浙江省金華市湯溪高級中學(xué) 郭 增 張擁軍

重溫高考經(jīng)典問題，體會模型化思想方法

浙江省金華市湯溪高級中學(xué) 郭 增 張擁軍

翻折問題是立體幾何動態(tài)問題中的一類常見問題。翻折問題都可以理解為圓錐或圓錐的組合體。在圓錐的背景下理解翻折問題，可以揭示它們的命題背景，看清數(shù)學(xué)本質(zhì)，盡顯數(shù)學(xué)之美。

動態(tài)問題；翻折問題；圓錐；數(shù)學(xué)本質(zhì)

作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、鍛煉學(xué)生思維、引導(dǎo)學(xué)生認識事物本質(zhì)這一層面有著不可替代的作用。高中立體幾何部分內(nèi)容不多，所涉及的公理、定理與性質(zhì)也不太難理解，需重點掌握的證明與計算都有現(xiàn)存模型，但還是有不少學(xué)生對立體幾何問題無所適從，特別是對動態(tài)問題更是望而生畏。其實，立體幾何問題，特別是動態(tài)問題，一般都可以通過改變視角，或平面化，或?qū)ふ易兓^程的不變因素，從而把問題化歸到最本質(zhì)的定理、性質(zhì)、現(xiàn)有結(jié)論或簡單的幾何模型中。

翻折問題是動態(tài)問題中的一類最常見問題，學(xué)生對翻折過程缺乏深刻認識而導(dǎo)致缺乏足夠的空間位置把握能力，加之求解策略也比較匱乏，因此對求解空間翻折問題總感到力不從心。鑒于此，筆者擬結(jié)合浙江省2010年高考試題中的立體幾何問題的分析與思考，力求梳理求解空間翻折問題的策略，供讀者參考。

空間翻折問題的本質(zhì)是一個局部旋轉(zhuǎn)問題，其旋轉(zhuǎn)軸即為翻折的折線，因此它具備旋轉(zhuǎn)的特點，從幾何體的視角看翻折問題，它實質(zhì)上是圓錐或圓錐組合，或是圓臺的部分。這些幾何體中的幾何元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系將有助于更深刻地理解翻折問題，更好地把握翻折問題中的不變量與不變關(guān)系，從而形成有效的求解策略。

一、問題展示

（2010年浙江省高考數(shù)學(xué)理科卷第20題節(jié)選）如圖1，在矩形BCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB,AD上，AE=EB=FD=4。沿直線F將△AEF翻折成AE'EF，使平面A'EF⊥平面BEF。點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使與A重合，求線段FM的長。

二、求解策略分析

顯然，直線MN是旋轉(zhuǎn)軸，如果以直線MN為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，那么點C與點D的軌跡都是圓，它們的半徑是點C與點D到直線MN的距離。線段MD是以M為頂點D的軌跡為底面圓的圓錐的母線，同理可以分析NC，CD在旋轉(zhuǎn)過程中形成的幾何量。

1.利用圓錐母線等長分析翻折問題

反思：借助于圓錐的模型分析翻折過程，利用母線長相等一下子抓住了問題的本質(zhì)與關(guān)鍵。

2.利用圓錐的旋轉(zhuǎn)軸垂直于底面這一簡單的性質(zhì)分析翻折問題

反思：圓錐母線等長是圓錐模型中的一個核心關(guān)系，它還有另一個核心關(guān)系：旋轉(zhuǎn)軸垂直于底面，它同樣是把握翻折問題的一個關(guān)鍵。

3.利用圓錐的母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角相等分析翻折問題

反思：母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角相等與母線等長本質(zhì)上是一致的，只是轉(zhuǎn)換一下看問題的角度，并無本質(zhì)上的差別。

4.利用圓錐的底面半徑長度不變性質(zhì)分析翻折問題

如圖4，作CH⊥MN于點H，延長CH交于點G，連接A1H，A1G，則A1H，CH就是圓錐底面圓的半徑。所以，因為MN⊥A1H，MN⊥GH，所以MN⊥平面A1GH，所以A1G⊥MN，即G為EF的中點。

綜上所述，盡管空間翻折問題變化多端，靈活多樣，但是在讓人眼花繚亂的表象中我們還是可以總結(jié)出解決問題的規(guī)律——找出圓錐的模型，利用圓錐中基本的相等與垂直關(guān)系，從而有效地把握翻折后的空間位置，將翻折問題順利解決。

[1]鄭日鋒.特色依然，再現(xiàn)波瀾—2016年浙江省高考試題評析[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(8)，32-35.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法(第三版)[J].杭州：浙江大學(xué)出版社.