林旭 游明霞

（福安第一中學(xué)，福建福安355000）

二元變量導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究與感悟

林旭 游明霞

（福安第一中學(xué)，福建福安355000）

求解二元變量范圍的導(dǎo)數(shù)壓軸題是高考常見的一類題目,文章通過探究尋源，抓住問題本質(zhì)，歸納總結(jié)出處理此類問題的一般策略。

導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)壓軸題；二元變量；構(gòu)造函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

高考數(shù)學(xué)對學(xué)生的能力考察越來越受重視，尤其是導(dǎo)數(shù)壓軸題更是承擔(dān)著甄別學(xué)生的思維潛質(zhì)、邏輯推理、運算求解、抽象概括等能力和心理素質(zhì)的重要任務(wù)，具有一定的難度和區(qū)分度。學(xué)生在解導(dǎo)數(shù)壓軸題時，往往思維碰壁，百思不得其解，所以我們在解題教學(xué)時更應(yīng)關(guān)注如何教會學(xué)生思考，怎樣讓解題思路更拓寬一些，解完題怎么反過來思考問題，把問題一般化，做好題型歸類和方法總結(jié)。下面結(jié)合2017年寧德市質(zhì)檢文科的一道壓軸題的探究歷程一起探討解決問題的常用方法。

一、真題呈現(xiàn)，問題歸類

（I）略。

（II）若g（x）=f（x）+（ax-1）有兩個零點x1，x2，且x1＜x2，求證：x1+x2＞1。

例2（2016年高考全國卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2。

例3：（2013高考數(shù)學(xué)湖南卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）=

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＜0。

例4：（2010高考數(shù)學(xué)天津卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=xex。

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）已知函數(shù)y= g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f（x）＞g（x）；（3）證明：如果f（x1）=f（x2）（x1≠x2），證明x1+x2＞2。

上面4道例題最后一步都可以歸結(jié)為下述問題：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值點x0，有f（x1）=f（x2）（x1≠x2），x1，x2∈（a，b），證：x1+x2＞2x0（＜2x0）。

二、解法探究，方法總結(jié)

解法1（上述例1）：（巧妙換元，減元化簡）

y=g（x）的圖像如圖：

可得：0＜x1＜＜x2，構(gòu)造函數(shù)g（1-x）=ln（1-x）+即構(gòu)造y=g（x）關(guān)于x=的對稱函數(shù)可得圖像：

方法總結(jié)：上式問題可以構(gòu)造對稱函數(shù)，解題步驟如下：（1）求出函數(shù)f（x）的極值點x0；（2）構(gòu)造對稱函數(shù)g（x）=f（x）-f（2x0-x）；（3）確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性；（4）結(jié)合g（x0）=0，從而判斷f（2x0-x）與f（x2）的大小關(guān)系。此法適用于以上4道題，因此構(gòu)造對稱函數(shù)是此類問題的通法。

解法3：（巧用面積，數(shù)形結(jié)合）

按照這種思想，考慮函數(shù)y=ex，亦可得到類似的

例4便可依結(jié)論②解決，更加快捷。

三、探究感悟

三種解題方法展現(xiàn)了對問題深入本質(zhì)的透析過程。在問題求解中，不管是難題還是靈活題的的解題關(guān)鍵是立足基本、靈活變換。在問題的處理中要善于變換思維角度，能從多角度認識一個問題，這樣就拓寬了解題思路，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。解完題要反過來思考問題，把問題一般化，做好題型歸類和方法總結(jié)，這樣學(xué)生在見到類似的問題時就不感到陌生，能更快的找到問題的突破口，有利于緩解考試的心理壓力，才能正常發(fā)揮解題水平。

［1］王建鵬.一道函數(shù)試題的析題展示［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.

［2］關(guān)錦壽，蘇銀華.例說波利亞“怎樣解題”表的解題策略與實踐［J］.云南民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001（4）.

［3］張元利，黨武軍.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點建議［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2011（2）.

G633.6

A

1673-9884（2017）05-0047-03

2017-03-05

福建省教育科學(xué)規(guī)劃課題（FJJK15-548）

林旭，男，福安第一中學(xué)一級教師。