連佑平

（霞浦縣第七中學(xué)，福建霞浦355100）

特殊化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

連佑平

（霞浦縣第七中學(xué)，福建霞浦355100）

文章介紹了特殊化思想在幾類數(shù)學(xué)問題占的應(yīng)用，如在函數(shù)中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用、三角函數(shù)中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法中的應(yīng)用、解析幾何中應(yīng)用，并在例題中比較了數(shù)學(xué)特殊思想與一般解法在解題中的不同。靈活應(yīng)用這一思想，可以避開復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題進(jìn)程，降低解題難度。

特殊化思想；應(yīng)用；思維和能力

解決疑難，煩瑣問題要么思維上有難度，要么運(yùn)算上過(guò)于浪費(fèi)時(shí)間，若利用問題的特殊值或特殊位置的理解，則可有效提高解題的效率，大大節(jié)約解題時(shí)間。

特殊化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中很重要的一種思想方法?？衫斫鉃閺暮?jiǎn)單、特殊事物的考察中發(fā)展發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律［1］。高考出題者常會(huì)從原有的理性思維到感性思維，從具體到抽象，從多計(jì)算到多動(dòng)腦過(guò)程上進(jìn)行命題。這就需要解題者會(huì)用特殊化思想解決可行的部分題型，做到快速，簡(jiǎn)捷的答題，達(dá)到省時(shí)、省力、有方法、有高度。下面略舉數(shù)例加以說(shuō)明。

一、借助特殊值或特殊位置解題

【解析】應(yīng)用極限位置的思想，當(dāng)x→+∞時(shí)e-x→ 0，式子則為在x軸上方趨于0，再根據(jù)圖象的偶函數(shù)性，確定選項(xiàng)為D.

【評(píng)點(diǎn)】分析可知恰當(dāng)?shù)睦媒忸}方法，即可以節(jié)約解題時(shí)間，降低解題難度，提高解題效率。

【分析】函數(shù)單調(diào)性的討論可能的方法有：?jiǎn)握{(diào)性的定義；畫圖觀察圖形的增減情況；導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)等三種方法。本題充分利用圖形特點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，f（x）= ax2+1（x≥0）與y=（a2-1）eax（x＜0）的函數(shù)值比較，關(guān)鍵點(diǎn)為x=0，利用這一分點(diǎn)左右兩邊函數(shù)的單調(diào)性分別討論不同值下的a的情況，就可得到結(jié)論。

【解析】

①若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增。

②∵當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=（a2-1）eax是單調(diào)遞增函數(shù)，

∴f'（x）=a（a2-1）eax≥0，∴a∈［-1，0］∪［1，+∞）

∵x≥0時(shí)，f（x）=ax2+1是單調(diào)遞增函數(shù)

∴a＞0，∴a≥1.當(dāng)a=1時(shí)f（x）=0不具有單調(diào)性

∴a=1（舍去）∴a＞1.

又∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，

∴（a2-1）ea×0≤a×02+1

③若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減。

④∵當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=（a2-1）eax是單調(diào)遞減函數(shù)，

⑤∴f'（x）=a（a2-1）eax≤0，∴a∈（-∞，-1］∪［0，1］

⑥∵x≥0時(shí)，f（x）=ax2+1是單調(diào)遞減函數(shù)

⑦∴a＜0.∴a≤-1.當(dāng)a=-1時(shí)f（x）=0不具有單調(diào)性，∴a=-1（舍去）.∴a＜-1.

⑧又∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，

【評(píng)點(diǎn)】許多選擇題出題者會(huì)構(gòu)造出多樣靈活的解題方法，考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況，對(duì)學(xué)生解題思維和能力的要求站在較高的位置上。本題為避免大量的運(yùn)算，用到特殊值的方法，過(guò)程通俗易懂。

【例3】某商家推廣一套對(duì)地板磚銷售和裝修一條龍服務(wù)方案：現(xiàn)對(duì)三個(gè)房間的地板鋪地板磚，且每個(gè)房間只用一種地磚．已知三個(gè)房間的地面面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種地磚費(fèi)用（單位：元/m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c．哪種方案商家總費(fèi)用（單位：元）最低（）

A.ax+by+cz B．a(chǎn)z+by+cx

C．a(chǎn)y+bz+cx D．a(chǎn)y+bx+cz

【解析】（特殊值法）取x=1，y=2，z=3，a=1，b=2，c= 3，ay+bz+cx=14，az+by+cx=10，ay+bz+cx=11，ay+bx+ cz=13.由此可知最低的總費(fèi)用是az+by+cx。

【評(píng)點(diǎn)】把一般解題思路寫出來(lái)，比較兩種方法優(yōu)劣，數(shù)學(xué)需要的是一種開放性的思想，思考的越深刻，方法就越簡(jiǎn)單，越容易感受到出題者的意圖.

【例4】（2014·四川理·21），已知函數(shù)f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍。（節(jié)選）

【分析】根據(jù)f（1）=0，有b=e-1-a.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，即ex-ax2-bx-1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有解，則有ex-ax2-（e-1-a）x-1=0，可將式子分離出數(shù)F（x）=ax-1和曲線H（x）=，研究交點(diǎn)情況即可.

【解析】根據(jù)f（1）=0，有b=e-1-a，所以f（x）=exax2-（e-1-a）x-1=ex-ex+x-1-a（x2-x）.令f（x）=0，即得ax-1=在（0，1）上有解的a的的范圍.于是可視為直線F（x）=ax-1和曲線H（x）=的圖象有交點(diǎn)問題.因?yàn)榱頖（x）=xex-2ex+e，則G'（x）=（x-1）ex＜0，G（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以G（x）＞G'（x）=0，即G（x）＞0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有H'（x）＞0，因此H（x）=在（0，1）上單調(diào)遞增.設(shè)H（x）在（0，-1）處的切線m，km=H'（0）=e-2直線F（x）=ax-1恒過(guò)定點(diǎn)（0，-1），在同一坐標(biāo)系中由極限思想可知兩圖象有公共點(diǎn),直線必須介于l和m之間，所以e-2＜a＜1.

【評(píng)點(diǎn)】本題如果想直接利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到結(jié)果，會(huì)產(chǎn)生知識(shí)體系清析，但計(jì)算不清的過(guò)程。本題應(yīng)用特殊位置，應(yīng)用了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合等思想。降低了計(jì)算量，也會(huì)培養(yǎng)由靜到動(dòng)的思維轉(zhuǎn)變［2］。

【例5】（2016益陽(yáng)模擬）如圖，在ΔOMN中，A、B分別是OM，ON的中點(diǎn)，若（x，y∈R），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則的x取值范圍是（）

【解析】利用極端值（特殊值、特殊位置）尋找解題思路。

因?yàn)锳、B分別是OM，ON的中點(diǎn).

二、借助特殊圖形解題

高中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想，圖形形象具體，從特殊圖形中可迅速洞悉解題方向。

【例6】（2016·北京理·6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）。

【分析】本題考查空間幾何體的三視圖、三棱錐體積的求解，意在考查考生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力。

【解析】由三視圖可得該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD，將其放在長(zhǎng)方體中如圖所示，其中BD=CD=1，CD⊥BD，三棱錐的高為1，所以三棱錐的體積為故選A。

【評(píng)點(diǎn)】求解此類題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確地還原直觀圖，有些幾何體是規(guī)則的，如正棱錐、直棱柱、棱臺(tái)、圓錐、圓柱。圓臺(tái)等，可以直接還原其直觀圖，而有些幾何體是不規(guī)則的或是不熟悉的，若能把其直觀圖放置到正方體或長(zhǎng)方體中去研究，則能快速解題。

【例7】（2015·全國(guó)課標(biāo)卷（I）·16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

【分析】把所求知識(shí)與已掌握知識(shí)融匯，繪出滿足題意的一個(gè)特殊三角形，借助圖象的直觀性，快速準(zhǔn)確解決此類問題。

【解析】如圖所示，延長(zhǎng)CD，BA交于E，當(dāng)A與D平移到與E點(diǎn)重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得即平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，所以AB的取值范圍為

【評(píng)點(diǎn)】本題也可以選擇三角函數(shù)與解方程的思想進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量大，轉(zhuǎn)化過(guò)程比較復(fù)雜。若未理清邊的內(nèi)在聯(lián)系，只停留四邊形的結(jié)構(gòu)圖中，就會(huì)造成無(wú)從下手。本題將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化成大家熟悉常用的三角形，思路簡(jiǎn)明，體現(xiàn)數(shù)學(xué)形態(tài)美，解活了本題。

三、利用特殊值探路，指明證明思路

部分題目在題量中出現(xiàn)較多的未知量或主干知識(shí)較亂，造成審題和解題困難，如果解題按常規(guī)的思路就無(wú)法突破，若能直接探明可能出現(xiàn)的結(jié)果，便出現(xiàn)“柳暗花明又一村”理想境界。

【評(píng)點(diǎn)】在未確定相應(yīng)a，b的值時(shí)，本題的切入證明過(guò)程實(shí)屬不易，似乎無(wú)從下手。應(yīng)用相應(yīng)特殊思想起到簡(jiǎn)化解題思路，也為合理應(yīng)用解題方法指明方向.

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一，四象限），且ΔOAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說(shuō)明理由。［3］

【分析】第（2）問中假設(shè)特殊情況下的直線，即直線與軸垂直時(shí)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)得出的相應(yīng)雙曲線也是一般情況下的雙曲線。

【解析】

由此可見，特殊化思想的應(yīng)用在近幾年高中解題體現(xiàn)的較多。一方面可以解決一類正常思維解題耗時(shí)較多的題目，通過(guò)運(yùn)用特殊事例達(dá)快速準(zhǔn)確的解題，另一方面根據(jù)特殊事例的分析達(dá)到對(duì)問題的一般化認(rèn)識(shí)，提供解決問題的突破口與答案，當(dāng)然要具備這一思想并非在解題中毫無(wú)根據(jù)的嘗試，而是平常不斷的訓(xùn)練才可達(dá)到的能力，教師也應(yīng)在平常教學(xué)中多加以滲透和專門的訓(xùn)練。

［1］孫安成，陳偉康.一道數(shù)學(xué)題解法中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法［J］.浙江教學(xué)研究，2016（4）.

［2］余莉，江維.2012年福建省高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析（八）基于應(yīng)用的試題評(píng)價(jià)［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（4）.

［3］顧志忠.舉一反三，觸類旁通［J］.學(xué)園，2016（4）.

G633.6

A

1673-9884（2017）05-0050-04

2017-03-30

連佑平，男，福建霞浦縣第七中學(xué)一級(jí)教師。