安徽省合肥育英學(xué)校 趙 杰

面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

安徽省合肥育英學(xué)校 趙 杰

面積及面積法相關(guān)知識是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，通過對面積和面積法的學(xué)習(xí)，一方面能夠使學(xué)生更好、更直觀地學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)學(xué)知識，另一方面通過面積法構(gòu)建“數(shù)形結(jié)合”幾何模型，能夠?qū)⒅袑W(xué)數(shù)學(xué)中一些較為抽象和代數(shù)化的知識進(jìn)行更為直觀、具象的幾何解釋。這些都對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，理解數(shù)學(xué)思想，提升和強(qiáng)化學(xué)生的具象思維和直覺思維等大有裨益。

面積法；數(shù)形結(jié)合

一、面積法的定義

面積法是在面積理論基礎(chǔ)上所推演出來的利用面積求解直接相關(guān)或間接相關(guān)數(shù)學(xué)問題的一種方法。關(guān)于面積法的定義，現(xiàn)行的教材上有明確的表述，即：采用某種特定的手段，使面積與面積、面積與邊角關(guān)系等相互轉(zhuǎn)化，從而使問題更加簡單直觀、易于解決的一種方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，面積法是較為常見且運(yùn)用頻率較多的一種方法，其通常被運(yùn)用于計(jì)算平面幾何圖形的面積問題，也常用于邊角關(guān)系、線段的“和差倍分”關(guān)系等問題的證明。學(xué)生在解題過程中，若能靈活、熟練地使用面積法，將大大縮減解題步驟，降低問題難度，從而達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

二、面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在本章，筆者就簡要介紹面積法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的幾種巧用。

1.用面積法證明線段間的關(guān)系

面積法的運(yùn)用十分廣泛，在證明線段的“和差倍分”關(guān)系時(shí)，面積法的作用和便捷性也不容忽視。通常情況下，證明平面圖形線段的“和差倍分”關(guān)系大多需要添加一些輔助線，而采用面積法則大多數(shù)情況無需添作輔助線就可完成證明。即采用面積法求證線段間的關(guān)系，可以結(jié)合題目中已給出的條件來搭建圖形面積間的關(guān)系，從而達(dá)到便捷解題的目的。與此同時(shí)，采用面積法求證線段的“和差倍分”關(guān)系還有助于開闊學(xué)生思路，啟發(fā)學(xué)生思維，對學(xué)生綜合素質(zhì)的發(fā)展和提升十分有利。

例1 如圖1所示，在△ABC中，CE為B邊上的高，BD為AC邊上的高，并且AB＞AC，求證：BD＞CE。

分析：本題求證線段BD與CE的大小關(guān)系，這屬于線段“和差倍分”關(guān)系證明題中的一種。用面積法求證較為簡單直觀，可操作性很強(qiáng)。在證明過程中，教師可以將證明任務(wù)D＞CE轉(zhuǎn)化為對△ABC的面積構(gòu)建。

圖1

2.用面積法證明線段的比例等式

在證明線段的比例等式時(shí)面積法的作用也非常大，證明方法采用面積法，通過“面積”這一橋梁，巧妙地證明了幾何圖形中線段的比例關(guān)系，既直觀又清晰，同時(shí)易于被學(xué)生所學(xué)習(xí)、理解和掌握。

例2如圖2所示，已知△ABC中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE，并延長交AC于點(diǎn)F，若BD∶CD=2∶1，求證AF∶FC=2∶3。

圖2

3.用面積法得到一些有用的結(jié)論

（1）有一條公共邊的兩個(gè)三角形面積的比，等于它們的第三頂點(diǎn)連線被公共邊分成的兩條線段的比（內(nèi)分比或外分比）。

（2）等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離的和是一個(gè)定值。

（3）梅涅勞斯Menelaus定理。

（4）（2）中推廣到任意正n邊形，其定值是邊心距的n倍。

面積這塊內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，其貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。通過學(xué)習(xí)面積和面積法，并在數(shù)學(xué)解題中巧妙地運(yùn)用面積法求解和證明問題，既可以幫助學(xué)生深刻理解“數(shù)形結(jié)合”的思想內(nèi)涵，使其在解題過程中自覺樹立起“數(shù)形結(jié)合”觀念，建構(gòu)出直觀的幾何模型和知識框架，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)容，靈活運(yùn)用、觸類旁通，有力地打破傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中容易形成的思維定式弊端，又可以培養(yǎng)起學(xué)生的幾何直觀，化繁為簡，化抽象為具象，解決以往學(xué)生普遍反映的畏懼平面幾何這一問題，有助于增強(qiáng)學(xué)生自信，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

[1]黃啟林.面積問題與面積方法[J].數(shù)學(xué)通訊，2011（09）.

[2]黃勇等.巧用面積法解幾何題[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)，2014（08）.