廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123) 袁海軍

一道課本習(xí)題的解法探究

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123) 袁海軍

引例(人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5教材69頁第6題)已知數(shù)列{an}中a1=5,a2=2,an=2an?1+3an?2(n≥3),對于這個數(shù)列的通項(xiàng)公式作以研究,能否寫出它的通項(xiàng)公式?

說明此題作為課本作業(yè),學(xué)生完成的情況很不理想,有的學(xué)生僅寫出前若干項(xiàng),想通過觀察、歸納寫出通項(xiàng),結(jié)果解題思路陷入了更加迷茫、繁雜的困境,無法形成有效的解題突破,大多數(shù)學(xué)生缺乏對此題解法的理解和相應(yīng)的構(gòu)造策略,從而引起我對此類題型解法的進(jìn)一步探究和歸納.

解法一教師用書提供的參考答案:由已知an=2an?1+3an?2(n≥3)可得:an+an?1=3(an?1+an?2),又an?3an?1=?(an?1?3an?2),所以

若按照教科書提供的參考答案,看起來簡單流暢,只是很自然地先構(gòu)造兩個等比數(shù)列,然后再解兩個方程消元即可.其實(shí)細(xì)細(xì)思考,要想構(gòu)造出兩個方程式,對于學(xué)生是很困難的,這種構(gòu)造來的太突然,技巧性太強(qiáng).那么我們要如何探索這種題型的常規(guī)解法呢?在數(shù)列中常涉及構(gòu)造法的題型有哪些呢?

類型一形如an+1=Aan+D(A≠0,1,D≠0)的數(shù)列,求an.

思路方法an+1=Aan+D,可變形為

點(diǎn)評這類題是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn),一定要牢牢掌握它的變形本質(zhì);只是進(jìn)行一次變式把數(shù)列化歸為等比數(shù)列.

類型二形如an+1=Aan+C·n(A≠0,1,C≠0)的數(shù)列,求an.

思路方法an+1=Aan+Cn,可變形為

解因?yàn)閍1=?4,an+1=5an+16n,可變形為:an+1+4(n+1)+1=5(an+4n+1),令bn=an+4n+1,因?yàn)閍1=?4,所以b1=1.則構(gòu)造數(shù)列{bn}是公比為5的等比數(shù)列,所以bn=an+4n+1=1×5n?1=5n?1,即an=5n?1?4n?1.

注意:當(dāng)A=1時.就是典型的疊加法和迭代法,這類題仍是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).

點(diǎn)評一般地,對于形如an+1=an+f(n)類的通項(xiàng)公式,只要f(1)+f(2)+···+f(n)能進(jìn)行求和,則宜采用此方法求解.

類型三形如an+1=Aan+Btn(A≠0,B≠0,t≠1)的數(shù)列

思路方法an+1=Aan+Btn可變形為:

例3. 已知數(shù)列{an}滿足:a1=16,an+1=4an?3·2n+1(n∈N?),求an.

從而就可以構(gòu)造一個新的等比數(shù)列{an?3·2n},其首項(xiàng)a1?3·21=16?6=10,公比q=4,所以有an?3·2n=10×4n?1=5·22n?1,即an=5·22n?1+3·2n.

點(diǎn)評an+1=f(an)且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列,發(fā)散之后,兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透,最后融合到一起.

類型六an+2=Aan+1+Ban,且已知a1,a2的值,(A≠0,B≠0),求an.

思路方法an+2=Aan+1+Ban可變形為:展開得:

由待定系數(shù)法得:xy=B,y?x=A,解出x,y,從而構(gòu)造等比數(shù)列:an+2+x·an+1=y(an+1+x·an),再回到類型一或類型三.

又回到引例:已知數(shù)列{an}中a1=5,a2=2,an=2an?1+3an?2(n≥3),對于這個數(shù)列的通項(xiàng)公式作以研究,能否寫出它的通項(xiàng)公式?

解法二因?yàn)閍n+2+x·an+1=y(an+1+x·an),即an+2=(y?x)an+1+x·yan=2an+1+3an,即xy=3,y?x=2.可得y=3,x=1或y=?1,x=?3.分別代入可得:an+an?1=3(an?1+an?2),又a1+a2=7,數(shù)列{an+an+1}形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列,則

又an?3an?1=?(an?1?3an?2)a2?3a1=?13,數(shù)列{an?3an?1}形成了一個首項(xiàng)為?13,公比為?1的等比數(shù)列,則

由以上兩式①×3+②得:4an=7×3n?1+13·(?1)n?1,故

解法三因?yàn)閍n+2+x·an+1=y(an+1+x·an),即

即xy=3,y?x=2.可得y=3,x=1或y=?1,x=?3.分別代入可得:an+an?1=3(an?1+an?2),又a1+a2=7,數(shù)列{an+an+1}形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列,則an+an?1=7×3n?2.又由

以上解法二、三相比解法一更為清晰,思路更有條理性,層層深入,學(xué)生也容易理解、掌握.

點(diǎn)評已知數(shù)列f(an+2,an+1,an)=0的關(guān)系,可先把復(fù)合數(shù)列通過待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再用其它基本方法求得an.如本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列,最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式.此法較為簡潔明了.

特別注意已知數(shù)列f(an+2,an+1,an)=0的關(guān)系,但如果復(fù)合數(shù)列通過轉(zhuǎn)化難以構(gòu)成等差、等比數(shù)列,有時可考慮構(gòu)成循環(huán)關(guān)系而求出an.

例6. 在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1?an,求a2012.

解由條件an+3=an+2?an+1=(an+1?an)?an+1=?an即an+3=?an,所以an+6=?an+3=an即數(shù)列周期為6,每間隔6項(xiàng)循環(huán)一次.2012=6×335+2,所以a2012=a2=5.

類型七多種形式構(gòu)成的綜合型,求an.

例7. 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N?),求an.

解當(dāng)n≥2時,Sn+1=4an+2,Sn=4an?1+2.兩式相減,得

點(diǎn)評數(shù)列有形如Sn=f(n)或Sn=f(an)的關(guān)系,可考慮用求差Sn?Sn?1=an后,再用其它初等方法求得an,但要檢驗(yàn)s1=a1,一定要先分n=1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算,然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一.本題進(jìn)行了二次化歸,第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列,第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列.隨著化歸的逐步進(jìn)行,問題好解決了.

總之,構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項(xiàng)公式,是求通項(xiàng)公式的重要方法也是高考重點(diǎn)考查的思想,隨著試題的千變?nèi)f化,構(gòu)造方式也會跟著千差萬別,要具體問題具體分析,需要我們反復(fù)推敲歸納,通過構(gòu)造化歸為基本數(shù)列來解決,在平時教學(xué)中要有效訓(xùn)練、積極探索.

鞏固練習(xí)

2017福建省單科質(zhì)檢理科12題已知數(shù)列{an}滿足a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,則下列結(jié)論正確的是( )

解此題由題意不難得到: