張振榮，馬麗娜，代征鳴

（1. 天津農(nóng)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，天津 300384；2. 中央財經(jīng)大學(xué) 中國精算研究院，北京 100081；3. 首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 金融學(xué)院，北京 100070）

基于多周期CVaRD的個人賬戶養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略研究

張振榮1，馬麗娜2,3，代征鳴1

（1. 天津農(nóng)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，天津 300384；2. 中央財經(jīng)大學(xué) 中國精算研究院，北京 100081；3. 首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 金融學(xué)院，北京 100070）

通過構(gòu)建多周期條件風(fēng)險價值偏差（CVaRD）模型來研究中國個人賬戶養(yǎng)老金投資的最優(yōu)策略?；诨攫B(yǎng)老保險基金投資管理規(guī)定，假定個人賬戶允許投資3種類型，以優(yōu)化CVaR為目標(biāo)，先建立情景樹，情景樹的層數(shù)由養(yǎng)老金投資決策改變的次數(shù)決定，利用最優(yōu)化方法將養(yǎng)老金儲蓄額的期望與養(yǎng)老金儲蓄額投資的條件風(fēng)險價值之差化成一個非線性規(guī)劃，利用迭代算法求解，得到每一期條件風(fēng)險價值偏差的最小值、每一期的養(yǎng)老金儲蓄額的期望以及養(yǎng)老金投資選擇分配方式。結(jié)果表明：條件風(fēng)險價值偏差的最小值隨投保者年齡增大而增大；養(yǎng)老金儲蓄額的期望均大于預(yù)期財富目標(biāo)；隨著投保者年齡增大，投資風(fēng)險較大的F1的比例逐漸降低，投資無風(fēng)險型F3的比例逐漸增大，說明隨著年齡增大，追逐風(fēng)險的意愿下降。

多周期條件風(fēng)險價值偏差；最優(yōu)投資策略；情景樹；非線性規(guī)劃

1 背景介紹

我國的基本養(yǎng)老保險基金（下文簡稱為養(yǎng)老基金）是指由社會保險征繳機(jī)構(gòu)以社會保險費(fèi)的形式征集和國家財政專項補(bǔ)貼而形成的，用以保證勞動者在未來退休時享受基本生活水平的專項資金。由兩部分構(gòu)成：統(tǒng)籌賬戶養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金。2015年8月，國務(wù)院印發(fā)了《基本養(yǎng)老保險基金投資管理辦法》（以下簡稱《辦法》），《辦法》中規(guī)定各省、自治區(qū)和直轄市計算養(yǎng)老基金結(jié)余額，預(yù)留一部分作為支付費(fèi)用，再確定具體投資額度，然后委托給國務(wù)院授權(quán)的投資管理機(jī)構(gòu)進(jìn)行投資運(yùn)營。隨著數(shù)額龐大的養(yǎng)老基金（包括統(tǒng)籌賬戶養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金）相繼入市，個人投資的選擇權(quán)被提上日程。每個人的風(fēng)險偏好不同，承擔(dān)風(fēng)險的能力有大有小，個人如何選擇一個最優(yōu)投資組合，使退休后的收入有保障且有較高收益，同時最大程度地降低風(fēng)險，是養(yǎng)老基金入市后需要解決的問題[1]。本文正是以養(yǎng)老基金投資資本市場為背景，借鑒國外養(yǎng)老基金投資管理經(jīng)驗(yàn)，假設(shè)投保人擁有養(yǎng)老基金個人賬戶的投資選擇權(quán)，并且遵循《基本養(yǎng)老保險基金投資管理辦法》中關(guān)于投資比例、投資類型、投資權(quán)限等規(guī)定，投資管理機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)管理投保者的個人賬戶收益，通過理論分析，構(gòu)建養(yǎng)老基金個人賬戶多周期條件風(fēng)險價值偏差（CVaRD）模型，選擇最優(yōu)投資組合，最大程度降低投資風(fēng)險。

目前金融界測量市場風(fēng)險的主流方法包括風(fēng)險價值方法（Value-at-Risk，VaR）和條件風(fēng)險價值方法（Conditional Value-at-Risk，CVaR）。在國內(nèi)文獻(xiàn)中，林源[2]利用 VaR度量中國養(yǎng)老基金投資中的市場風(fēng)險、流動性風(fēng)險和信用風(fēng)險。吳奇[3]提出VG-GARCH-VaR模型，結(jié)合壓力測試對養(yǎng)老金入市的風(fēng)險進(jìn)行分析和控制。但是VaR模型度量金融資產(chǎn)的風(fēng)險是有條件的，必須在正常的市場環(huán)境下進(jìn)行。當(dāng)金融市場出現(xiàn)極端狀況，VaR所度量的風(fēng)險就失去了意義。但很多情況下，正是極端值起到了判斷市場風(fēng)險的決定作用。一些實(shí)證研究表明VaR有以下缺點(diǎn)：第一，它在非正態(tài)條件下不滿足次可加性，故不是一致性風(fēng)險度量，因?yàn)橐恢滦燥L(fēng)險度量需具備正齊次性、次可加性、單調(diào)性、轉(zhuǎn)移不變性4個性質(zhì)[4]；第二，VaR尾部損失測量不具有充分性，因?yàn)樗鼰o法考察超過分位點(diǎn)下方的風(fēng)險信息；第三，應(yīng)用VaR的前提條件是股票收益率須服從正態(tài)分布，一些實(shí)證研究證實(shí)，目前中國股票收益率不服從正態(tài)分布?；谝陨线@些缺點(diǎn)，需要改進(jìn)VaR來估計風(fēng)險。

學(xué)者Artzner P 等[5]提出了條件風(fēng)險價值的定義，給出CVaR的性質(zhì)、計算方法及樣本逼近等。CVaR的優(yōu)點(diǎn)是滿足資產(chǎn)收益的尖峰厚尾性，且滿足一致性風(fēng)險度量，把VaR在置信區(qū)間外的極端分布信息考慮進(jìn)來。CVaR是近年來研究風(fēng)險控制的熱點(diǎn)，但把 CVaR用于養(yǎng)老基金投資的風(fēng)險控制的文獻(xiàn)不多。Bai等[6]研究養(yǎng)老金負(fù)債管理模型時，提出用CVaR控制風(fēng)險。吳奇[7]討論了壓力測試與條件在險價值（CVaR）在養(yǎng)老金入市的風(fēng)險控制中的應(yīng)用。

本文基于養(yǎng)老基金投資管理的規(guī)定，結(jié)合中國養(yǎng)老基金投資的實(shí)際情況，假設(shè)個人賬戶養(yǎng)老金可以投資3種類型，風(fēng)險資產(chǎn)價值由幾何布朗運(yùn)動產(chǎn)生，以優(yōu)化 CVaR為目標(biāo)，構(gòu)建多周期策略模型，最小化周期財富期望與條件風(fēng)險價值之差，利用情景樹模擬投資周期，用MATLAB求解非線性規(guī)劃模型，得到每一期的財富期望、條件風(fēng)險價值偏差和最優(yōu)投資組合，為養(yǎng)老基金個人賬戶投資控制風(fēng)險提供可靠性依據(jù)。

2 理論模型

2.1 投資類型及比例

假設(shè)個人賬戶根據(jù)《辦法》的規(guī)定可選擇相同的投資產(chǎn)品和類型。養(yǎng)老基金僅限于在境內(nèi)投資。必須堅持安全第一的原則，嚴(yán)格控制風(fēng)險。投資產(chǎn)品包括銀行活期存款、1年（以內(nèi)）定期存款、票據(jù)、國債、貨幣型養(yǎng)老金產(chǎn)品，比例≥5%；1年（以上）定期存款、國債、銀行債券、金融債、公司債、地方政府債券、固定收益型養(yǎng)老金產(chǎn)品、混合型養(yǎng)老金產(chǎn)品，比例≥135%；股票、股票基金、混合基金、股票型養(yǎng)老產(chǎn)品，比例≥30%；投資國家重大項目和重點(diǎn)企業(yè)股權(quán)，比例≥20%。

根據(jù)上述要求，假設(shè)選擇3種投資類型，第1種是股票類等風(fēng)險投資占 30%、債券及銀行存款占70%的F1；第2種是股票等風(fēng)險投資比例稍低占15%、債券及銀行存款占85%的F2；第3種是無風(fēng)險投資，即風(fēng)險資產(chǎn)比例占0%，債券及銀行存款占100%。

2.2 情景樹

在金融動態(tài)投資決策時，構(gòu)造關(guān)于資產(chǎn)收益的情景樹是應(yīng)用隨機(jī)規(guī)劃模型的關(guān)鍵。情景樹由節(jié)點(diǎn)和連線組成。根節(jié)點(diǎn)0位于情景樹的第0層，表示投資的初始時刻t＝0，初始時刻的信息已知。根節(jié)點(diǎn)的后代位于情景樹的第一層，表示在未來某時刻t=t1可能出現(xiàn)的狀態(tài)，

用s1,s2,s3,...,sk（k≥1）表示，每個狀態(tài)發(fā)生的概率分別為 p1, p2, p3,...,pk。在未來某時刻t= t2，第 1層的節(jié)點(diǎn)s1有若干后代sk+1,sk+2,sk+3,...,s2k，它們位于情景樹的第2層，每個狀態(tài)發(fā)生的概率分別為 pk+1,pk+2,pk+3,...,p2k。設(shè)節(jié)點(diǎn)n-對應(yīng)某時刻ti-1，節(jié)點(diǎn)n對應(yīng)某時刻ti，分支的層數(shù)由具體問題來確定。圖1是二元情景樹的例子。

圖1 二元情景樹

2.3 變量說明

j( j ∈{1,2, ...J })表示不同的投資類型。本文中假設(shè)投資者選擇表2中所列的3種方式進(jìn)行投資，故J=3。

wn是代表時刻ti的工資收入，由時刻ti-1的工資收入 wn-及投資周期[ ti-1,ti]的工資增長率n決定，即 wn= wn-(1 +n)。

2.4 模型假設(shè)

（1）時刻ti從工資總收入wn中抽取固定的百分比 投到養(yǎng)老金個人賬戶中。

2.5 目標(biāo)函數(shù)是終節(jié)點(diǎn)財富隨機(jī)變量，則?T的置信水平為1- 的風(fēng)險價值[11]為

條件風(fēng)險價值（CVaR）是指在投資組合的損失大于某個給定的風(fēng)險價值VaR的條件下，該投資組合損失的平均值。置信水平為1- 的平均風(fēng)險價值為

CVaR滿足：平移不變性、正齊次性、單調(diào)可加性、某種程度上都具有關(guān)于0的對稱性、次可加性[7]。它克服了VaR的缺陷，基于CVaR約束的優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)線性規(guī)劃問題，是研究風(fēng)險控制的有力工具。

本文在以 CVaR為基礎(chǔ)，定義條件風(fēng)險價值偏差（Conditional Value-at-Risk Deviation，CVaRD），它是終端節(jié)點(diǎn)總財富的期望與終端節(jié)點(diǎn)平均風(fēng)險價值之差，即：

將最小化CVaRD寫成線性規(guī)劃的形式，即：

2.6 模型建立

假設(shè)投保者投保期限是40年，需構(gòu)造長度為40層的情景樹，但由于算法復(fù)雜度過大，需降低該問題的維度。假設(shè)投資決定在時刻調(diào)整，對應(yīng)情景樹上的第0層（初始階段）、第 1層、……、第層（終端階段）。即在時刻增加投入，額度為年工資收入wn的比例 。

則投資模型為：

（6）表示終極目標(biāo)財富大于預(yù)期目標(biāo)財富，（7）為初始階段約束和中間t階段約束，（8）為終端財富約束，（9）為CVaR約束條件。

3 模型修正

3.1 修正因素

養(yǎng)老金儲蓄是一項長期的投資，退休時的儲蓄額是投保者最關(guān)心的。由于各種原因，不僅要考慮退休時個人賬戶的財富值，還要考慮投保者個人賬戶的階段財富，上面模型只計算出終端節(jié)點(diǎn)的財富值。并且上面模型只考慮了投保期40年內(nèi)的某一階段調(diào)整，實(shí)際情形每年投保者都會向個人賬戶注資，隨著工資收入的變化，投入到養(yǎng)老金個人賬戶中的金額也會隨之調(diào)整，不可能是固定比例 ，還需要刻畫出調(diào)整時刻確定的依據(jù)。根據(jù)以上3個因素調(diào)整模型。

令lk表示時期的長度，實(shí)際情形下代表lk年，則意味著養(yǎng)老基金儲蓄額在時期會增值lk次，并且lk次中的每一次都按照總額k-1分配給 3種投資方式，且每次分配比例是固定不變的，直到這一期結(jié)束時刻tk；調(diào)整時刻 0,t1,t2,...,tT～ 是年收入變化的拐點(diǎn)，假設(shè)在時期內(nèi)年工資收入增長率為）表示長度為lξ(n)這一時期內(nèi)每年工資增長幅度；k-1的取值由年收入決定。見下圖2。

圖2 改進(jìn)后的投資分配方式

節(jié)點(diǎn)n的后代{n+}上的財富隨機(jī)變量為：

多期平均風(fēng)險價值偏差定義為財富隨機(jī)變量

3.2 算法

將目標(biāo)函數(shù)（11）化成線性規(guī)劃形式，在條件（12）～（16）下計算 3種投資類型下的多期最小化風(fēng)險價值偏差。條件（16）使目標(biāo)函數(shù)變成非線性規(guī)劃，用迭代算法求解。迭代算法如下：

步驟 4：重復(fù)步驟 2，3，直到達(dá)到預(yù)先定義的準(zhǔn)確度。

停時標(biāo)準(zhǔn) ε=|c'x -c|是兩個連續(xù)迭代的目標(biāo)函數(shù)值之差， 是新迭代的結(jié)果，x是前面迭代的結(jié)果。規(guī)定 ≤0.001時停止迭代，此時得最優(yōu)解。用MATLAB軟件編程，MATLAB內(nèi)置的線性規(guī)劃函數(shù)linprog計算線性最優(yōu)化問題。

4 實(shí)證分析

假設(shè)投保者的工資收入隨年齡增長，增長幅度與投入到養(yǎng)老金個人賬戶中的比例，以及時期的長度見下表1。

表1 1～40年工資增長

取滬市股票10種，計算其在2010 —2015年股票價格的回報1μ和標(biāo)準(zhǔn)差1σ，分別為1μ＝0.103 6，1σ＝0.170 5；取中國政府債券價格在2010 —2015年的數(shù)據(jù)，計算回報和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2μ＝0.047 6，2σ＝0.007 9；由歷史數(shù)據(jù)得出股票價格和債券價格的相關(guān)系數(shù)為-0.114 7。將其代入（20）、（21）。再應(yīng)用三點(diǎn)離散化分割二維布朗運(yùn)動，得到股票回報的3個情景和債券回報的3個情景，把它們組合在一起，得到每個非終端節(jié)點(diǎn)有9個后代，此時 r(s)(t )、r(b)(t )記作離散化的量r、。

取 cξ(n)=1， ＝0.05，目標(biāo)財富價值分別為= 4.5、4.75、5，在不同財富目標(biāo)下，時刻對應(yīng)情景樹上的條件風(fēng)險價值偏差 CVaRD與E( )通過（11）～（16）計算，結(jié)果見表2。

表2 條件風(fēng)險價值偏差CVaRD與財富期望 E()

表2 條件風(fēng)險價值偏差CVaRD與財富期望 E()

CVaRD與 (? )n Ey時刻t T～ μ＝4.5 μ＝4.75 μ＝5.0 t T～=10.157 6（32.24）0.180 3（30.80） 0.361 3（31.17）t T～=20.209 8（34.67）0.383 4（30.20） 0.344 0（31.50）t T～=30.585 3（38.35）0.582 3（37.53） 0.667 1（35.43）t T～=40.646 6（39.25）0.710 7（40.35） 0.630 2（39.50）t T～=50.976 3（41.18）0.986 7（41.75） 0.960 8（40.86）

在同一目標(biāo)財富下，隨著投保時間增加，預(yù)期養(yǎng)老金儲蓄額 E( )也增加，這符合直觀想法，即投保時間越長，收益越多。且每一期 E)均大于財富目標(biāo) ，滿足模型中的條件（12），說明了模型的合理性及求解的正確性。

表3 投到養(yǎng)老金的工資收入比例 的分配方式

投保者每年從個人收入中取比例 投到養(yǎng)老金個人賬戶中，按照何種分配方式分給F1、F2和F3可參考表3。表3詳細(xì)給出了時期＝5投資分配方式，可以發(fā)現(xiàn)，隨著投保者年齡增大，投資風(fēng)險較大的F1的比例逐漸降低，投資無風(fēng)險型F3的比例逐漸增大，說明隨著年齡增大，追逐風(fēng)險的意愿下降。

5 結(jié)論

本文把投保者的投保終極儲蓄額的期望與條件投資風(fēng)險價值損失之差記作條件風(fēng)險價值偏差，建立條件風(fēng)險價值偏差最小化模型，此模型不僅可以計算投保者在退休時的個人養(yǎng)老金賬戶儲蓄額，還可以計算投保期間的賬戶儲蓄額。觀察模型結(jié)果，發(fā)現(xiàn)條件風(fēng)險價值偏差隨投保者年齡增大而增大，并且利用模型可計算投資分配方式。故此模型具有很大的實(shí)用價值。

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責(zé)任編輯：宗淑萍

Optimal Pension Fund Management Study under the Multi-Period CVaRD

ZHANG Zhen-rong1, MA Li-na2,3, DAI Zheng-ming1
（1. College of Basic Science, Tianjin Agricultural University, Tianjin 300384, China; 2. China Actuarial Research Institute, The Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China; 3. College of Finance, Capital University of Finance and Economics, Beijing 100081, China）

s: The optimal strategy of the individual pension investment in China is constructed by constructing multi-period conditional value-at-risk deviation（CVaRD）model. Based on the basic old-age insurance fund investment management regulations, assume that individual account allows investment three types, aiming at optimizing CVaR. The scenario tree is established. The levels on scenario tree are decided by the change times of pension fund investment. Optimization the difference between the pension savings expectations and the average risk value of pension savings investment is transformed into a nonlinear programming. Using the iterative algorithm, each minimum of the conditional value-at-risk deviation, each issue of pension savings expectations and pension investment choice distribution are soluted. The results show that the minimum value of conditional value-at-risk deviation increases with the increasing of the age of the insured; pension savings expectations are greater than expected wealth; with the increasing of the insured age, the proportion of the investment larger risk F1gradually reduces, investment no risk F3 ratio gradually declines, which indicate that with the increasing of age, chasing a willingness to risk decreases.

multi-period condition value-at-risk deviation; optimal pension fund management; scenario tree; the non-linear program

F832.48

：A

2016-12-06

國家自然科學(xué)基金青年項目“基于Markov模型的反向抵押貸款及其連結(jié)長期護(hù)理保險產(chǎn)品的定價研究”（71401124）；全國統(tǒng)計科學(xué)研究重點(diǎn)項目“基于多期風(fēng)險測度的養(yǎng)老基金最優(yōu)資產(chǎn)配置策略研究”（2015LZ03）；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金計劃項目“老齡化背景下反向抵押貸款及其衍生品的定價與實(shí)證研究”（20131004）

張振榮（1978-），女，河北正定人，講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計應(yīng)用及高等數(shù)學(xué)教學(xué)。E-mail：zhangzhenrong1@126.com。

1008-5394（2017）02-0085-06