曹沖，徐熙平，熊春生，王廣龍，齊碩

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長春 130022；2.北京研創(chuàng)達(dá)科技有限公司，北京 100086；3.軍械工程學(xué)院納米技術(shù)與微系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050003）

基于均勻面陣的相干信號(hào)源二維DOA估計(jì)新方法

曹沖1，2，徐熙平1，熊春生2，王廣龍3，齊碩1

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長春 130022；2.北京研創(chuàng)達(dá)科技有限公司，北京 100086；3.軍械工程學(xué)院納米技術(shù)與微系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050003）

相干信號(hào)源的來波方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)問題一直是陣列信號(hào)處理技術(shù)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的信號(hào)源多為相干的，針對(duì)此問題提出一種改進(jìn)的相干信號(hào)源二維DOA估計(jì)算法。通過對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣重構(gòu)處理，將采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)到等于信號(hào)源的個(gè)數(shù)；對(duì)重構(gòu)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，構(gòu)造出信號(hào)子空間矩陣和噪聲子空間矩陣，將兩個(gè)子空間矩陣聯(lián)合構(gòu)造出新的空間譜函數(shù)；基于新的空間譜函數(shù)進(jìn)行二維譜峰搜索，即可估計(jì)出多個(gè)入射信號(hào)的二維DOA。使用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明了所提方法的有效性。

相干信號(hào)源；矩陣重構(gòu)；陣列信號(hào)處理；均勻矩形陣列；二維DOA估計(jì)

隨著電子信息、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)字信號(hào)處理等技術(shù)的快速發(fā)展，使用單個(gè)傳感器進(jìn)行信號(hào)采集已經(jīng)不能滿足科研工作者們的要求。近幾年，使用傳感器陣列對(duì)空間信號(hào)源的DOA估計(jì)技術(shù)越來越受到人們的重視。經(jīng)過專家學(xué)者們多年的研究，目前已有大量的一維DOA估計(jì)理論成果。與一維DOA估計(jì)相比，二維DOA估計(jì)可以同時(shí)得到空間信號(hào)的方位角與俯仰角，更充分的描述了信號(hào)的空間特征，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)空間信號(hào)更加精確的定位。目前，空間信號(hào)源DOA估計(jì)技術(shù)已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于雷達(dá)定位［1］、水聲工程［2］、衛(wèi)星通信［3］等重要領(lǐng)域。

由于傳播環(huán)境的復(fù)雜性，信號(hào)到達(dá)傳感器陣列大都會(huì)有相干信號(hào)源的存在，包括同頻干擾或者由于背景物體反射所引起的多徑傳播信號(hào)。相干信號(hào)源的存在會(huì)導(dǎo)致空間信號(hào)協(xié)方差矩陣產(chǎn)生秩的虧缺，一般的DOA估計(jì)算法，如傳統(tǒng)的多重信號(hào)分類［4］（MUSIC算法）、利用旋轉(zhuǎn)不變性進(jìn)行信號(hào)參數(shù)估計(jì)［5］（ESPRIT算法）等信號(hào)子空間類算法，已經(jīng)不能有效的分辨信號(hào)源的DOA。

目前，去相干預(yù)處理算法主要有兩類［6］：一類是降維法，如空間平滑類算法、矩陣重構(gòu)算法；另一類是非降維處理法，如Toeplitz法。降維法以犧牲陣列有效孔徑為代價(jià)獲得解相干能力，降低了算法的分辨率，而非降維處理法往往會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差。

針對(duì)傳統(tǒng)的MUSIC算法對(duì)相干信號(hào)源DOA估計(jì)性能差的問題，文獻(xiàn)［7］提出了一種改進(jìn)的MUSIC算法，能夠在不影響?yīng)毩⑿盘?hào)源測(cè)量效果的情況下，有效的對(duì)相干信號(hào)源的DOA進(jìn)行測(cè)量。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［6］提出了改進(jìn)的二維MUSIC算法，實(shí)現(xiàn)空間相干信號(hào)源的二維DOA估計(jì)。文獻(xiàn)［8］提出基于特征空間的DOA估計(jì)算法，其DOA估計(jì)性能在非相關(guān)信源情況下優(yōu)于MUSIC算法［4］，在相干信源情況下由于改進(jìn)的MUSIC算法［7］。本文在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，提出一種基于均勻矩形陣列的相干信源二維DOA估計(jì)新方法。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，改進(jìn)算法不影響?yīng)毩⑿盘?hào)源的二維DOA估計(jì)，而且相干信源的二維DOA估計(jì)性能優(yōu)于文獻(xiàn)［6］所提方法。

1 數(shù)據(jù)模型

1.1 信號(hào)源相關(guān)系數(shù)定義

由施瓦茲（Schwartz）不等式可知ρij＜1。因此，兩個(gè)信號(hào)間的相關(guān)性可定義為：

（1）ρij=0時(shí)，si(t)和sj(t)不相關(guān)；

（2）0＜ρij＜1時(shí)，si(t)和sj(t)部分相關(guān)；

（3）ρij=1時(shí)，si(t)和sj(t)完全相關(guān)。

由式（1）互相關(guān)系數(shù)的定義可以推出，當(dāng)空間中有K個(gè)相關(guān)聯(lián)的信號(hào)入射到陣列，那么K個(gè)入射信號(hào)在數(shù)學(xué)模型上表現(xiàn)為復(fù)常數(shù)系數(shù)的差異。則相干信源的數(shù)學(xué)模型定義為：

式中，ωi表示一個(gè)復(fù)常數(shù)，sk(t)表示生成的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源。本文算法是在遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶波的理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出的，所以文中提到的信號(hào)源都為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶的。

1.2 陣列接收模型

圖1 均勻矩形陣列模型

如圖1所示為分布在XOY軸面上的均勻矩形陣列模型圖，設(shè)平面陣列的陣元數(shù)為M×N，X軸向陣元數(shù)為M，Y軸向陣元數(shù)為N。假設(shè)各陣元間的間距為d=λ/2，λ為信號(hào)源的波長，θ和φ分別表示入射信號(hào)源的俯仰角和方位角。取坐標(biāo)原點(diǎn)作為陣列的基準(zhǔn)點(diǎn)，容易得出第k個(gè)入射信號(hào)的導(dǎo)向向量為：

式中，m=1,2,???,M，n=1,2,???,N，(md,nd)為第個(gè)陣元的坐標(biāo)。由于陣列在XOY的軸面上，Zij取0，此處直接省去（3）式中的最后一項(xiàng)。

取

容易得出第k個(gè)信號(hào)到達(dá)X軸上M個(gè)陣元的導(dǎo)向向量為：

現(xiàn)將上式推廣到K個(gè)信號(hào)入射X軸上M個(gè)陣元的導(dǎo)向矩陣：

同理，可以得到Y(jié)軸上N個(gè)陣元對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矩陣為：

進(jìn)而，可以得到K個(gè)信號(hào)入射到均勻矩形陣的導(dǎo)向矩陣為［10］：

式中，Dn(?)表示由矩陣(?)的第n行構(gòu)造的一個(gè)對(duì)角矩陣。

由信號(hào)模型和導(dǎo)向矩陣就可以得到整個(gè)均勻矩形陣列的信號(hào)接收模型為

式中，A為（9）式所示的導(dǎo)向矩陣，S(t)為t時(shí)刻均勻矩形陣列接收到的信號(hào)組成的向量，N(t)為t時(shí)刻均勻矩形陣列接收到的噪聲組成的向量，可用高斯白噪聲表示。X(t)即為t時(shí)刻整個(gè)均勻矩形陣列接收到的數(shù)據(jù)。

2 二維DOA估計(jì)算法

假設(shè)信號(hào)為穩(wěn)定或者短時(shí)穩(wěn)定的獨(dú)立信號(hào)，信號(hào)源個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于陣元個(gè)數(shù)，噪聲為具有高斯分布特性的隨機(jī)噪聲，則接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為：

式中，X(t)為接收數(shù)據(jù)矩陣，[?]H表示復(fù)數(shù)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。RS為信號(hào)源的協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，I為單位矩陣，RS與σ2I可分別表示為：

由此可知，接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以分解成信號(hào)協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣兩部分。

2.1 二維MUSIC算法

首先，給出二維均勻矩形陣列的導(dǎo)向矩陣的另一種表示形式［9］：

式中，k=1,2,???,K，aX(φk,θk)和aY(φk,θk)是AX和AY的第k個(gè)列向量，為克羅內(nèi)克（Kro?necker）積。

實(shí)際測(cè)量中，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣用采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣代替，則式（11）可表示為

式中，l=1,2,???,L，L表示采樣數(shù)。

對(duì)采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX進(jìn)行特征分解，可得

式中，ΛS為入射信號(hào)源對(duì)應(yīng)的K個(gè)大特征值組成的對(duì)角陣陣，ES為K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣，ΛN為噪聲信號(hào)對(duì)應(yīng)的MN－K個(gè)小特征值組成的對(duì)角陣，EN為MN－K個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣。信號(hào)子空間和噪聲子空間相互正交，所以ES的方向向量與EN相互正交的，MUSIC算法正是利用這一特性，得到陣列的空間譜函數(shù)。二維MUSIC算法的空間譜函數(shù)為［11］

2.2 重構(gòu)解相干原理

當(dāng)K入射信號(hào)中有相干信源存在時(shí)，接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣會(huì)產(chǎn)生秩的虧缺，直接使用傳統(tǒng)的二維MUSIC算法將會(huì)出現(xiàn)信號(hào)源的泄漏。文獻(xiàn)［6］中提出利用托普利茨（Toeplitz）性質(zhì)對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX進(jìn)行矩陣重構(gòu)，并將重構(gòu)的協(xié)方差矩陣應(yīng)用到二維MUSIC算法，實(shí)驗(yàn)仿真證明重構(gòu)后的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣能夠使傳統(tǒng)的二維MUSIC算法在相干信源存在的情況下正常工作。下面給出文獻(xiàn)［6］中協(xié)方差矩陣的重構(gòu)原理。

首先，對(duì)接收數(shù)據(jù)矩陣的處理為：

式中，X?(t)為陣列接收數(shù)據(jù)矩陣的復(fù)數(shù)共軛，JI為反對(duì)角單位矩陣，其具體形式如下：

它將接收數(shù)據(jù)矩陣的元素倒置排序。由此可以得到反向陣列自相關(guān)矩陣為：

對(duì)采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)可得：

將重構(gòu)后采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，然后利用二維MUSIC算法空間譜函數(shù)進(jìn)行二維譜峰搜索，即可實(shí)現(xiàn)空間相干信號(hào)源的二維DOA估計(jì)。

2.3 改進(jìn)的均勻面陣解相干算法

文獻(xiàn)［8］中提出了一種基于特征空間的相干信號(hào)源DOA估計(jì)算法，它充分利用了信號(hào)子空間和噪聲子空間，在小快拍數(shù)和低信噪比的情況下，仍具有較好的性能。本文將其推廣到相干信號(hào)源的二維DOA估計(jì)，下面給出其詳細(xì)實(shí)現(xiàn)原理：

在采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣重構(gòu)解相干的基礎(chǔ)上，將RXY進(jìn)行特征分解，得

式中，ΣS為重構(gòu)的協(xié)方差矩陣特征分解得到的大特征值組成的對(duì)角矩陣，為其對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣；ΣN為重構(gòu)的協(xié)方差矩陣特征分解得到的小特征值組成的對(duì)角矩陣，為其對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣。

定義矩陣QS為［8］：

式中，δk=[0 ,???,1,0,???,0]T為M×1的矢量，第k項(xiàng)元素為1，其他都為0。pk為第k個(gè)信號(hào)源的功率。定義相干信號(hào)二維DOA估計(jì)的空間譜函數(shù)為

改進(jìn)算法的計(jì)算步驟如下：

（1）根據(jù)陣列采樣信號(hào)矩陣計(jì)算出其協(xié)方差矩陣RX，再對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)RXY=RX+

（3）根據(jù)子空間計(jì)算QS=，然后計(jì)算

（4）利用改進(jìn)的二維DOA估計(jì)算法PES-2D進(jìn)行二維的空間譜搜索，通過尋找峰值得到二維DOA的估計(jì)值。

3 仿真驗(yàn)證

仿真驗(yàn)證是在MATLAB軟件2011b版本上完成的，電腦為64位win7系統(tǒng)的臺(tái)式機(jī)。不同操作系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致驗(yàn)證三得出不同仿真結(jié)果，所以此處給出軟件版本和電腦信息。

驗(yàn)證一：假設(shè)無源接收陣列為8×8均勻分布的矩形陣列，陣元間距取信號(hào)波長的一半，即d=2/λ。假設(shè)空間中有四個(gè)相互獨(dú)立的信號(hào)同時(shí)入射到陣列，它們的方位角和俯仰角分別為，設(shè)置信號(hào)頻率fc=2KHZ，采樣平率fs=10KHZ，快拍數(shù)L=50，信噪比SNR=10，噪聲為高斯白噪聲。分別使用傳統(tǒng)的二維MUSIC算法、文獻(xiàn)［6］提出的改進(jìn)的MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)比，仿真驗(yàn)證效果如圖2、圖3和圖4所示。

驗(yàn)證二：將驗(yàn)證一中信號(hào)源3和信號(hào)源4設(shè)置為完全相干的信號(hào)源，其他設(shè)置和假設(shè)條件與驗(yàn)證一的相同。分別使用傳統(tǒng)的二維MUSIC算法、文獻(xiàn)［6］提出的改進(jìn)的二維MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，仿真實(shí)驗(yàn)效果如圖5、圖6和圖7所示。

驗(yàn)證三：驗(yàn)證條件與驗(yàn)證一的條件相同，使用MATLAB提供的tic函數(shù)和toc函數(shù)，分別檢測(cè)傳統(tǒng)的二維MUSIC算法、文獻(xiàn)［6］提出的改進(jìn)的二維MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法的運(yùn)算時(shí)間。開始端點(diǎn)設(shè)置在采樣數(shù)據(jù)矩陣開始協(xié)方差矩陣求解之前，結(jié)束端點(diǎn)設(shè)置在空間譜函數(shù)歸一化處理之后，循環(huán)運(yùn)行20次取平均值，得到三種算法的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比如表1所示。

圖2 傳統(tǒng)二維MUSIC算法仿真圖

圖3 改進(jìn)的二維MUSIC算法仿真圖

圖4 本文提出的ES-2D-DOA算法仿真圖

圖5 傳統(tǒng)二維MUSIC算法仿真圖

圖6 改進(jìn)的二維MUSIC算法仿真圖

圖7 本文提出的ES-2D-DOA算法仿真圖

表1 三種算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比表

仿真結(jié)果分析：驗(yàn)證一的結(jié)果表明，當(dāng)多個(gè)信號(hào)同時(shí)入射均勻矩形陣列時(shí)，三種算法都能正常工作。對(duì)比驗(yàn)證一的三個(gè)仿真圖可以看出，改進(jìn)的二維MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法的譜峰較傳統(tǒng)的二維MSUIC算法尖銳。實(shí)驗(yàn)二的結(jié)果表明，當(dāng)多個(gè)信號(hào)中包含相干信號(hào)源時(shí)，傳統(tǒng)的二維MUSIC算法不能有效的估計(jì)出相干信號(hào)的二維DOA，但能估計(jì)出非相干信號(hào)的二維DOA；改進(jìn)的二維MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法能夠有效的估計(jì)出相干和非相干信號(hào)的二維DOA。對(duì)比圖6和圖7，本文所提出的ES-2D-DOA算法的信號(hào)譜峰值要較改進(jìn)的二維MUSIC算法的信號(hào)譜峰值更明顯，指向性能更優(yōu)。驗(yàn)證三的結(jié)果表明，改進(jìn)的二維MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法，都是以增加運(yùn)算量為代價(jià)，達(dá)到去相干的目的。

4 結(jié)論

空間信號(hào)的二維DOA估計(jì)已經(jīng)成為陣列信號(hào)處理技術(shù)的重點(diǎn)研究對(duì)象，針對(duì)現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，信號(hào)多以弱相干或者全相干的形式存在，提出一種能夠有效解相干的空間信號(hào)二維DOA估計(jì)算法。在利用Toeplitz性質(zhì)對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣重構(gòu)之后，將信號(hào)子空間和噪聲子空間結(jié)合，構(gòu)造出新的空間譜函數(shù)，并給出了詳細(xì)算法步驟。使用MAT?LAB仿真軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，仿真結(jié)果表明：本文提出的ES-2D-DOA算法不影響多個(gè)獨(dú)立信號(hào)的二維DOA估計(jì)性能，同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)相干信號(hào)源和獨(dú)立信號(hào)源同時(shí)存在時(shí)的二維DOA估計(jì)。本文算法運(yùn)算量大，在接下來的工作中還需繼續(xù)研究改進(jìn)措施，降低算法的運(yùn)算量。

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A New Two-dimensional DOA Estimation Algorithm for Coherent Signal Source Based on Uniform Plane Array

CAO Chong1，2，XU Xiping1，XIONG Chunsheng2，WANG Guanglong3，QI Shuo1
（1.School of Optoelectronic Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022；2.Beijing Yan Chuang Da Science and Technology co.，LTD，Beijing 100086；3.Lab of Nanotechnology and Micro-system，College of Mechanical Engineering，Shijiazhuang 050003）

The DOA estimation of coherent signal source has been a research hotspot in array signal processing technology.Be?cause of the signal source always is coherent in the real environment，an improved two-dimensional DOA estimation algorithm for coherent signal source is proposed.Recovering the covariance matrix rank of the sampling data to be equal to the number of sig?nal source，through reconstructing the covariance matrix of the

signal matrix.Constructing the signal subspace matrix and the noise subspace matrix based on the eigen decomposition of the reconstructed covariance matrix.A new space spectrum function is constructed by the signal subspace matrix and the noise subspace matrix.The two-dimensional DOA of the multiple incident signal source will be estimated，through the two-dimensional peak searching by using the new space spectrum function.The availability of the new space spectrum function is verified by using computer software for experiment simulation.

coherent signal source；matrix reconstruction；array signal processing；uniform rectangular array；2-D DOA Es?timation

TP391.9

A

1672-9870（2017）03-0013-05

2017-03-08

曹沖（1989-），男，碩士研究生，E-mail：caochong_2008@126.com

徐熙平（1969-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：xxp@cust.edu.cn