耿虎 計(jì)青山 張存喜 王瑞?

1)(浙江海洋大學(xué)電子信息科學(xué)與工程系,舟山 316022)

2)(浙江海洋大學(xué)東海科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,舟山 316000)

綴飾格子中時(shí)間反演對(duì)稱破缺的量子自旋霍爾效應(yīng)?

耿虎1)計(jì)青山2)張存喜1)王瑞1)?

1)(浙江海洋大學(xué)電子信息科學(xué)與工程系,舟山 316022)

2)(浙江海洋大學(xué)東?？茖W(xué)與技術(shù)學(xué)院,舟山 316000)

(2016年12月8日收到;2017年4月17日收到修改稿)

研究了綴飾格子中的量子自旋霍爾效應(yīng),模型中同時(shí)考慮了Rashba自旋軌道耦合和交換場(chǎng)的作用.綴飾格子具有簡(jiǎn)立方對(duì)稱性,以零能平帶和單狄拉克錐結(jié)構(gòu)為主要特點(diǎn).在綴飾格子中,不論是實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)還是量子反常霍爾效應(yīng),都需要一個(gè)不為零的內(nèi)稟自旋軌道耦合作用來(lái)打開(kāi)一個(gè)完全的體能隙,這與石墨烯等六角格子模型有著很大的不同.在交換場(chǎng)破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性的情況下,以自旋陳數(shù)為標(biāo)志的量子自旋霍爾效應(yīng)仍然能夠存在,邊緣態(tài)和極化率的相關(guān)結(jié)果也證明了這一結(jié)論.結(jié)果表明自旋陳數(shù)比z2拓?fù)鋽?shù)在表征量子自旋霍爾效應(yīng)方面有著更廣泛的適用范圍,相應(yīng)的結(jié)論為利用磁場(chǎng)控制量子自旋霍爾效應(yīng)提出了一個(gè)理論模型和依據(jù).

量子自旋霍爾效應(yīng),自旋軌道耦合,拓?fù)湫?/p>

1 引 言

近年來(lái),量子自旋霍爾效應(yīng)和量子反?；魻栃?yīng)[1?5]由于其在基礎(chǔ)物理和納米電子學(xué)等方面潛在的應(yīng)用而得到了廣泛的關(guān)注和研究[6?9].量子自旋霍爾效應(yīng)和量子反?；魻栃?yīng)都以完全打開(kāi)的體能隙和受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的無(wú)能隙邊緣態(tài)著稱,可以用一些拓?fù)洳蛔兞縼?lái)表征[10].最初,Kane和Mele[11]預(yù)言絕緣體在沒(méi)有外磁場(chǎng)的情況下,可以發(fā)生量子自旋霍爾效應(yīng),塊體表面會(huì)出現(xiàn)受時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的螺旋邊緣態(tài),這一現(xiàn)象已經(jīng)在碲化汞量子阱中得到了很好的驗(yàn)證[12,13].后來(lái),南京大學(xué)盛利研究組[14,15]發(fā)現(xiàn),當(dāng)內(nèi)稟自旋軌道耦合和Rashba自旋軌道耦合同時(shí)存在時(shí),在時(shí)間反演對(duì)稱破缺的情況下量子自旋霍爾效應(yīng)仍然能夠存在.這一發(fā)現(xiàn)大大拓展了量子自旋霍爾效應(yīng)的范圍并提出了一個(gè)新的拓?fù)洳蛔兞俊孕悢?shù)[14?16].

一般情況下,內(nèi)稟自旋軌道耦合作用被認(rèn)為有助于實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng),而Rashba自旋軌道耦合則不利于這一效應(yīng),它有助于實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)[17].量子反常霍爾效應(yīng)依賴于系統(tǒng)的內(nèi)在磁化和Rashba自旋軌道耦合,它可以被一個(gè)整數(shù)化的霍爾電導(dǎo)來(lái)表征[18?22].目前,人們已經(jīng)在數(shù)個(gè)模型中實(shí)現(xiàn)了量子反?；魻栃?yīng).Wu[23]建議在石墨烯中通過(guò)對(duì)自旋軌道作用強(qiáng)度的調(diào)節(jié)來(lái)改變能帶的拓?fù)湫?從而實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng).同樣是在石墨烯中,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的喬振華教授等[17]認(rèn)為Rashba自旋軌道耦合和外磁場(chǎng)的共同作用可以打開(kāi)狄拉克點(diǎn)的能隙,從而產(chǎn)生量子反?；魻栃?yīng).近來(lái),人們陸續(xù)在許多其他的模型(如Kagome模型[24?26]、四方氧化晶格[27]、星形晶格[28]等)中研究了量子反?；魻栃?yīng)和拓?fù)淞孔酉嘧?

本文研究了時(shí)間反演對(duì)稱破缺情況下綴飾格子中的量子自旋霍爾效應(yīng)[29?32].綴飾格子也稱為二維正方邊心格子或者Lieb格子,把兩個(gè)正方格子相互嵌套即可形成一個(gè)綴飾格子,其全稱為具有各向同性最近鄰躍遷的正方邊心格子[33,34].與Kagome格子、石墨烯等已經(jīng)得到很多研究的模型不同,二維正方邊心格子具有簡(jiǎn)立方對(duì)稱結(jié)構(gòu),從而展示出一些獨(dú)有的特性.

首先,正方邊心格子和Kagome格子的原胞中均包含有三個(gè)不同的原子,對(duì)應(yīng)著兩個(gè)色散帶和一個(gè)平帶,但Kagome格子中的平帶為其最高能帶,而正方邊心格子能譜中的平帶則位于兩支色散帶的中間且能量為零,我們稱其為零能平帶,這也是正方邊心格子最為顯著的特點(diǎn).其次,正方邊心格子的第一布里淵區(qū)中只包含有一個(gè)狄拉克錐結(jié)構(gòu),體能帶中的較高色散帶和較低色散帶在M點(diǎn)接觸到中間的零能平帶從而形成狄拉克錐,而石墨烯和Kagome格子模型則是雙狄拉克錐結(jié)構(gòu).值得指出的是,在沒(méi)有內(nèi)稟自旋軌道耦合的情況下,正方邊心格子能譜在M點(diǎn)的能隙將始終保持關(guān)閉.在這一模型中,不論是實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)還是量子反?；魻栃?yīng),要想在體能帶打開(kāi)一個(gè)完整的能隙,一個(gè)非零的內(nèi)稟自旋軌道耦合是必要條件之一.

2 正方邊心格子的能帶

正方邊心格子的幾何結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,格子中每個(gè)原胞均包含三個(gè)不同的原子,分別標(biāo)記為A,B,C,最近鄰格點(diǎn)之間的距離為a,在后面的計(jì)算中我們把a(bǔ)作為長(zhǎng)度的基本單元.圖1(b)給出了這類格子的第一布里淵區(qū)并標(biāo)記出了所有的高對(duì)稱點(diǎn)Y,Γ,M和X,其中的紅色虛線Γ-M-X-Γ給出了色散關(guān)系的積分路徑.

在緊束縛近似下,正方邊心格子的哈密頓量可以寫為HNN,HSO,HR以及Hg四個(gè)部分的組合.這里,HNN是強(qiáng)度為t的最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷:

這里vSO是內(nèi)稟自旋軌道耦合的強(qiáng)度,β同樣為自旋指標(biāo),σ是泡利矩陣,i和j是兩個(gè)次近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo),k是它們的公共最近鄰.單位矢量eij的形式為的方向?yàn)閺膋點(diǎn)指向i點(diǎn).

圖1 (網(wǎng)刊彩色)正方邊心格子 (a)幾何結(jié)構(gòu);(b)第一布里淵區(qū)Fig.1.(color online)(a)The geometry and(b)the fi rst Brillouin zone of Lieb lattice.

HR代表作用在最近鄰格點(diǎn)之間的強(qiáng)度為vR的Rashba自旋軌道耦合:

其中,ez為z方向的單位矢量.第四部分Hg表示強(qiáng)度為g的交換場(chǎng)作用,把一個(gè)磁絕緣體壓附在二維材料上,其可與薄膜中的載流子進(jìn)行耦合從而形成交換場(chǎng),

本文中,我們把最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷強(qiáng)度t作為能量的基本單元,其他量綱為能量的參數(shù)如內(nèi)稟自旋軌道耦合強(qiáng)度、Rashba自旋軌道耦合強(qiáng)度、交換場(chǎng)的大小以及費(fèi)米能級(jí)等均以t作為基礎(chǔ).在動(dòng)量空間中,選擇恰當(dāng)?shù)幕甫?k)=[Ci,k,↑,Ci,k,↓]T(i=A,B,C), 可以把哈密頓量展開(kāi)為一個(gè)矩陣U(k).數(shù)值對(duì)角化此矩陣,就可以得到正方邊心格子的體能帶.

正方邊心格子以零能平帶著稱,當(dāng)取g=0,vR=0和vSO=0時(shí),即可看到其處于簡(jiǎn)并狀態(tài)的能帶,兩個(gè)色散帶在M點(diǎn)與中間的零能平帶相接觸,從而形成狄拉克錐結(jié)構(gòu),如圖2(a).值得指出的是,能帶在M點(diǎn)的簡(jiǎn)并即使在交換場(chǎng)和Rashba自旋軌道耦合不為零的情況下也有可能存在.事實(shí)上把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入哈密頓矩陣U(k),即可得到該點(diǎn)的6個(gè)能量本征值為當(dāng)vSO=0時(shí),在處將形成能級(jí)的簡(jiǎn)并,這一簡(jiǎn)并與交換場(chǎng)的強(qiáng)度無(wú)關(guān).

圖2 (網(wǎng)刊彩色)正方邊心格子的能帶結(jié)構(gòu) (a)vR=0,g=0,vSO=0;(b)vR=0.4,g=0.6,vSO=0.3;(c)vR=0.4,g=0.6,vSO=0.5Fig.2.(color online)The evolution of band structures of Lieb lattice:(a)Pristine Lieb lattice;(b)vR=0.4,g=0.6 and vSO=0.3;(c)vR=0.4,g=0.6 and vSO=0.5.

所以,為了使能級(jí)在M點(diǎn)分開(kāi),內(nèi)稟的自旋軌道耦合就一定不能為零.圖2(b)和圖2(c)中,我們給出了在不同內(nèi)稟自旋軌道耦合強(qiáng)度的情況下系統(tǒng)的能譜,可以看出系統(tǒng)的6個(gè)能級(jí)在第一布里淵區(qū)中每一點(diǎn)都被很好地分開(kāi).量子自旋霍爾效應(yīng)要求在能帶結(jié)構(gòu)中必須有一個(gè)完全打開(kāi)的能隙,這要求較低能級(jí)的最大值要小于上方相鄰能級(jí)的最小值,可以在這兩個(gè)能級(jí)之間畫出一條不與兩個(gè)能級(jí)相交的直線.圖2(b)中我們?nèi)?shù)vSO=0.3,g=0.6,vR=0.4,此時(shí),系統(tǒng)在1/3和2/3填充模式下,均可以處于絕緣相,但當(dāng)系統(tǒng)處于1/2填充時(shí),我們無(wú)法在第3和第4能級(jí)之間畫出一條不與這兩個(gè)能級(jí)相交的直線,這意味著一個(gè)1/2填充系統(tǒng)的第三和第四能級(jí)總是被電子部分占據(jù),我們把這種情況下的塊體稱為半金屬,其霍爾電導(dǎo)不是一個(gè)整數(shù)[35].圖2(c)中,我們?cè)诒３纸粨Q場(chǎng)和Rashba自旋軌道耦合強(qiáng)度不變的情況下,增大內(nèi)稟自旋軌道耦合強(qiáng)度vSO=0.5,可以看出,系統(tǒng)存在非常明顯的能隙,在1/3,1/2以及2/3等填充模式下均可以處于絕緣相.

一般地,可以用一個(gè)拓?fù)洳蛔兞縼?lái)標(biāo)識(shí)量子自旋霍爾效應(yīng).對(duì)本文所采用的量而言,外加交換場(chǎng)破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性,這使得z2指標(biāo)不能用來(lái)衡量系統(tǒng)的拓?fù)湫?但是另一個(gè)非常重要的拓?fù)洳蛔兞俊孕悢?shù)依舊適用[14?16].我們以一個(gè)1/3填充的系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明自旋陳數(shù)的定義和計(jì)算.矩陣U(k)的6個(gè)本征函數(shù)中,可以根據(jù)電子的具體填充情況分為導(dǎo)帶波函數(shù)和價(jià)帶波函數(shù),在1/3填充的情況下,可以把價(jià)帶波函數(shù)φ1和φ2組成一個(gè)基矢,然后把算符σz?I3×3在這一基矢中展開(kāi)成一個(gè)2×2的矩陣:

對(duì)角化(5)式所示矩陣,可以得到兩個(gè)本征波函數(shù)?±,然后算符σz的本征譜可以寫為ψ±=[φ1,φ2]?±.定義F±(k)=iez·[?k×〈ψ±|?k|ψ±?]即可得到每個(gè)自旋矢量(組分)的陳數(shù):

兩個(gè)自旋矢量陳數(shù)的差即為自旋陳數(shù),

一個(gè)非零的自旋陳數(shù)CS標(biāo)志著系統(tǒng)處于量子自旋霍爾相.但當(dāng)自旋陳數(shù)為零時(shí),系統(tǒng)可能處于量子反常霍爾態(tài)和普通絕緣相,可以借助于第一陳數(shù)這一拓?fù)湫騺?lái)區(qū)分這兩個(gè)態(tài),把兩個(gè)自旋矢量的陳數(shù)簡(jiǎn)單求和就可以得到第一陳數(shù)(TKNN數(shù)):

這樣,結(jié)合第一陳數(shù)和自旋陳數(shù),我們就可以很容易地區(qū)分出量子自旋霍爾態(tài)、量子反常霍爾態(tài)和普通絕緣體.當(dāng)C=0,CS?=0時(shí),系統(tǒng)處于量子自旋霍爾態(tài);當(dāng)C=0,CS=0時(shí),系統(tǒng)為普通的絕緣體;當(dāng)C?=0,CS=0時(shí),系統(tǒng)處于量子反常霍爾態(tài).

量子自旋霍爾效應(yīng)特點(diǎn)也反映在其螺旋性的邊緣態(tài)分布.圖3(a)給出了含有邊緣態(tài)的正方邊心格子的能譜(為了更清楚地顯示邊緣態(tài)的存在,這里只截取了部分能譜),系統(tǒng)在x方向具有完整的周期性而在y方向具有開(kāi)放的邊界,系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置和圖2(b)一致,vR=0.4,g=0.6,vSO=0.3.必須指出的是,Kane和Mele[11]最早提出的量子自旋霍爾效應(yīng)由于受到時(shí)間反演對(duì)稱的保護(hù),其邊緣態(tài)是真正的(沒(méi)有間隙)相交,這一狀態(tài)可以被z2拓?fù)湫蛩碚?但是在我們的模型中,交換場(chǎng)的引入破壞了系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性,這將導(dǎo)致開(kāi)邊界系統(tǒng)能譜中的能級(jí)會(huì)在相交點(diǎn)打開(kāi)一個(gè)非常小的能隙,而不再如同時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)下無(wú)能隙的相交.可以看出,這類狀態(tài)與真正的量子自旋霍爾態(tài)還是有所區(qū)別的,它是一種時(shí)間反演對(duì)稱破缺的量子自旋霍爾效應(yīng)[14],不能為z2拓?fù)湫蛩碚?而是被一個(gè)全新的拓?fù)洳蛔兞俊孕悢?shù)CS所表征.當(dāng)費(fèi)米能級(jí)選擇為EF=?1.00時(shí),存在四個(gè)不同的邊緣態(tài),根據(jù)速度公式可以知道邊緣態(tài)A和D沿+x方向傳播,而B和C態(tài)則沿著?x方向傳播.

圖3(b)給出了圖3(a)中四個(gè)邊緣態(tài)的波函數(shù)分布,圖中的橫坐標(biāo)為系統(tǒng)在y方向的原胞排列,本文中,我們考慮系統(tǒng)在y方向有120個(gè)原胞.每個(gè)原胞上的|ψ|2均包含了A,B和C三個(gè)原子的貢獻(xiàn).總體而言,|ψ|2主要分布在系統(tǒng)邊界約三個(gè)原胞的寬度范圍內(nèi),其中B態(tài)和D態(tài)局域在系統(tǒng)的同一個(gè)邊界,而A態(tài)和C態(tài)則局域在系統(tǒng)的另一個(gè)邊界.結(jié)合速度的情況得出,分布在系統(tǒng)同一個(gè)邊界的兩個(gè)態(tài)沿著相反的方向傳播,因而不存在電流.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)1/3填充下的正方邊心格子 (a)帶有費(fèi)米能級(jí)的能譜(部分);(b)邊緣態(tài)波函數(shù)分布Fig.3.(color online)(a)Energy spectrum of Lieb lattice ribbons for a 1/3 fi led system(the Fermi level corresponds to four edge states);(b)wave-function distributions across the width for the edge states.

判斷體系是否存在量子自旋霍爾效應(yīng)還有一個(gè)重要的參照就是邊緣態(tài)的自旋極化率.可以用兩個(gè)自旋組分的差除以它們的和來(lái)表示自旋極化率,有在我們的模型中,Rashba自旋軌道耦合把自旋向上組分和向下組分混合在一起,電子很難達(dá)到完全的極化,轉(zhuǎn)而只能在合適的參數(shù)設(shè)置下,盡可能地獲得某種組分比較高的極化.從表面態(tài)的波函數(shù)出發(fā)就可以得到電子的自旋極化率.圖3(a)中,A態(tài)和B態(tài)中自旋向上的組分分別為0.72和0.82.相反地,在C態(tài)和D態(tài)中,自旋向下的組分則分別達(dá)到了0.78和0.70的占比.大體上,我們可以說(shuō)A態(tài)和B態(tài)有較高的自旋向上極化而C態(tài)和D態(tài)有較高的自旋向下極化.模型中同一個(gè)邊界的兩個(gè)態(tài)具有相反的傳播方向和極化方向,這將形成螺旋狀的邊緣態(tài)分布,這類邊緣態(tài)不攜帶電流但將有助于形成自旋流.

在圖2(c)所示的能帶結(jié)構(gòu)中,我們已經(jīng)說(shuō)明,在合適的參數(shù)設(shè)置下,正方邊心格子在1/3,1/2和2/3填充下都有完全打開(kāi)的能隙,都能實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng).圖4給出了系統(tǒng)在2/3填充下所對(duì)應(yīng)的(部分)能譜以及邊緣態(tài)的分布情況,相關(guān)參數(shù)的設(shè)置與圖2(c)一致,vR=0.4,g=0.6,vSO=0.5.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)2/3填充下的正方邊心格子 (a)帶有費(fèi)米能級(jí)的能譜(部分);(b)邊緣態(tài)波函數(shù)分布Fig.4.(color online)(a)Energy spectra of Lieb lattice ribbons for a 2/3 fi led system,the Fermi level corresponds to four edge states;(b)wave-function distributions across the width for the edge states.

在圖4(a)中我們標(biāo)出了費(fèi)米能級(jí)EF=1.125所對(duì)應(yīng)的A,B,C,D四個(gè)邊緣態(tài),并在圖4(b)中給出了這四個(gè)態(tài)的分布.在圖2(c)中,對(duì)照我們?cè)O(shè)定的費(fèi)米能級(jí)也可以看出當(dāng)前的填充情況.在態(tài)A,B中,自旋向下的組分占到了相當(dāng)大的比例,分別達(dá)到了0.93和0.64;而態(tài)C,D中則是自旋向上的組分占主導(dǎo)地位,分別為0.96和0.72.位于樣品同一個(gè)邊界的兩個(gè)態(tài)A和C(B和D)具有相反的傳播方向和自旋極化方向,這正是量子自旋霍爾效應(yīng)的特征表現(xiàn)之一.計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)的自旋陳數(shù)得到CS=1,這也證明此時(shí)的系統(tǒng)是量子自旋霍爾態(tài).

一個(gè)小的技巧在于,當(dāng)系統(tǒng)為2/3填充時(shí),系統(tǒng)在費(fèi)米能級(jí)的下方有四個(gè)價(jià)帶波函數(shù),這會(huì)增加計(jì)算自旋陳數(shù)的過(guò)程和難度,此時(shí),我們可以轉(zhuǎn)而計(jì)算費(fèi)米面上方的兩個(gè)導(dǎo)帶波函數(shù)所對(duì)應(yīng)的自旋陳數(shù),其結(jié)果與價(jià)帶波函數(shù)的結(jié)果相反,這將在一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算的過(guò)程.在正方邊心格子中,在恰當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)置下,當(dāng)系統(tǒng)有圖2(b)所示的能帶結(jié)構(gòu)時(shí),改變系統(tǒng)的填充情況從1/3至1/2再到2/3的過(guò)程中,系統(tǒng)將經(jīng)歷從量子自旋霍爾態(tài)到半金屬再到量子自旋霍爾態(tài)的轉(zhuǎn)變.而當(dāng)系統(tǒng)在一定參數(shù)下具有圖2(c)所示的能帶時(shí),在這三種填充下,系統(tǒng)都將處于量子自旋霍爾態(tài).需要指出的是,在時(shí)間反演對(duì)稱破缺的情況下,兩個(gè)反向傳播的波函數(shù)之間存在一個(gè)微弱的背散射,自旋的輸運(yùn)過(guò)程總是伴隨著一些能量損耗,這與時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)下無(wú)耗散的自旋流還是有一些差別的.盡管如此,這一系統(tǒng)還是可以用在自旋注入等方面,在電子和自旋設(shè)備以及量子通信中有著潛在的價(jià)值和應(yīng)用.

3 結(jié) 論

本文在Rashba自旋軌道耦合和交換場(chǎng)同時(shí)存在的情況下,詳細(xì)研究和討論了正方邊心格子中的量子自旋霍爾效應(yīng).正方邊心格子具有簡(jiǎn)立方對(duì)稱性,每個(gè)原胞中包含三個(gè)不同的原子但其第一布里淵區(qū)中只含有一個(gè)狄拉克錐.我們的計(jì)算表明,在正方邊心格子中,只有在內(nèi)稟自旋軌道耦合不為零的情況下,第一布里淵區(qū)中M點(diǎn)的簡(jiǎn)并才能消除,從而得到一個(gè)完全打開(kāi)的能隙,而這正是實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)的必要條件.借助于自旋陳數(shù)這一拓?fù)湫蛞约斑吘墤B(tài)和極化率等分析,我們發(fā)現(xiàn)在交換場(chǎng)破壞了系統(tǒng)時(shí)間反演對(duì)稱的情況下,正方邊心格子中依然能夠?qū)崿F(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng),雖然它和最初由Kane和Mele[11]提出的受時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的量子自旋霍爾效應(yīng)有些微小的差別,但我們還是可以把這類現(xiàn)象歸結(jié)為量子自旋霍爾效應(yīng),并受到自旋陳數(shù)的保護(hù).

量子自旋霍爾效應(yīng)在時(shí)間反演對(duì)稱破缺的情況下仍然能夠存在,這大大拓展了量子自旋霍爾效應(yīng)的范疇,為借助磁場(chǎng)來(lái)控制量子自旋霍爾效應(yīng)提供了理論依據(jù)和一個(gè)可能的模型基礎(chǔ).在表征量子自旋霍爾效應(yīng)方面,自旋陳數(shù)比z2拓?fù)洳蛔兞烤哂懈鼜V泛的使用范圍.自旋陳數(shù)不但適用于時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)下的系統(tǒng),其在時(shí)間反演對(duì)稱破缺的情況下,仍然能夠很好地表征類量子自旋霍爾效應(yīng).二維正方邊心格子和三維立方邊心格子在自然界中廣泛存在[34].二維的Cu-O晶格就具有和正方邊心格子類似的結(jié)構(gòu),研究者已經(jīng)在其中實(shí)現(xiàn)了量子反?；魻栃?yīng)[36].邊心格子最具有代表性的例子當(dāng)屬具有高居里溫度的銅酸鹽超導(dǎo)體(如YBa2Cu3O7和Bi2Sr2CaCu2O8)中的CuO2平面.

實(shí)驗(yàn)上,把K40或者Li6等單組分費(fèi)米子放置在具有正方邊心對(duì)稱的格點(diǎn)上就可以實(shí)現(xiàn)類似的系統(tǒng)[37,38].當(dāng)溫度足夠低時(shí),這類原子之間的相互作用可以忽略不計(jì),這時(shí),我們?cè)诒疚闹兴捎玫木o束縛近似哈密頓量就可以成立[39,40].此外,如同目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的“人造石墨烯”[41],調(diào)節(jié)一個(gè)具有邊心正方對(duì)稱的二維電子氣模型也有望實(shí)現(xiàn)人工的正方邊心格子.二維冷費(fèi)米氣由于其良好的可操控性而被用來(lái)模擬許多其他的物理系統(tǒng),最近人們已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了超冷原子體系中的自旋軌道耦合相互作用,這為研究多體物理提供了一個(gè)全新的方法和途徑[42?44].圖5給出了具有正方邊心對(duì)稱的冷費(fèi)米子氣體的部分能帶圖,可以看出相應(yīng)的模型可以實(shí)現(xiàn)Majorana零模,這也為在實(shí)驗(yàn)上尋找Majorana費(fèi)米子提供了一個(gè)潛在的模型,并且有望在量子信息和量子計(jì)算等領(lǐng)域發(fā)揮一定的作用.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)具有正方邊心對(duì)稱的冷費(fèi)米子氣體中的Majorana零模Fig.5.(color online)Majorana zero modes in cold Fermi gas with a periodic potential possessing Lieb symmetry.

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PACS:73.43.–f,71.70.Ej,73.61.–rDOI:10.7498/aps.66.127303

Time-reversal-symmetry broken quantum spin Hall in Lieb lattice?

Geng Hu1)Ji Qing-Shan2)Zhang Cun-Xi1)Wang Rui1)?

1)(Department of Electronic Information Science and Engineering,Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316022,China)
2)(Department of Donghai Science and Engineering,Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316000,China)

8 December 2016;revised manuscript

17 April 2017)

In this paper,the time-reversal(TR)symmetry broken quantum spin Hall(QSH)in Lieb lattice is investigated in the presence of both Rashba spin-orbit coupling(SOC)and uniform exchange fi eld.The Lieb lattice has a simple cubic symmetry,and it has three di ff erent sites in each unit cell.The most distinctive feature of this model is that it contains only one Dirac-cone in the fi rst Brillouin zone,where the upper dispersive band and the lower dispersive band touch the middle zero-energy band at M point and form a cone-like dispersion.The intrinsic SOC is essentially needed to open the full energy gap in the bulk.When the intrinsic SOC is nonzero,all the band structures are separated everywhere in the Brillouin zone and can be characterized by some topological invariants.The exact QSH fi rst put forward by Kane and Mele in 2005 is characterized by the z2number.The protection from the TR symmetry ensures the gapless crossing in the surface state in the bulk gap.In our model,the presence of the exchange fi eld breaks the TR symmetry,which results in opening a small gap in the crossing point and the z2topological order is not suitable for the system.This kind of state is a TR symmetry broken QSH,which is characterized by the spin Chern numbers.The spin Chern numbers have a much wider scope of application than z2index.It is suitable for both TR symmetry system and the TR symmetry broken system.For Lieb lattice ribbons,the spin polarization and the wave-function distributions are obtained numerically.There exists a weak scattering between the counter-propagating states in the TR symmetry broken QSH,and the spin transport along the boundary with a low dissipation replaces the dissipationless spin current in a TR symmetry system.In experiment,such a system can be realized by the two-dimensional Fermi gases in optical lattice with Lieb symmetry.The above conclusions are expected to give theoretical guidance in the spin device and the quantum information.

quantum spin Hall e ff ect,spin-orbit coupling,topological order

10.7498/aps.66.127303

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11304281,10547001)和浙江省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):LY13D060002)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wangrui@zjou.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11304281,10547001)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province,China(Grant No.LY13D060002).

?Corresponding author.E-mail:wangrui@zjou.edu.cn