)目采用15時(shí)，對(duì)此模型進(jìn)行自由振動(dòng)分析結(jié)果是收斂的.

表2 無筋板固有頻率隨網(wǎng)格密度變化Table 2 Natural frequencies change foran unsti ff ened plate w ith the panelmesh densityHz

表3 不同筋單元數(shù)目下加筋板(32×32)固有頻率Table 3 Natural frequencies change for the sti ff ened plate(32×32)w ith di ff erentsti ff enerelementsnumber Hz

為了驗(yàn)證本方法的準(zhǔn)確性，將本文計(jì)算所得數(shù)值結(jié)果與參考文獻(xiàn)[23-24,31]中的試驗(yàn)及仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.對(duì)比結(jié)果參見表4和圖6.由對(duì)比結(jié)果可知，本方法求得的固有頻率和文獻(xiàn)結(jié)果吻合較好，本方法的精確性得到了驗(yàn)證.

5.2 曲線加筋板自由振動(dòng)分析

5.2.1 收斂性及準(zhǔn)確性驗(yàn)證

考慮一中心帶孔曲線加筋板，模型如圖7所示，材料參數(shù)E=69GPa，v=0.3，ρ=2823 kg/m3，曲線筋的位置和曲率參數(shù)分別為?ε=0.0625，α=0.5,方板邊長a=2m，厚度為t，孔半徑為r=0.4m，曲線筋截面如圖2所示，采用偏心加強(qiáng)筋，截面高度hs=0.1908m，寬度bs=0.0191m.邊界條件為四周簡支.

表4 直線加筋板固有頻率Table 4 Natural frequenciesof the linearly sti ff ened plate Hz

圖6 直線加筋板固有頻率對(duì)比Fig.6 Comparison ofnatural frequencies for the linearly sti ff ened plate

圖7 曲線加筋板有限元模型Fig.7 Finiteelementmodel for the curvilinearly sti ff ened plate

使用網(wǎng)格劃分工具DistMesh劃分板有限元網(wǎng)格，選擇固定網(wǎng)格密度函數(shù)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)h0來控制板單元網(wǎng)格劃分[30].使用三階B-Spline曲線來生成曲線筋的形狀曲線，為保證筋條交匯處位移協(xié)調(diào)，在筋條交匯處建立節(jié)點(diǎn)，如圖8所示.

圖8 筋條交匯處有限元模型Fig.8 Finiteelementmodelof intersection of sti ff eners

首先進(jìn)行收斂性驗(yàn)證，選擇板厚t=0.02m，通過調(diào)節(jié)參數(shù)h0獲得5種不同密度網(wǎng)格，如圖9所示.對(duì)不加筋板進(jìn)行自由振動(dòng)分析，5種不同密度板單元網(wǎng)格下板的固有頻率結(jié)果如表5所示.結(jié)果表明，當(dāng)h0=0.04時(shí)，板的固有頻率開始收斂.保持板單元網(wǎng)格為h0=0.04時(shí)不變，網(wǎng)格數(shù)為2469，考察了不同數(shù)目筋單元對(duì)曲線加筋板的頻率結(jié)果的影響.

圖9 板單元網(wǎng)格劃分Fig.9 Di ff erentmesh size for the plate

表5 無筋帶孔板固有頻率隨板的網(wǎng)格尺寸變化(t=0.02m)Table 5 Natural frequencies change foran unsti ff ened plate w ith aholew ith the panelmesh size(t=0.02m)Hz

曲線加筋板固有頻率隨著每條筋單元數(shù)目變化結(jié)果如表6和圖10所示.結(jié)果表明，當(dāng)每條筋采用15個(gè)單元時(shí)，曲線加筋板頻率結(jié)果開始收斂，因此采用h0=0.04時(shí)的板網(wǎng)格和每條筋15個(gè)三節(jié)點(diǎn)梁單元作為本例的有限元模型，其數(shù)值結(jié)果認(rèn)為是本方法的可靠結(jié)果.

圖10 曲線加筋板固有頻率隨每條筋單元數(shù)目變化Fig.10 Natural frequencies change for the curvilinearly sti ff ened platew ith di ff erentsti ff ener elementsnumber

為驗(yàn)證本方法的準(zhǔn)確性，將數(shù)值結(jié)果與Nastran結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表6所示.在Nastran建模中，采用6243個(gè)CTRIA3板單元，每條曲線加強(qiáng)筋采用50個(gè)CBAR梁單元.對(duì)比結(jié)果顯示誤差較小，本文方法準(zhǔn)確性得到了驗(yàn)證.

表6 曲線加筋板固有頻率隨筋單元數(shù)目變化(t=0.02m)Table 6 Natural frequencieschange for the curvilinearly sti ff ened platew ith the sti ff enerelementsnumber(t=0.02m)Hz

圖10 曲線加筋板固有頻率隨每條筋單元數(shù)目變化(續(xù))Fig.10 Natural frequencieschange for the curvilinearly sti ff ened platew ith di ff erentsti ff enerelementsnumber(continued)

5.2.2 振型分析結(jié)果

除了固有頻率的驗(yàn)證，振型的驗(yàn)證也是必要的，振型的精確與否可以反映本文方法所求特征向量的準(zhǔn)確性.利用圖7模型，選擇t=0.02m和t=0.2m兩種板厚，兩種情況下的前五階振型及頻率分別如圖11和圖12所示.從圖11和圖12可以看出,本文方法所獲得振型及頻率與Nastran結(jié)果吻合較好.

圖11 曲線加筋板振型(t=0.02m)Fig.11 Mode shapesof the curvilinearly sti ff ened plate(t=0.02m)

圖12 曲線加筋板振型(t=0.2m)Fig.12 Mode shapesof the curvilinearly sti ff ened plate(t=0.2m)

6 結(jié)論

本文以離散的Kirchho ff-M indlin三角形單元為板單元，Timoshenko梁單元為筋單元，建立了直線與曲線加筋板有限元模型，分別對(duì)雙直筋加筋板與4條加強(qiáng)筋曲線加筋板進(jìn)行模態(tài)分析，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)及Nastran仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.得到如下結(jié)論：

(1)采用離散的Kirchho ff-M indlin三角形單元和Timoshenko梁單元分別為加筋板的板單元和梁單元，實(shí)現(xiàn)了一種曲線加筋板有限元分析方法.筋板單元無需共節(jié)點(diǎn)，當(dāng)加強(qiáng)筋單元發(fā)生改變時(shí)，板網(wǎng)格無需進(jìn)行改變.有限元分析結(jié)果表明,本文方法可同時(shí)適用于薄板和厚板情況下的曲線加筋板分析.

(2)通過收斂性研究表明,本文方法對(duì)于分析直線和曲線加筋板問題收斂性較好.通過與文獻(xiàn)結(jié)果及Nastran結(jié)果對(duì)比表明,本文方法所得固有頻率及特征向量精度較高，且本文方法可以采用比商業(yè)有限元軟件更少的網(wǎng)格獲得精度相近的結(jié)果.

(3)采用離散的Kirchho ff-M indin三角形單元模擬板單元進(jìn)行加筋板分析時(shí)，板單元內(nèi)撓度場可以通過單元角點(diǎn)撓度線性插值來表示，筋的位移自由度可以通過板的位移插值函數(shù)及筋板交界面的位移兼容條件，與板的位移自由度建立起映射關(guān)系，進(jìn)而建立起基于板的位移自由度的結(jié)構(gòu)有限元方程.

(4)可以通過改變曲線筋的數(shù)目、位置和曲率參數(shù)來得到不同的曲線加筋板模型進(jìn)行分析，從而對(duì)曲線加筋板結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行改變，為曲線加筋板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ).

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FREE VIBRATION ANALYSISOFCURVILINEARLY STIFFENED KIRCHHOFF-M INDLIN PLATES1)

Liu Jingze?,?Jiang Dong?,??Han Xiaolin?FeiQingguo?,2)?(DepartmentofEngineering Mechanics，SoutheastUniversity，Nanjing 210096，China)?(Institute ofAerospace Machinery and Dynamics，SoutheastUniversity，Nanjing 211189，China)??(College ofMechanicaland Electronic Engineering，Nanjing Forestry University，Nanjing 210037，China)

Comparedw ith traditionalsti ff ened plates,curvilinearly sti ff ened plates can deliver themechanicalproperties ofmaterialsmoreadequately.Inmechanicalanalysisof sti ff ened thick plates,Reissner-M indlin theory isusually adopted.However,di ffi culties are encountered in connection w ith shear locking when the plate thickness approaches zero.In order to avoid the above problem,the discrete Kirchho ff-M indlin theory was investigated by employing the assumption of shear strain field An e ffi cient finit elementapproach for free vibration analysis of curvlinearly sti ff ened Kirchho ff-M indlin platesispresented in thispaper.ThediscreteKirchho ff-M indlin triangular(DKMT)elementand the Timoshenko curved beam element are employed formodeling the plate and the sti ff eners,respectively.The finit element equation is established through the displacement interpolation function of plate and the displacement compatibility conditions atthe plate-sti ff ener interfaces.In order to verify the e ffi ciency and accuracy of the presentmethod,linearly sti ff ened thin plateand curvilinearly sti ff ened thin and thick platesareused asnumericalexamples.The reasonable finit elementmesh density isselected by convergenceand accuracy analysis.The firs 20 natural frequenciesof the linearly sti ff ened plateare in good agreementw ith the literature.In the examplesof the curvilinearly sti ff ened plate,the number of plate elements satisfying the convergence condition is 2469,while the number in Nastranmodel is 6243.Themaximum error of the natural frequency between the presentmethod and Nastran is3.4%.Resultsshow thatpresentapproach can guarantee the accuracy of calculationw ith lessnumberofelements.Thepresentmethod can beapplied to the freevibration analysisof both sti ff ened thin and thick plates.

curvilinearly sti ff ener,Kirchho ff-M indlin plate,freevibration analysis

V214.3

A

10.6052/0459-1879-17-041

2017-02-16收稿，2017-05-27錄用,2017-06-01網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11572086,11602112)及教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-11-0086)資助項(xiàng)目.

2)費(fèi)慶國，教授，主要研究方向：動(dòng)力學(xué)與控制.E-mail：qgFei@seu.edu.cn

劉璟澤,姜東,韓曉林,費(fèi)慶國.曲線加筋Kirchho ff-M indlin板自由振動(dòng)分析.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(4)：929-939

Liu Jingze,Jiang Dong,Han Xiaolin,FeiQingguo.Free vibration analysisof curvilinearly sti ff ened Kirchho ff-M indlin plates.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：929-939