謝勇劉若男

1)(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

2)(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710049)

過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振?

謝勇1)?劉若男2)

1)(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

2)(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710049)

(2017年2月10日收到;2017年3月21日收到修改稿)

研究在周期信號(hào)和高斯白噪聲共同作用下過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.由于用直接模擬法研究隨機(jī)系統(tǒng)所用時(shí)間較多,考慮用半解析的方法對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行研究.在弱周期信號(hào)極限下,結(jié)合線性響應(yīng)理論和擾動(dòng)展開(kāi)法提出一種計(jì)算系統(tǒng)線性響應(yīng)的矩方法.在此基礎(chǔ)上,利用Floquet理論和非擾動(dòng)展開(kāi)法將矩方法擴(kuò)展到系統(tǒng)非線性響應(yīng)的計(jì)算.通過(guò)直接數(shù)值模擬結(jié)果和矩方法所得結(jié)果的比較展示了矩方法的有效性并采用均方差作為量化指標(biāo)給出其適用的參數(shù)范圍.研究結(jié)果表明,以系統(tǒng)的功率譜放大因子作為量化指標(biāo),發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下,系統(tǒng)的共振曲線有一個(gè)單峰出現(xiàn),說(shuō)明過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象.而且在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)偏置參數(shù)時(shí),共振曲線的峰值隨偏置參數(shù)的增大而增大;在調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)幅值時(shí),隨機(jī)共振效應(yīng)隨驅(qū)動(dòng)幅值的增大而增強(qiáng).

隨機(jī)共振,線性響應(yīng)理論,Floquet理論,矩方法

1 引 言

隨機(jī)共振本質(zhì)上是一種噪聲增強(qiáng)信噪比的統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象,是Benzi等[1]在解釋地球冰川時(shí)代周期性發(fā)生現(xiàn)象時(shí)所提出的概念.目前隨機(jī)共振現(xiàn)象已廣為人知[2,3],并跨越學(xué)科邊界存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域,如細(xì)胞生物學(xué)[4]、化學(xué)反應(yīng)[5]、經(jīng)濟(jì)金融[6]、信號(hào)探測(cè)[7,8]、社會(huì)系統(tǒng)[9]等.

布朗粒子在周期勢(shì)系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)非常重要的理論抽象模型,比如超離子導(dǎo)體的導(dǎo)電性[10]、約瑟夫森結(jié)[11]、分子生物馬達(dá)[12]等.因此,周期勢(shì)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象不論是在過(guò)阻尼[13?17]還是欠阻尼[18?22]情形下都引起了廣泛的研究興趣.Kim和Sung[13]利用數(shù)值方法對(duì)周期勢(shì)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振進(jìn)行了研究,通過(guò)躍遷模型說(shuō)明了過(guò)阻尼周期勢(shì)系統(tǒng)中不存在隨機(jī)共振現(xiàn)象.Dan等[14]研究了非均勻介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)在過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng),發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取質(zhì)點(diǎn)的遷移率作為量化指標(biāo)時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)共振的現(xiàn)象.Tu等[15]對(duì)非均勻介質(zhì)中非對(duì)稱耦合粒子在周期勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)建立了分?jǐn)?shù)階模型,采用分?jǐn)?shù)階差分法進(jìn)行數(shù)值仿真研究其定向輸運(yùn)現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)存在噪聲時(shí),粒子鏈平均速度出現(xiàn)了廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象.Fronzoni和Mannella[16]通過(guò)搭建鎖相環(huán)電路進(jìn)行直接模擬發(fā)現(xiàn)了傾斜的周期勢(shì)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象,但在嘗試用基于線性響應(yīng)理論的方法研究隨機(jī)共振時(shí),其理論推導(dǎo)和模擬結(jié)果的符合程度并不令人滿意.Marchesoni[17]考察了白噪聲激勵(lì)下過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象,研究表明在線性響應(yīng)意義下,當(dāng)滿足絕熱近似條件時(shí),隨機(jī)共振會(huì)發(fā)生在臨界偏置附近.我們考慮用半解析的矩方法研究周期信號(hào)和高斯白噪聲共同作用的過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.本文以一個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在搓板勢(shì)系統(tǒng)中的過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象,其勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為滿足以下Langevin方程:

其中V=V0/γ,b=b0/γ,ε=ε0/γ,D=/γ.

當(dāng)周期信號(hào)非常弱時(shí),即0<ε?1,此時(shí)系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的確定性系統(tǒng)近似地等價(jià)為

圖1 系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)V(x) (參數(shù)V=1.5,L=2π;b=0(實(shí)線),b=0.5V(點(diǎn)線),b=V(短劃線))Fig.1.The potential function.The curves correspond to b=0(solid line),b=0.5V(dotted line),and b=V(dashed line),respectively,when V=1.5 and L=2π.

本文首先應(yīng)用線性響應(yīng)理論對(duì)受弱周期信號(hào)激勵(lì)的過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)進(jìn)行研究,提出基于擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法,通過(guò)比較矩方法和直接數(shù)值模擬法所得結(jié)果驗(yàn)證矩方法的有效性,并通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)功率譜放大因子研究隨機(jī)共振現(xiàn)象.然后,根據(jù)Floquet理論,給出基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法,并對(duì)其適用范圍加以研究.

2 基于擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法

以P(x,t)表示系統(tǒng)(2)在時(shí)刻t的狀態(tài)概率密度,則它的Fokker-Planck(FP)方程為

假設(shè)ε?1,在線性響應(yīng)意義下,方程(4)的解可以分解為[25]

利用三角函數(shù)系的正交性并舍去ε的高次項(xiàng)得

由概率規(guī)范化性質(zhì)可知,P(x,t)必須滿足約束條件

其中δm,0為Kronecker符號(hào).

考慮到pm(x)是周期為L(zhǎng)的函數(shù),把它展成如下形式的三角級(jí)數(shù)[26]:

其中c0,k=δ0,k,并且選取

將展(12),(13)式代入方程(10),有

這里〈·〉0表示對(duì)未擾隨機(jī)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布(3)取期望,也稱作未擾隨機(jī)系統(tǒng)的平穩(wěn)矩.

當(dāng)l=0即F(x)=1時(shí),有

這和概率規(guī)范化性質(zhì)(11)式一致.

圖2 系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間總體均值響應(yīng)(矩方法(實(shí)線)、直接模擬法(圓圈)),其中,參數(shù)D=0.2,? =0.4π,V=1.5,L=2π,ε=0.05;b為(a)0.95V,(b)V,(c)1.05V,(d)1.1VFig.2.The long time ensemble averages calculated from stochastic simulation(circle)and the method of moments(solid line).The parameter b corresponds to(a)0.95V,(b)V,(c)1.05V,and(d)1.1V,respectively,when D=0.2,? =0.4π,V=1.5,L=2π,and ε =0.05.

由文獻(xiàn)[27]可知,系統(tǒng)的m階線性敏感性可由未擾隨機(jī)系統(tǒng)的平穩(wěn)矩表示為

系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間線性響應(yīng)可以表示為

為了求解方程(14),必須選擇一個(gè)截?cái)嚯AK使得|k|6 K,計(jì)算結(jié)果表明,當(dāng)K取16之后的值時(shí),結(jié)果沒(méi)有明顯變化,因此取K=16展示數(shù)值結(jié)果.為了驗(yàn)證基于擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法的精確性,我們用Box-Muller隨機(jī)數(shù)算法[28]生成高斯白噪聲,在此基礎(chǔ)上用歐拉算法對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行直接模擬,并將該直接模擬的結(jié)果與矩方法計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行比較.圖2給出了兩種方法計(jì)算的系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間總體均值響應(yīng),可見(jiàn)數(shù)值模擬與矩方法所得的結(jié)果幾乎完全符合,這說(shuō)明了矩方法的有效性.

3 基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法

對(duì)于任意ε,根據(jù)Floquet理論,FP方程(4)的長(zhǎng)時(shí)間解是時(shí)間的周期函數(shù),其周期與輸入周期信號(hào)相同,即考慮到長(zhǎng)時(shí)間解的周期性,可將其按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)[29,30]

將展(18)式代入方程(6),有

利用三角函數(shù)系的正交性得

下面過(guò)程和線性響應(yīng)的計(jì)算相似.考慮到未知函數(shù)Pn(x)必須滿足周期邊界條件,把它展成如下形式的三角級(jí)數(shù):

有p0,k=δ0,k,將展(21)式代入方程(20)并且選取有

其中l(wèi)=0時(shí)概率規(guī)范化性質(zhì)自然滿足.

系統(tǒng)n階響應(yīng)敏感性可由未擾隨機(jī)系統(tǒng)的平穩(wěn)矩表示為

系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間響應(yīng)可以表示為

選取截?cái)嚯AN=10,K=16,應(yīng)用高斯塊消去法,對(duì)方程(22)進(jìn)行求解,并且為了驗(yàn)證基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法的準(zhǔn)確性,圖3給出了矩方法和直接模擬法得到的系統(tǒng)(2)的長(zhǎng)時(shí)間總體均值響應(yīng).由圖3可見(jiàn),這兩種方法所得結(jié)果符合程度較高,這表明了該方法在計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的有效性.

圖3 系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間總體均值響應(yīng)(矩方法(實(shí)線)、直接模擬法(圓圈)),其中,參數(shù)D=0.6,? =0.4π,V=1.5,L=2π,b=V;ε為(a)0.1,(b)0.15,(c)0.2,(d)0.25Fig.3.The long time ensemble averages calculated from stochastic simulation(circle)and the method of moments(solid line).The parameter ε corresponds to(a)0.1,(b)0.15,(c)0.2,and(d)0.25,respectively,when D=0.6,? =0.4π,V=1.5,L=2π,and b=V.

4 搓板勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振

這里選取前三階諧波的譜放大因子|χ(n)|2,n=1,2,3作為觀察系統(tǒng)(2)的隨機(jī)共振現(xiàn)象的量化指標(biāo),圖4和圖5給出了在弱周期信號(hào)極限下,基于擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法計(jì)算的譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化曲線.由圖4和圖5中共振曲線的非單調(diào)性可知系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象,且在一定的偏置范圍內(nèi),隨著偏置b的逐漸增加,共振曲線的峰值逐漸增加,而共振峰對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度逐漸減小.對(duì)于充分大的阻尼,我們可以忽略慣性效應(yīng),在沒(méi)有噪聲時(shí),質(zhì)點(diǎn)將進(jìn)行爬行運(yùn)動(dòng).有噪聲時(shí)質(zhì)點(diǎn)在過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)中不會(huì)長(zhǎng)時(shí)間停留在固定狀態(tài),而是會(huì)在某一時(shí)刻被“踢出”勢(shì)阱,向與其相鄰的更低的勢(shì)阱運(yùn)動(dòng).隨機(jī)共振理論指出,當(dāng)有噪聲的系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)共振時(shí),部分噪聲能量會(huì)轉(zhuǎn)化為有用的信號(hào)能量.系統(tǒng)的勢(shì)壘與系統(tǒng)、信號(hào)和噪聲三者發(fā)生協(xié)同效應(yīng)的條件有關(guān),其高度揭示了系統(tǒng)按照信號(hào)的頻率節(jié)奏產(chǎn)生躍遷、進(jìn)入隨機(jī)共振狀態(tài)時(shí)信號(hào)和噪聲所需的能量.勢(shì)壘高度越低,意味著系統(tǒng)進(jìn)入隨機(jī)共振狀態(tài)時(shí)所需能量越少.反之,所需的能量越多.當(dāng)增大偏置b時(shí),勢(shì)壘高度會(huì)降低,即質(zhì)點(diǎn)在向更低的勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的能量降低,從而由噪聲引起的阱間躍遷更容易發(fā)生.

下面從隨機(jī)系統(tǒng)的功率譜出發(fā)研究隨機(jī)共振現(xiàn)象,考慮到b-sinx關(guān)于x的周期性,采用{sinx(t)}的功率譜描述系統(tǒng)響應(yīng),其定義如下[31]:

其中功率譜S(ω)在計(jì)算時(shí)取為1000次實(shí)驗(yàn)的平均值.隨機(jī)共振作為周期信號(hào)和噪聲之間的一種協(xié)作效應(yīng),系統(tǒng)(2)若存在隨機(jī)共振現(xiàn)象,則其輸出響應(yīng)具有和輸入周期信號(hào)相同的頻率,即系統(tǒng)的功率譜在驅(qū)動(dòng)頻率處應(yīng)該有峰值,并且在隨機(jī)共振的最優(yōu)噪聲強(qiáng)度處峰值最大.圖6(a)和圖6(b)分別給出了系統(tǒng)輸出響應(yīng)在頻率f=0.2和f=0.4處的功率譜隨噪聲強(qiáng)度的演化.將圖6(a)和圖4(b)、圖6(b)和圖5(a)進(jìn)行比較可以看出,從功率譜出發(fā)所得一階諧波的最優(yōu)噪聲水平D=0.1、二階諧波的最優(yōu)噪聲水平D=0.2和矩方法計(jì)算所得的一致.

圖4 一階諧波功率譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化(矩方法(實(shí)線)、直接模擬法(圓圈)),其中,參數(shù)ε=0.05,? =0.4π,V=1.5,L=2π;b為(a)0.95V,(b)V,(c)1.05V,(d)1.1VFig.4.The dependence of the spectral ampli fi cation factor on the noise intensity at the fi rst harmonic:stochastic simulation(circle)and the method of moments(solid line).The parameter b corresponds to(a)0.95V,(b)V,(c)1.05V,and(d)1.1V,respectively,when ? =0.4π,V=1.5,L=2π,and ε =0.05.

圖5 (a)二階諧波和(b)三階諧波功率譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化,其中,參數(shù)?=0.4π,V=1.5,L=2π;b為0.95V(點(diǎn)線),V(實(shí)線),1.05V(短劃線),1.1V(+)Fig.5.The dependence of the spectral ampli fi cation factor on the noise intensity at(a)the second harmonic and(b)the third harmonic.The parameter b corresponds to 0.95V(dotted line),V(solid line),1.05V(dashed line),and 1.1V(+),respectively,when ? =0.4π,V=1.5,and L=2π.

圖6 系統(tǒng)輸出響應(yīng)在頻率(a)f=0.2,(b)f=0.4處的功率譜隨噪聲強(qiáng)度的演化,其中,參數(shù)ε=0.05,? =0.4π,V=1.5,L=2π,b=VFig.6.The dependence of the power spectrum of the system output response on the noise intensity at the frequency(a)f=0.2,(b)f=0.4.The parameters ε=0.05,? =0.4π,V=1.5,L=2π,and b=V.

圖7 一階諧波功率譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化(矩方法(實(shí)線)、直接模擬法(圓圈)),其中,參數(shù)? =0.4π,V=1.5,L=2π,b=V;ε為(a)0.1,(b)0.15,(c)0.2,(d)0.25Fig.7.The dependence of the spectral ampli fi cation factor on the noise intensity at the fi rst harmonic:stochastic simulation(circle)and the method of moments(solid line).The parameter ε corresponds to(a)0.1,(b)0.15,(c)0.2,and(d)0.25,respectively,when ? =0.4π,V=1.5,L=2π,and b=V.

為了進(jìn)一步研究周期信號(hào)的幅值對(duì)隨機(jī)共振效應(yīng)的影響,在圖7和圖8展示了不同驅(qū)動(dòng)幅值下由基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法計(jì)算的系統(tǒng)(2)前三階諧波的譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度演化的結(jié)果.將該方法所得的一階諧波的計(jì)算結(jié)果與直接模擬的結(jié)果進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)在ε 6 0.25的情況這兩種方法符合較好,這驗(yàn)證了矩方法的有效性.由圖7和圖8可見(jiàn),隨著周期信號(hào)幅值的增大,隨機(jī)共振效應(yīng)會(huì)增強(qiáng).周期信號(hào)幅值對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)的影響與偏置類(lèi)似,增大周期信號(hào)的幅值相當(dāng)于降低勢(shì)壘高度,使得系統(tǒng)進(jìn)入隨機(jī)共振狀態(tài)所需的能量降低,但是由于考慮的幅值遠(yuǎn)小于偏置,對(duì)勢(shì)壘高度的改變并不明顯,即所需能量的改變也不明顯,所以增大幅值時(shí),隨機(jī)共振效應(yīng)雖然有所增強(qiáng),但對(duì)應(yīng)的最優(yōu)噪聲強(qiáng)度并沒(méi)有明顯改變.為了得到基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的矩方法的適用范圍,采用均方差作為比較不同信號(hào)幅值下理論和數(shù)值計(jì)算差異性的量化指標(biāo),定量分析矩方法和隨機(jī)模擬法所得結(jié)果的差異性.圖9給出了均方差隨信號(hào)幅值的演化,由圖可見(jiàn)當(dāng)ε 6 0.25時(shí)誤差小于0.1%,這說(shuō)明矩方法的適用范圍是ε 6 0.25.

圖8 (a)二階諧波和(b)三階諧波功率譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化,其中,參數(shù)? =0.4π,V=1.5,L=2π,b=V;ε為0.1(點(diǎn)線),0.15(實(shí)線),0.2(短劃線),0.25(+)Fig.8.The dependence of the spectral ampli fi cation factor on the noise intensity at(a)the second harmonic and(b)the third harmonic.The parameter ε corresponds to 0.1(dotted line),0.15(solid line),0.2(dashed line),and 0.25(+),respectively,when? =0.4π,V=1.5,L=2π,and b=V.

圖9 均方差隨信號(hào)幅值的演化,其中,參數(shù)?=0.4π,V=1.5,L=2π,b=VFig.9.The dependence of the mean error on the amplitude of the periodic signal. The parameters? =0.4π,V=1.5,L=2π,and b=V.

5 結(jié) 論

目前,對(duì)過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)的研究大多基于直接模擬法,花費(fèi)時(shí)間較多,因此,本文采用矩方法研究受周期信號(hào)和高斯白噪聲激勵(lì)的過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象,研究工作表明在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下,過(guò)阻尼搓板勢(shì)系統(tǒng)中存在隨機(jī)共振現(xiàn)象.在線性響應(yīng)意義下,采用譜放大因子作為隨機(jī)共振現(xiàn)象的量化指標(biāo),基于擾動(dòng)級(jí)數(shù)展開(kāi)法的矩方法和直接模擬法所得的譜放大因子隨噪聲強(qiáng)度的演化曲線得到很好的擬合,這說(shuō)明了矩方法的有效性.周期信號(hào)較大時(shí),我們給出了基于非擾動(dòng)展開(kāi)法的計(jì)算系統(tǒng)非線性響應(yīng)的矩方法,展示了前三階諧波譜放大因子的計(jì)算結(jié)果,將該方法所得的一階諧波的計(jì)算結(jié)果和直接模擬的結(jié)果進(jìn)行了比較,驗(yàn)證了矩方法的有效性,并且通過(guò)采用均方差作為比較這兩種方法在不同信號(hào)幅值下差異性的量化指標(biāo),得到矩方法的適用范圍是ε 6 0.25.而且在一定范圍內(nèi)共振曲線的峰值隨偏置參數(shù)的增大而增大,隨機(jī)共振效應(yīng)隨驅(qū)動(dòng)幅值的增大而增強(qiáng).搓板勢(shì)系統(tǒng)對(duì)于研究超離子導(dǎo)體的導(dǎo)電性、約瑟夫森結(jié)中超電流的波動(dòng)、ad-原子在晶體表面的運(yùn)動(dòng)等物理問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)針對(duì)性.本文所得的譜放大因子的適用范圍突破了以往絕熱近似條件和線性響應(yīng)條件[16,17]的限制,使得矩方法在更廣泛的參數(shù)范圍下都有效,接下來(lái)我們將把這種方法推廣到欠阻尼的情況.

[1]Benzi R,Sutera A,Vulpiani A 1981 J.Phys.A 14 L453

[2]Gammaitoni L,Hanggi P,Hung P,Marchesoni F 1998 Rev.Mod.Phys.70 223

[3]McNamara B,Wiesenfeld K,Roy R 1988 Phys.Rev.Lett.60 2626

[4]Paulsson J,Ehrenberg M 2000 Phys.Rev.Lett.84 5447

[5]Leonard D S,Reichl L E 1994 Phys.Rev.E 49 1734

[6]Mao X M,Sun K,Ouyang Q 2002 Chin.Phys.11 1106

[7]Zhang G L,Lü X L,Kang Y M 2012 Acta Phys.Sin.61 040501(in Chinese)[張廣麗,呂希路,康艷梅 2012物理學(xué)報(bào)61 040501]

[8]Jiao S B,Ren C,Huang W C,Liang Y M 2013 Acta Phys.Sin.62 210501(in Chinese)[焦尚彬,任超,黃偉超,梁炎明2013物理學(xué)報(bào)62 210501]

[9]Wallace R,Wallace D,Andrews H 1997 Environ.Plan.A 29 525

[10]Asaklil A,Boughaleb Y,Mazroui M,Chhib M,Arroum L E 2003 Solid State Ion.159 331

[11]Falco A M 1976 Amer.J.Phys.44 733

[12]Hanggi P,Talkner P,Borkovec M 1990 Rev.Mod.Phys.62 251

[13]Kim Y W,Sung W 1998 Phys.Rev.E 57 R6237

[14]Dan D,Mahato M C,Jayannavar A M 1999 Phys.Rev.E 60 6421

[15]Tu Z,Lai L,Luo M K 2014 Acta Phys.Sin.63 120503(in Chinese)[屠浙,賴?yán)?羅懋康 2014物理學(xué)報(bào) 63 120503]

[16]Fronzoni L,Mannela R 1993 J.Stat.Phys.70 501

[17]Marchesoni F 1997 Phys.Lett.A 231 61

[18]Saikia S,Jayannavar A M,Mahato M C 2011 Phys.Rev.E 83 061121

[19]Reenbohn W L,Pohlong S S,Mahato M C 2012 Phys.Rev.E 85 031144

[20]Saikia S 2014 Physica A 416 411

[21]Liu K H,Jin Y F 2013 Physica A 392 5283

[22]Ma Z M,Jin Y F 2015 Acta Phys.Sin.64 240502(in Chinese)[馬正木,靳艷飛 2015物理學(xué)報(bào) 64 240502]

[23]Risken H 1989 The Fokker Planck Equation(Berlin:Springer)pp287–289

[24]Monnai T,Sugita A,Hirashima J,Nakamura K 2006 Physica D 219 177

[25]Kang Y M,Jiang Y L 2008 Chin.Phys.Lett.25 3578

[26]Kang Y M,Jiang J,Xie Y 2011 J.Phys.A:Math.Theor.44 035002

[27]Evistigneev M,Pankov V,Prince R H 2001 J.Phys.A:Math.Gen.34 2595

[28]Fox R F,Gatland I R,Vemuri G,Roy R 1988 Phys.Rev.A 38 5938

[29]Jung P 1993 Phys.Rep.234 175

[30]Asish K D 2015 Physica D 303 1

[31]Qian M,Wang G X,Zhang X J 2000 Phys.Rev.E 62 6469

PACS:05.45.–a,05.40.–a,05.45.Mt,05.40.CaDOI:10.7498/aps.66.120501

Stochastic resonance in overdamped washboard potential system?

Xie Yong1)?Liu Ruo-Nan2)

1)(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures,School of Aerospace,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)
2)(School of Mathematics and Statistics,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)

10 February 2017;revised manuscript

21 March 2017)

Brownian motion in a washboard potential has practical signi fi cance in investigating a lot of physical problems such as the electrical conductivity of super-ionic conductor,the fl uctuation of super-current in Josephson junction,and the ad-atom motion on crystal surface.In this paper,we study the overdamped motion of a Brownian particle in a washboard potential driven jointly by a periodic signal and an additive Gaussian white noise.Since the direct simulation about stochastic system is always time-consuming,the purpose of this paper is to introduce a simple and useful technique to study the linear and nonlinear responses of overdamped washboard potential systems.In the limit of a weak periodic signal,combining the linear response theory and the perturbation expansion method,we propose the method of moments to calculate the linear response of the system.On this basis,by the Floquet theory and the non-perturbation expansion method,the method of moments is extended to calculating the nonlinear response of the system.The long time ensemble average and the spectral ampli fi cation factor of the fi rst harmonic calculated from direct numerical simulation and from the method of moments demonstrate that they are in good agreement,which shows the validity of the method we proposed.Furthermore,the dependence of the spectral ampli fi cation factor at the fi rst three harmonics on the noise intensity is investigated.It is observed that for appropriate parameters,the curve of the spectral ampli fi cation factor versus the noise intensity exhibits a peaking behavior which is a signature of stochastic resonance.Then we discuss the in fl uences of the bias parameter and the amplitude of the periodic signal on the stochastic resonance.The results show that with the increase of the bias parameter in a certain range,the peak value of the resonance curve increases and the noise intensity corresponding to the resonance peak decreases.With the increase of the driven amplitude,comparing the changes of the resonance curves,we can conclude that the e ff ect of stochastic resonance becomes more prominent.At the same time,by using the mean square error as the quantitative indicator to compare the di ff erence between the results obtained from the method of moments and from the stochastic simulation under di ff erent signal amplitudes,we fi nd that the method of moments is applicable when the amplitude of the periodic signal is lesser than 0.25.

stochastic resonance,linear response theory,Floquet theory,the method of moments

10.7498/aps.66.120501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11672219,11372233)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yxie@mail.xjtu.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11672219,11372233).

?Corresponding author.E-mail:yxie@mail.xjtu.edu.cn