蘇瑞杰，閃修洋，李鑫

(華電鄭州機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，鄭州 450046)

超靜定結(jié)構(gòu)支架的受力計(jì)算

蘇瑞杰，閃修洋，李鑫

(華電鄭州機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，鄭州 450046)

以超靜定結(jié)構(gòu)支架為研究對象，建立力學(xué)模型，以靜力學(xué)平衡方程為基礎(chǔ)，在分析支架受力及變形情況的前提下，利用變形協(xié)調(diào)條件和力與位移間的物理關(guān)系建立變形補(bǔ)充方程，求解微分方程組后得到支架的受力情況。該計(jì)算方法與仿真分析所得結(jié)果基本吻合，偏差在允許范圍內(nèi)。將該計(jì)算方法與傳統(tǒng)估算方法進(jìn)行對比，該方法適用范圍更廣、結(jié)果更準(zhǔn)確。

超靜定結(jié)構(gòu)；支架；受力分析；計(jì)算

圖1 三角形滾筒支架示意

0 引言

作為支撐滾筒并承受其動靜載荷的三角形支架，結(jié)構(gòu)簡單且便于安裝和維護(hù)。在工程設(shè)計(jì)過程中，需要對支架進(jìn)行受力分析和計(jì)算，以確保結(jié)構(gòu)安全可靠。以帶式輸送機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為例，滾筒支架用于安裝傳動滾筒和改向滾筒并承受皮帶的張力，底座與埋鐵焊接或錨固。常見的支架底部為4點(diǎn)支撐，在已知皮帶拉力及設(shè)備自重和尺寸的前提下，列出力和力矩平衡方程即可得出支架的受力情況，這種計(jì)算方法忽略了結(jié)構(gòu)件的變形，視其為剛體，屬于靜力學(xué)的范疇[1]。

在實(shí)際工程中，當(dāng)遇到載荷較大的情形時(shí)，通常采取增加底部支撐數(shù)量的措施，以減小集中力和剪力對支架強(qiáng)度的影響。采用力和力矩平衡的方法對上述情況的支架進(jìn)行受力計(jì)算時(shí)，未知力的數(shù)目大于有效平衡方程的數(shù)目，即成為超靜定結(jié)構(gòu)。對于超靜定結(jié)構(gòu)，靜力學(xué)方法已經(jīng)不能滿足求解的需求。

本文以具有超靜定結(jié)構(gòu)的支架為分析對象，以帶式輸送機(jī)滾筒支架為例建立力學(xué)模型，給出求解方法并與傳統(tǒng)估算方法進(jìn)行對比。

1 力學(xué)模型

典型三角形滾筒支架由立柱2，斜立柱3，底梁5及橫梁6，7組成，如圖1所示，其中A，B，C 3點(diǎn)為錨固支座。外部作用力通過立柱和斜立柱傳遞到底梁上。槽型鋼板2，3，5，6，7通過焊接相連，可以認(rèn)為其之間為剛性連接[2]；底梁上的支撐點(diǎn)A，B，C在設(shè)備重力及皮帶拉力的作用下，既受水平方向的力又受豎直方向上的力，可將其等價(jià)為鉸支座連接[3]，從而可使該支架等價(jià)為圖2所示的力學(xué)模型。

圖2 三角形滾筒支架力學(xué)模型

圖2中：G1，G2，G3分別為傳動滾筒、改向滾筒及滾筒支座的重力；W1，W2為輸送帶的拉力；未知力FAX，F(xiàn)AY，F(xiàn)BX，F(xiàn)BY，F(xiàn)CX，F(xiàn)CY分別為預(yù)埋件對滾筒支架A，B，C 3點(diǎn)的支反力，其中FAX，F(xiàn)BX，F(xiàn)CX為水平方向力，F(xiàn)AY，F(xiàn)BY，F(xiàn)CY為豎直方向力。

2 計(jì)算原理和方法

FAX，F(xiàn)BX共線且方向一致，都是由輸送帶拉力W1，W2的水平分力在軸A，B上的正應(yīng)力引起的。根據(jù)受力平衡可得，水平方向上的合力為0，則

(1)

對于FAY，F(xiàn)BY，F(xiàn)CY，由系統(tǒng)平衡原理可知，其內(nèi)部任一點(diǎn)的合力偶和合力的代數(shù)和均為0，列靜力學(xué)平衡方程

(2)

(3)

方程(2)，(3)中，未知力的數(shù)目大于方程的數(shù)目，屬于超靜定問題。在超靜定系統(tǒng)中，凡是多于維持平衡所必需的約束稱為多余約束，從上式可以看出，此系統(tǒng)中有一個多余約束。選取C處的約束為多余約束，則相應(yīng)的多余支反力為FCY。

為了揭示多余支反力FCY的作用，可假想將支座C解除，而以支反力FCY代替，這樣就得到了原超靜定支座的相當(dāng)系統(tǒng)。忽略剪力引起的截面翹曲，相當(dāng)于系統(tǒng)在外載荷與多余支反力FCY的作用下發(fā)生彎曲變形，為使其變形與原超靜定支座相同，多余約束處C點(diǎn)的位移(又稱撓度)必須符合原超靜定支座在該處的約束條件，即滿足變形協(xié)調(diào)條件

(4)

式中：yC為C點(diǎn)的撓度，一般情況下，在力的作用下不同截面的撓度不同，所以yC=y(x=C)。

以系統(tǒng)中A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閄軸，該斷面內(nèi)垂直于AB的方向?yàn)閅軸建立坐標(biāo)系，則AB軸上x處的彎矩為

(5)

在變形較小且軸的內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限的情況下，根據(jù)撓曲軸近似微分方程理論可知，當(dāng)軸在彎矩M(x)0的作用下發(fā)生彎曲變形時(shí)，軸上x點(diǎn)處的撓度與彎矩的數(shù)學(xué)關(guān)系為[4]

(6)

式中：EI為剛度系數(shù)。

式(6)為線性微分方程，并且軸AB所受到的彎矩M(x)0與載荷成線性齊次關(guān)系，所以，當(dāng)軸AB上有多個載荷同時(shí)作用時(shí)，撓曲軸近似微分方程的解必等于每個載荷單獨(dú)作用時(shí)撓曲軸近似微分方程解的線性組合，即所求得撓度也與載荷成線性齊次關(guān)系[5]。因此，圖2所示模型的撓曲軸近似微分方程為

(7)

(8)

式中：C1，C2為積分常數(shù)。

由于A，B處有約束，所以外載荷在A，B兩處的撓度為0，即位移邊界條件為

(9)

(10)

聯(lián)立方程(2)，(3)，(4)，(5)，(8)，(9)，(10)即可求出FAY，F(xiàn)BY，F(xiàn)CY。

3 計(jì)算實(shí)例

以圖1所示的三角形支架為例，進(jìn)行受力計(jì)算，具體參數(shù)見表1。

通過上節(jié)所述計(jì)算方法求得：FAY=87.20 kN，F(xiàn)BY=119.40 kN，F(xiàn)CY=23.54 kN。其中：FBY，F(xiàn)CY為下壓力；FAY為上拔力。

4 軟件仿真分析

以實(shí)例計(jì)算所給的參數(shù)為依據(jù)進(jìn)行三維建模，利用Ansys軟件進(jìn)行有限元分析。為了便于建模，把傳動滾筒和改向滾筒上的力等效為相同重力的梁，設(shè)定A，B，C，A1，B1，C16點(diǎn)約束形式為鉸接，如圖3所示，這6點(diǎn)的集中力計(jì)算結(jié)果見表2。

表1 支架參數(shù)

圖3 三維建模

把計(jì)算值等效到圖2所示的力學(xué)模型截面上可得：FAY=(66.358+53.620)/2=60.00 kN(上拔力)，F(xiàn)BY=(127.820+110.360)/2=119.09 kN(下壓力)，F(xiàn)CY=(19.998+15.725)/2=17.86 kN(下壓力)。

與實(shí)例計(jì)算結(jié)果對比，F(xiàn)BY大小一致，F(xiàn)AY，F(xiàn)CY偏小，原因如下。

表2 集中力計(jì)算結(jié)果 N

(1)本文所述的力學(xué)建模是把支架等效為一個平面內(nèi)的桿件結(jié)構(gòu)，忽略了Z方向上的應(yīng)力和應(yīng)變對系統(tǒng)受力的影響。

(2)在Z方向，滾筒對橫梁的彎矩作用會引起梁兩端截面的翹曲，對底座有一定的反作用力，該力會抵消部分A，C上的上拔力，故而FAY，F(xiàn)CY偏小。

綜合對比結(jié)果分析，該計(jì)算方法與仿真分析所得的值基本吻合，偏差在允許范圍內(nèi)。

5 該計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)

在以往的工程設(shè)計(jì)計(jì)算中，遇到類似超靜定問題時(shí)，支架所受的水平分力FAX，F(xiàn)BX，F(xiàn)CX的計(jì)算方法與公式(3)相同，豎直分力FAY，F(xiàn)BY，F(xiàn)CY的計(jì)算法為：假設(shè)只有A，B兩個支撐點(diǎn)，通過靜力學(xué)理論，列出力和力矩平衡方程求出FAY，F(xiàn)BY，然后利用幾何學(xué)方法估算出C支撐點(diǎn)的豎直力，方法如圖4所示。

圖4 幾何法示意

圖4中，AD，BE線段的長度表示FAY，F(xiàn)BY的值，連接D，E兩點(diǎn)，以C點(diǎn)為起點(diǎn)作垂直于軸AB的垂線，交DE于點(diǎn)F，線段CF的值即為FCY的大小，C到F的指向即為FCY的方向。

和上述計(jì)算方法相比，本文所述計(jì)算方法有以下優(yōu)點(diǎn)。

(1)把支架當(dāng)作彈性體，考慮其變形和撓度，力學(xué)建模和力值分析方法更加貼近實(shí)際，所求得的結(jié)果更為精確，在滿足受力要求的前提下節(jié)約了土建成本。

(2)以往計(jì)算方法是通過幾何學(xué)原理求得FCY的方向，缺乏理論依據(jù)，不利于土建專業(yè)對基礎(chǔ)埋件的工藝設(shè)計(jì)(受拉、受壓對土建專業(yè)工藝設(shè)計(jì)的要求是不同的)。

(3)當(dāng)所求出的FAY，F(xiàn)BY大小相等方向相反，且C點(diǎn)處于AB中點(diǎn)時(shí)，傳統(tǒng)方法求得的FCY為 0，顯然與實(shí)際不符。相比之下，超靜定算法求得的結(jié)果更具有說服性。

(4)當(dāng)支架的支撐點(diǎn)數(shù)量遠(yuǎn)大于3且支架的尺寸較大時(shí)，以往計(jì)算方法所得的FAY，F(xiàn)BY的值(即底梁兩端支撐點(diǎn)的力)跟實(shí)際值相差很大，甚至出現(xiàn)失真，在應(yīng)用范圍上具有局限性，而超靜定計(jì)算法則是普遍適用的。

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]賀克讓.大傾角帶式輸送機(jī)三角形支架設(shè)計(jì)[J].起重運(yùn)輸機(jī)械，1993(2)：19-23.

[3]鄭文緯，吳克堅(jiān)，鄭星河.機(jī)械原理[M].7版.北京：高等教育出版社，1997.

[4]單輝祖.材料力學(xué)教程[M].2版.北京：國防工業(yè)出版社，1997：218-220.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

(本文責(zé)編：劉芳)

2016-07-07；

2017-06-29

TB 12

A

1674-1951(2017)07-0001-03

蘇瑞杰(1981—)，男，河南延津人，工程師，從事散料行業(yè)散料輸送及處理方面的工作(E-mail:surj@chec.com.cn)。

閃修洋(1989—)，男，河南南陽人，工程師，從事散料行業(yè)散料輸送及處理方面的工作(E-mail:shan-xy@chec.com.cn)。