楊宇師

[摘 要]長方形和正方形面積公式的推導是學生探索其他平面圖形的面積公式的基礎，是學生學習面積計算的起始課。在學習本課之前，學生已經(jīng)掌握通過數(shù)小正方形去比較兩個圖形的面積大小的方法，學生對于圖形大小的概念建立在數(shù)小正方形的基礎之上，這是本課教學的起點。

[關鍵詞]長方形；正方形；面積公式；推導

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）20-0065-02

對于長方形的面積計算公式“長×寬”，多數(shù)學生識記起來比較容易，至于為什么這么算，卻幾乎沒有學生能夠說清楚。長方形各邊的長度和它的面積之間存在什么關系呢？讓學生先用擺的方法計算長方形的面積，再通過猜測——驗證擺在長方形里面的1平方厘米小正方形的數(shù)量與邊長的關系，可讓學生經(jīng)歷長方形面積計算方法由擺到量的整個過程，引導學生從“方形度量”順利過渡到“先量后算”，進而體會“用尺測量長度再計算面積”的緣由和優(yōu)越性。

思考一：長方形各邊的長度與其面積之間存在什么關系？

教師如何設計課堂教學內容，才能使學生不是死記硬背公式，而是理解并內化公式呢？根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，我認為學生學習的難點在于“為什么分別測出長和寬的長度，就能求得面積”。長方形面積公式推導的一般教學流程是先用相同數(shù)量的小方形擺成不同的長方形，然后提煉面積公式。其依據(jù)是長方形的面積可以用單位面積去度量，不足之處在于難以讓學生的思維從“用面積度量面積”向“用度量長度計算面積”過渡。因此，在設計本節(jié)課時，我讓學生先用擺小方形的方法計算長方形的面積，再猜測并驗證擺在長方形里面的1平方厘米的小正方形的數(shù)量與長方形邊長的關系，使學生順利溝通“用面積度量面積”與“用度量長度計算面積”之間的聯(lián)系，認識到利用邊長計算長方形面積的理論依據(jù)和可操作性。

思考二：如何從厘米過渡到平方厘米？

學生對于乘法的認識是“幾個幾的和”。以長為6厘米，寬為3厘米的長方形為例，基于乘法學習的經(jīng)驗，學生計算它的面積時得到的結果往往是6×3=18（厘米）。對此，教師可讓學生在長方形中擺1平方厘米的小正方形，然后計算一共能擺多少個小正方形。每行有6個面積為1平方厘米的小正方形，共3行，長方形的面積等于小正方形面積的總和。由此，學生就能直觀地認識到長方形面積的單位也應該是平方厘米。這樣教學，學生順利突破厘米與平方厘米之間的障礙，學習水平逐漸提高。

【教學目標】

1. 知識目標：學生能通過“擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算”，自主探究和發(fā)現(xiàn)長方形以及正方形面積的計算方法，經(jīng)歷面積公式的推導過程，能正確計算長方形和正方形的面積。

2.能力目標：通過分析圖形之間的關系，促進空間觀念進一步發(fā)展。

3.情感目標：通過探索數(shù)學的內在規(guī)律，感受數(shù)學的魅力，提高學習數(shù)學的興趣。

【教學重難點】

1.引導學生通過實踐、觀察和比較，推導長方形和正方形的面積公式。

2. 理解長方形和正方形面積公式的推導過程。

【教學過程】

一、喚醒舊知

1.復習面積概念：出示數(shù)學課本以及三角形圖形，讓學生分別指出它們的面積。

2.復習常用的面積單位：1平方厘米、1平方分米、1平方米。

3.揭示課題：這節(jié)課我們將深入學習面積的有關知識。

[設計意圖：面積的計算建立在數(shù)方格的基礎上，復習舊知，可為新知的學習做充分的鋪墊。]

二、探究新知

1.長方形面積計算公式的推導

（1）猜一猜

師：這個信封里裝著一個面積是4平方厘米的圖形，猜猜它是什么形狀的？

（2）拼一拼

讓學生利用6個1平方厘米的小正方形拼成不同的長方形，然后匯報所拼成的長方形每行擺了幾個小正方形，擺了多少行。

（3）估一估

①自由估一估任意一個長方形的面積。

②在所估的長方形里擺面積為1平方厘米的小正方形進行驗證。

③讓估得比較準確的學生說一說是怎樣估的，并讓他把想法展示出來。

[設計意圖：引導學生嘗試對長方形的面積進行估測，“導”中帶估，以“估”帶練，在練習中體驗估算的方法，培養(yǎng)學生的空間觀念和幾何直觀能力。]

（4）小結

師：用擺小正方形的方法計算，則長方形面積=每行的小正方形數(shù)量×行數(shù)，面積單位與小正方形的一致。

（5）制造認知沖突

師：如果要測量黑板的大小，我們也要用擺小正方形的方法來計算嗎？有沒有更簡便的方法呢？

（6）探究長方形各邊長度與其面積之間的關系

師：尺子只能測量長方形各邊的長度，不能直接量出它的面積。長方形各邊的長度和它的面積之間有什么關系呢？我們一起來研究研究。

師：面積是1平方厘米的小正方形的邊長是1厘米，沿著長方形的長邊擺6個小正方形，沿著寬邊擺恰好能擺3個小正方形。從中你能知道什么？用尺子進行測量，驗證一下吧。

生：沿長邊能擺6個小正方形，說明長方形的長是6厘米；沿寬邊擺能3個小正方形，說明長方形的寬是3厘米。因此，擺這個長方形一共要6×3=18（個）小正方形。

師：那么長方形的面積還可以怎么算？

長方形的面積=每行的6個×3行=18個1平方厘米

長：6厘米 寬：3厘米

師：也就是說，長方形的面積=長×寬=6厘米×3厘米。這個式子的結果的單位是什么？

生：厘米。

師：你確定嗎？剛才我們用每行的6個乘以3行，等于18個1平方厘米，即6厘米×3厘米=18平方厘米。

① 練習

根據(jù)長方形的長和寬上所擺的小正方形個數(shù)，練習推導長方形的長和寬的長度。

② 感知測量的簡潔

師：現(xiàn)在我們要測量這個長方形的面積，你想沿著它的長和寬擺小正方形，還是分別測量它的長和寬的長度呢？

生：測量長和寬的長度。

師：為什么量出長和寬的長度就可以計算它的面積呢？

生：能擺多少個小正方形邊長就是多少厘米，反過來，根據(jù)長邊的長度可以知道每行能擺多少個小正方形，根據(jù)寬邊的長度就可以知道要擺多少行。

（7）總結用測量的方法計算長方形面積的方法

先在長方形中擺小正方形，數(shù)出每行的小正方形個數(shù)和小正方形的行數(shù)，然后用尺子測出長方形的長和寬。根據(jù)長和寬與每行的小正方形個數(shù)和小正方形行數(shù)的對應關系，得出：長方形面積=長×寬。

（8）對比優(yōu)化

師：計算長方形面積的方法現(xiàn)在有“擺”和“量”這兩種，你更喜歡哪一種？為什么？

[設計意圖：開展“擺一擺”的探索活動，讓學生經(jīng)歷通過實驗研究建立數(shù)學模型的思維抽象過程，并通過測量、操作、觀察、比較，總結規(guī)律，揭示長方形面積與其長和寬的關系，從而推導長方形面積的計算公式，并通過類比推理得出正方形的面積公式。這有利于學生建立長方形、正方形面積公式的表象。通過計算長方形的面積，進一步體驗利用長和寬計算長方形面積的優(yōu)越性。]

2.正方形面積計算公式的推導

（1）嘗試計算正方形的面積。

（2）長方形與正方形之間存在什么關系？

[設計意圖：引導學生根據(jù)長方形和正方形之間的關系，即正方形是長和寬相等的長方形，將長方形的面積計算公式遷移到正方形中，推導出正方形的面積計算公式=邊長×邊長，進一步發(fā)展學生的推理能力和空間觀念。]

三、課堂總結，解決實際問題

1.這節(jié)課我們學習了哪些圖形面積的計算？

2.通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

3.運用今天學到的知識解決生活中的實際問題。

（1）獨立完成

（2）展示，評價

[設計意圖：帶領學生回顧整節(jié)課的教學內容，梳理知識脈絡，使之全面把握并鞏固面積公式的推導過程：擺小正方形——量長方形的長和寬的長度——發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成方法——解決實際問題。]

【反思】

學生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算等自主探究活動，發(fā)現(xiàn)長方形面積與其長和寬的關系，從而推導并掌握長方形面積的計算公式，并通過類比推理得出正方形的面積公式。這樣教學，有助于學生建立長方形、正方形的面積公式的表象。同時，結合學生熟悉的物體引導學生嘗試對長方形的面積進行估測，“導”中帶估，以“估”帶練，在練習中體驗估算的方法，培養(yǎng)學生的空間觀念和幾何直觀能力。在自主探究獲得長方形、正方形面積的計算公式后設計應用性練習，如計算學校操場的面積和計算花壇的占地面積等，能有效引導學生將所學的知識應用于實際生活，感悟數(shù)學學習的價值與意義所在。通過實際問題的解決，學生將獲得的理論知識轉化為實踐操作能力，既豐富了學生的生活經(jīng)驗，又提高了學生解決實際問題的能力，教學質量顯著提高。

（責編 吳美玲）