付建立

（中航航空電子有限公司，北京100098）

M EM S陀螺靜態(tài)誤差補(bǔ)償方法研究

付建立

（中航航空電子有限公司，北京100098）

針對(duì)典型MEMS陀螺靜態(tài)誤差大、影響工程上使用的難題，提出基于時(shí)間序列模型的Kalman濾波方法。通過對(duì)典型MEMS陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提取其趨勢(shì)項(xiàng)，進(jìn)行周期檢驗(yàn)與相關(guān)性分析，建立時(shí)間序列模型；針對(duì)建立的時(shí)間序列模型，提出利用Kalman濾波方法，消除零位不穩(wěn)定性。仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明，該解算方法能夠有效補(bǔ)償MEMS陀螺靜態(tài)誤差，顯著提升其靜態(tài)指標(biāo)。

誤差補(bǔ)償；靜態(tài)誤差；Kalman濾波；零位不穩(wěn)定性

Abstract：In view of the large static error of typicalMEMSgyroscope and the difficult problem in engineering，a Kal?man filteringmethod based on time seriesmodel is proposed．Based on the typical MEMS gyro data analysis，extraction of the trend analysis，periodic inspection and correlation，time seriesmodel is established．According to the time sequence model，proposed using Kalman filteringmethod to eliminate the zero stability．Simulation and experimental results show that the proposed method can effectively compensate the static error of MEMSgyro and improve its static index significantly．

Key w ords：error compensation;static error;Kalman filtering;zero instability

0 引言

MEMS概念的首議者、美國(guó)著名物理學(xué)家Fey?man曾經(jīng)指出，MEMS技術(shù)發(fā)展的一個(gè)問題就是如何用低精度工具制造高精度產(chǎn)品。對(duì)MEMS慣性器件進(jìn)行誤差補(bǔ)償是提高其精度的一個(gè)重要手段，因此，很多MEMS技術(shù)領(lǐng)先的研究機(jī)構(gòu)將研究的重點(diǎn)轉(zhuǎn)型MEMS陀螺結(jié)構(gòu)誤差建模和誤差補(bǔ)償方法的研究，以提高陀螺的性能和魯棒性。

在補(bǔ)償 MEMS慣性器件或慣性測(cè)量單元（IMU）誤差時(shí)，諸如零偏、零偏不穩(wěn)定性、標(biāo)度因數(shù)誤差、失準(zhǔn)角和隨機(jī)噪聲等，需要建立起其誤差模型和進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，然后實(shí)施補(bǔ)償。誤差模型可以分為靜態(tài)誤差模型、動(dòng)態(tài)誤差模型和隨機(jī)誤差模型。對(duì)于靜態(tài)誤差模型和動(dòng)態(tài)誤差模型一般認(rèn)為是與載體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等有關(guān)的確定性誤差項(xiàng)，可通過試驗(yàn)標(biāo)定并補(bǔ)償。對(duì)于零位不穩(wěn)定性誤差模型，只能采用合理的模型辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)方法。

陀螺零位不穩(wěn)定性是陀螺儀的重要特性，國(guó)內(nèi)外在陀螺漂移測(cè)試及建模方面做了大量工作。本文系統(tǒng)地分析了將時(shí)間序列方法應(yīng)用于MEMS誤差補(bǔ)償中的整個(gè)過程，為誤差補(bǔ)償與分析提供了理論支撐。

1 陀螺零位不穩(wěn)定性誤差的時(shí)間序列分析與建模

時(shí)間序列是一種時(shí)域分析方法，它不僅研究過程的確定性變化，更注重過程隨機(jī)性變化。它直接用隨機(jī)時(shí)間序列建立差分方程，將一個(gè)高度相關(guān)的平穩(wěn)時(shí)間序列表示為一種數(shù)字遞推的形式，即認(rèn)為是由各時(shí)刻相關(guān)的隨機(jī)時(shí)間序列和各時(shí)刻出現(xiàn)的白噪聲組成。時(shí)間序列的建模就是對(duì)時(shí)間序列 ｛xk｝（k＝1，2，…，M）擬合出適用的模型。建模的內(nèi)容包括數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和預(yù)處理、模型形式的選取、模型參數(shù)的估計(jì)和模型實(shí)用性的檢驗(yàn) （確定模型的階次）［1］。

2 陀螺輸出數(shù)據(jù)預(yù)處理

為了獲取足夠多的陀螺漂移數(shù)據(jù)作為樣本，對(duì)所研究的MEMS陀螺進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)試。為保證測(cè)量的精度，陀螺被安放在轉(zhuǎn)臺(tái)上，并保持室溫穩(wěn)定。采集陀螺上電后1h數(shù)據(jù)，采樣頻率為100Hz，室溫為25℃，并對(duì)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行10階滑動(dòng)平均處理，所得到的陀螺漂移數(shù)據(jù)如圖1所示。

從圖1可知，該陀螺的漂移數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)時(shí)間序列，因此建模前需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)以及相關(guān)的預(yù)處理。在分析過程中，采用輪次法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

2.1 漂移數(shù)據(jù)趨勢(shì)項(xiàng)的提取與剔除

具有趨勢(shì)項(xiàng)的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)xt是由確定性部分dt和平穩(wěn)隨機(jī)部分st所組成，即：

趨勢(shì)項(xiàng)dt可以為線性函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)即周期函數(shù)等，采用線性趨勢(shì)項(xiàng)提取法，不斷提高多項(xiàng)式階次，并對(duì)去除趨勢(shì)項(xiàng)的殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，不采用差分方式。陀螺漂移的二次擬合曲線，如圖2所示。

采用輪次檢驗(yàn)法對(duì)去除趨勢(shì)項(xiàng)后的陀螺輸出進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，結(jié)果如表1所示。

表1 陀螺漂移輪次法檢驗(yàn)參數(shù)表Table 1 Test parameters of gyro drift turn method

2.2 周期性檢驗(yàn)

周期性檢驗(yàn)用來識(shí)別陀螺零位不穩(wěn)定性數(shù)據(jù)中是否包含有隨機(jī)量以外的周期性分量，周期性檢驗(yàn)的方法是直接考察從漂移數(shù)據(jù)得到的概率密度函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度的圖形。對(duì)去除趨勢(shì)項(xiàng)的陀螺漂移進(jìn)行了周期性檢驗(yàn)，其功率譜密度圖形如圖3所示。由圖3可知，陀螺漂移數(shù)據(jù)的能量集中在低頻區(qū)，無(wú)周期性成分。

2.3 自相關(guān)與偏相關(guān)函數(shù)

對(duì)于不同系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)序列，可能采用不同的模型來描述。而這幾類模型之間存在著差別，ARMA模型、AR模型和MA模型之間的差別在它們的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)上會(huì)反應(yīng)出不同的特性，具體如表2所示。

所謂拖尾，是指它隨著k增大，以負(fù)指數(shù)的速度趨向于0，此時(shí)它的圖像就像拖著一條尾巴；所謂截尾，是指它的圖像像截?cái)嗔宋舶鸵粯?，而斷尾處在k＝p的地方［2］。

因此，樣本序列自相關(guān)函數(shù)ρ＾k和偏相關(guān)函數(shù)φ＾kk的分析可用來判斷該隨機(jī)序列屬于何種類型的模型。

表2 模型自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)關(guān)系Table 2 Model relationship between autocorrelation function and partial correlation function

由于樣本序列自相關(guān)函數(shù)ρ＾k和偏相關(guān)函數(shù)φ＾kk的截尾或拖尾是用作識(shí)別平穩(wěn)隨機(jī)序列模型的依據(jù)，為此，列出它們的計(jì)算式如下［3］：

自相關(guān)函數(shù)估計(jì)式為：

其中，

式中，xi為ti時(shí)刻陀螺漂移數(shù)據(jù)，xi＋k為ti＋k時(shí)刻陀螺漂移數(shù)據(jù)，k為滯后數(shù)，k＝1，2，…，m（m≤N），m為最大滯后數(shù)。偏相關(guān)函數(shù)估計(jì)式為：

式中， φ＾kj＝φ＾k－1，j－φ＾kkφ＾k－1，k－j（j＝1， 2， …， k－1）。

從圖4、圖5可知，自相關(guān)函數(shù)示意圖存在拖尾現(xiàn)象，偏相關(guān)函數(shù)示意圖存在截尾現(xiàn)象。根據(jù)表2，與圖4、圖5中對(duì)應(yīng)的模型為AR（p）模型，得到的自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)如圖6、圖7所示。

綜上所述，應(yīng)重點(diǎn)考察AR（p）模型，除上述理論推導(dǎo)外，階數(shù)越少，在硬件實(shí)現(xiàn)上越方便。

3 模型選取及參數(shù)估計(jì)

通過數(shù)據(jù)預(yù)處理，對(duì)基本模型進(jìn)行識(shí)別后，就可以對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)陀螺漂移據(jù)，通常采用AR（p）、ARMA（p，q）模型來擬合，模型參數(shù)的估計(jì)就是估計(jì)它們的參數(shù) φ1、 φ、 …、 φp、θ1、θ2、…、θq以及白噪聲方差 σ2a， 由漂移數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)即偏相關(guān)函數(shù)可以判斷其漂移模型為［6］：

寫出與其相應(yīng)的Kalman濾波方程的狀態(tài)空間模型。

其中，V（k）、W（k）的統(tǒng)計(jì)特性為：

從系統(tǒng)的觀點(diǎn)出發(fā)，可以認(rèn)為陀螺漂移是以白噪聲為輸入的系統(tǒng)輸出。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)向量：X（k）＝［xkxk－1］T； 過程噪聲為：W（k）＝［wkwk－1］T，量測(cè)噪聲為：V（k）＝ [vk0]T。狀態(tài)方程中的相關(guān)系數(shù)為：

對(duì)上述系統(tǒng)方程，Kalman濾波遞推方程為［6］：

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

利用上述方法，對(duì)MEMS器件進(jìn)行補(bǔ)償試驗(yàn)。共試驗(yàn)6次，具體如表3～表6所示。

表3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 3 Data of the test

表4 趨勢(shì)項(xiàng)擬合值Table 4 Trend fitting value

續(xù)表

表5 AR（1）模型取值Table 5 Value of AR（1）model

表6 ARMA（2，1）模型取值Table 6 Value of ARMA（2，1）model

AR（1）模型與ARMA（2，1）模型相比，相差不大，故在硬件實(shí)現(xiàn)上，選擇AR（1）模型作為濾波模型。

對(duì)上述模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖8所示。

利用Allan方差法對(duì)陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖9所示。

根據(jù)圖9分析結(jié)果，可計(jì)算得陀螺的零偏穩(wěn)定性為9．3347（°）／h，角度隨機(jī)游走為1．4875（°）／h1／2。

5 結(jié)論

針對(duì)典型MEMS陀螺靜態(tài)誤差大、影響工程上使用的難題，提出基于時(shí)間序列模型的Kalman濾波方法。通過對(duì)典型MEMS陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提取其趨勢(shì)項(xiàng)，進(jìn)行周期檢驗(yàn)與相關(guān)性分析，建立時(shí)間序列模型；針對(duì)建立的時(shí)間序列模型，提出利用Kalman濾波方法，消除零位不穩(wěn)定性。仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明，該解算方法能夠有效補(bǔ)償MEMS陀螺靜態(tài)誤差，顯著提升其靜態(tài)指標(biāo)。

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Research on Static Error Com pensation M ethod of M EM S Gyroscope

FU Jian?li
（AVIC Avionics Co．，Ltd，Beijing 100098）

TP212．1

A

1674?5558（2017）02?01412

10．3969／j．issn．1674?5558．2017．04．009

付建立，男，計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)，研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航、飛行模擬及數(shù)據(jù)分析等。

2017?05?16