范奎武，郭 超

（海軍駐航天一院代表室，北京100076）

根據(jù)同時(shí)觀測(cè)信息確定航天器姿態(tài)四元數(shù)的一種解析方法

范奎武，郭 超

（海軍駐航天一院代表室，北京100076）

介紹根據(jù)星敏感器同時(shí)觀測(cè)幾顆恒星的方向信息，用最小二乘法確定飛行器姿態(tài)的經(jīng)典Wehba問(wèn)題。針對(duì)用四元數(shù)描述飛行器姿態(tài)的情況，推導(dǎo)了的一種解析算法。觀測(cè)5顆恒星實(shí)例的仿真結(jié)果表明，該算法能保證飛行器體軸系相對(duì)慣性系姿態(tài)的高精度。

航天器；姿態(tài)；四元數(shù)；星敏感器；算法

Abstract：This paper introduces the direction of information based on the star sensor observes a few fixed stars，with the least squaremethod to determine the attitude of the classic Wehba's problem．With quaternion to describe the aircraft attitude，an analytical algorithm is derived．Simulation resultwhich observes fixed stars show that the algorithm can ensure the high accuracy of the aircraft body axis relative inertial attitude．

Key words：spacecraft;attitude;quaternion;star sensor;algorithm

0 引言

為了提高航天器的導(dǎo)航與控制精度，通常采用捷聯(lián)慣導(dǎo)與天文導(dǎo)航綜合的導(dǎo)航系統(tǒng)。安裝在航天器上的星敏感器可同時(shí)測(cè)量視場(chǎng)內(nèi)的幾顆恒星，不少于2顆恒星的測(cè)量信息就可以確定航天器的姿態(tài)，本文介紹推導(dǎo)其中的解析算法［1］。

1 問(wèn)題的提出

描述航天器姿態(tài)的參數(shù)通常有Euler角、方向余弦矩陣、四元數(shù)［2］，本文使用慣性系 OiXiYiZi（記為I系）和體軸系ObXbYbZb（記為B系）。為了確定姿態(tài)參數(shù)，要根據(jù)一定的算法對(duì)測(cè)量矢量進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，這些算法可以劃分為兩組：1）根據(jù)同時(shí)測(cè)量的幾個(gè)矢量確定姿態(tài)的算法，稱為 single?frame方法或者是局部算法；2）使用有關(guān)航天器動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)濾波算法。

這些算法都基于Wahba形成的問(wèn)題［3］：根據(jù)測(cè)量矢量ri（i＝1，2，…，n），求出從I系到B系的轉(zhuǎn)換矩陣CBI，該矩陣是正交陣，其行列式的值是1，它使下面的泛函取極小值：

可以把式（1）寫成更方便的形式：

有求解Wahba問(wèn)題的各種方法［4?5］，為了求出最優(yōu)矩陣，可以使用矩陣R的極分解：

式中，W為正交矩陣，S為正定矩陣。這時(shí)，按下面的表達(dá)式確定最優(yōu)矩陣：

也可以使用矩陣R的SVD?分解法來(lái)求出最優(yōu)解：

這些方法主要采用數(shù)值解法，沒(méi)有給出精確解，這就給在航天器本體上使用時(shí)帶來(lái)困難，下面將介紹推導(dǎo)根據(jù)測(cè)量矢量確定航天器姿態(tài)四元數(shù)的解析方法。

2 確定航天器姿態(tài)四元數(shù)的解析方法

設(shè)描述從I系到B系的轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)是Q，測(cè)量矢量ri（i＝1，2，…，n），根據(jù)四元數(shù)與矢量在B系和I系中投影的關(guān)系，有：

這里，RiB、RiI理解為由矢量ri在B系和I系中的投影 ［rixriyriz］T、 ［riXriYriZ］T生成的標(biāo)量部分為0的四元數(shù)，~Q是Q的共扼四元數(shù)。因?yàn)槭菃挝凰脑獢?shù)，所以其逆四元數(shù)與共扼四元數(shù)相等。式（7）的矢量部分是：

按照四元數(shù)的乘法規(guī)則：

利用四元數(shù)乘積的矩陣表示法，可進(jìn)一步寫成：

引入記號(hào)則有：

其展開(kāi)式是：

文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］研究確定用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)時(shí)的最優(yōu)解問(wèn)題，指出最優(yōu)四元數(shù)是與矩陣H的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

下面推導(dǎo)一種解析解法，把姿態(tài)四元數(shù)Q表示成：

Q＝＾Q°Θ （18）

式中，＾Q是姿態(tài)四元數(shù)Q的某個(gè)估值，Θ是該估值的誤差。引入矢量s，它使下面的泛函取極小值：

矢量s在B系和I系中的投影生成的3×1的列矩陣分別是：

它們與姿態(tài)四元數(shù)的關(guān)系是：

姿態(tài)四元數(shù)Q的某個(gè)估值是 ＾Q，精確到繞矢量s有微小轉(zhuǎn)動(dòng)，即矢量s是由四元數(shù)Θ給出的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸，按照特征四元數(shù)的約定，從而有：

引入下面的記號(hào)：

于是，有：

把式（25）帶入式（16），有：

矩陣G的特征方程為：

所以，λ2是矩陣G的特征方程的最小根，求與該根對(duì)應(yīng)的特征向量，得出：

因?yàn)?Q＾是姿態(tài)四元數(shù)Q的某個(gè)估值，所以下式成立：

把式（31）寫成等效的線性齊次方程組：

描述轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù) ＾Q的轉(zhuǎn)軸上的單位矢量是ξ，ξ3×1表示由矢量ξ的分量生成的3×1的列矩陣，φ是有限轉(zhuǎn)角。于是，就可以把上面的兩個(gè)方程表示成：

選擇矢量ξ如下：

帶入式（35），得出：

由式（37）得出：

由此得出φ＝α，進(jìn)而有：

于是，在已有不少于2個(gè)不平行的測(cè)量矢量條件下確定姿態(tài)四元數(shù)的算法，歸納如下：1）根據(jù)式（17）確定矩陣H4×4；2）按式（20）計(jì)算sI、sB；3）按式（40）和式（41）計(jì)算＾q0、＾q；4）按式（23）計(jì)算

6）按式（29）和式（30）計(jì)算λ、z1、z2；7）根據(jù)式（25）得出姿態(tài)四元數(shù)Q＝Wz。

3 仿真驗(yàn)證

設(shè)星敏感器坐標(biāo)系與體軸坐標(biāo)系重合，其光軸方向矢量是 ［0 0 1］T，在星敏感器視場(chǎng)中有5顆恒星，朝向恒星方向的矢量在慣性系中的投影是：

這些方向矢量之間夾角的最大值為7．38°。進(jìn)行1000次測(cè)量的仿真模擬，對(duì)于每個(gè)測(cè)量周期，用隨機(jī)均勻分布的四元數(shù)Q表示B系相對(duì)I系的轉(zhuǎn)動(dòng)，而朝向恒星方向的單位矢量在體軸坐標(biāo)系內(nèi)的投影表示如下：

式中，δbk為Gauss隨機(jī)白噪聲，均值為0，均方差是6″。仿真計(jì)算過(guò)程中加權(quán)系數(shù)σi都取為1。

根據(jù)確定體軸系相對(duì)慣性系姿態(tài)的邊界誤差的大小估計(jì)算法的精度指標(biāo)，按下式計(jì)算誤差四元數(shù)Φ：

式中，ˉQ是利用本文介紹的算法得出的姿態(tài)四元數(shù)的估值，誤差四元數(shù)Φ描述微小轉(zhuǎn)動(dòng)，因此可以表示成：

式中，f＝ ［f1f2f3］T是小轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。 按下面的表達(dá)式計(jì)算確定體軸系相對(duì)慣性系姿態(tài)的誤差：

結(jié)果如圖1所示。計(jì)算結(jié)果表明，所推導(dǎo)的算法能夠保證很高的確定飛行器體軸系相對(duì)慣性系姿態(tài)的精度，相對(duì)x軸、y軸的最大誤差達(dá)到80″，相對(duì)z軸的最大誤差僅為4″，其中確定星敏感器光軸的精度比其他兩軸的精度高，這是使用小視場(chǎng)的星敏感器確定飛行器姿態(tài)時(shí)的所有算法的共同特性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)用四元數(shù)描述飛行器姿態(tài)的情況，推導(dǎo)了根據(jù)星敏感器同時(shí)觀測(cè)的幾顆恒星的方向信息，用最小二乘法確定飛行器姿態(tài)的經(jīng)典Wehba問(wèn)題的一種解析算法。該算法需要的計(jì)算量少，并能保證為計(jì)算估值所需要的時(shí)間。對(duì)觀測(cè)5顆恒星實(shí)例的仿真結(jié)果表明，該算法能保證飛行器體軸系相對(duì)慣性系姿態(tài)的高精度，可以在研制航天器高精度姿態(tài)控制系統(tǒng)時(shí)使用。

［1]ЕфименкоН В．Определениекватернионаориентации космического аппаратапо векторным измерениям взятым в один и тотжемоментвремени ［J］．Международный научно － технический журнал Проблемы управления и информатика，2016 （2）：159?169．

［2]范奎武．用四元數(shù)描述飛行器姿態(tài)時(shí)的幾個(gè)基本問(wèn)題［J］．航天控制，2012，30（4）：49?53．FAN Kui?wu．The key problems of describing rigid?body attitude by using quaternion［J］．Aerospace Control，2012，30（4）：49?53．

［3]Wahba G．A least squares estimate of satellite attitude［J］．Siam Review，1965，7（3）：409．

［4]Farrell J L，Stuelpnagel J．C，Wessner R H，et al．A least squares estimate of satellite attitude［J］．Siam Review，1966，8（3）：384?386．

［5]Markley F L．Attitude determination using vector observa?tions and the singular value decomposition［J］．Journal of the Astronautical Sciences，1988 36（36）：245?258．

［6]以光衢．陀螺理論與應(yīng)用［M］．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1990．YI Guang?qu．Theory and application of gyroscope［M］．Beijing：Beihang University Press，1990．

［7]Davenport P B．A vector approach to the algebra of rota?tions with application［R］．Washington D．C：National Aeronautics and Space Administration，1968．

［8]Shuser M D．Approximate algorithms for fast optimal atti?tude computation［C］．AIAA Guidance and Control Confer?ence，Palo Alto，CA，August7?9，1978：88?95．

Determ ination of Quaternion of the Spacecraft A ttitude by the Vector M easu rem en ts Taken in One and the Sam e M om en t of Tim e

FAN Kui?wu，GUO Chao
（Representatives Office of Navy of CALT，Beijing 100076）

U666．1

A

1674?5558（2017）03?01408

10．3969／j．issn．1674?5558．2017．04．010

范奎武，男，博士后，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)、導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

2017?05?09