鄭棋棋，湯奇榮?，張凌楷，黎 杰，謝宗武，劉 宏

（1.哈爾濱工業(yè)大學機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，哈爾濱150080；2.同濟大學機械與能源工程學院機器人技術與多體系統(tǒng)實驗室，上海201804）

空間機械臂建模及分析方法綜述

鄭棋棋2，湯奇榮2?，張凌楷2，黎 杰2，謝宗武1?，劉 宏1

（1.哈爾濱工業(yè)大學機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，哈爾濱150080；2.同濟大學機械與能源工程學院機器人技術與多體系統(tǒng)實驗室，上海201804）

綜述了國內(nèi)外空間機械臂的研究現(xiàn)狀，分析了空間機械臂運動學及動力學建模和分析方法，比較了主流的空間機械臂及其多體系統(tǒng)（含多剛體，多柔體及剛柔耦合）范疇的方法，指出了它們各自的優(yōu)缺點，得出了浮動坐標系下Lagrange法結合有限元方法更加適合考慮柔性的空間機械臂的動力學建模及分析的結論。

空間機械臂；運動學；動力學建模；分析方法

1 引言

隨著對空間技術的不斷探索，每年發(fā)射的航天器數(shù)量不斷增加，空間機器人在太空活動中發(fā)揮著越來越重要的作用［1］。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，在過去幾十年，每年有大約100顆衛(wèi)星發(fā)射成功，大多數(shù)都正常工作，但仍有一小部分出現(xiàn)故障甚至不同程度的受損［2］。為了延長衛(wèi)星壽命，實現(xiàn)故障衛(wèi)星在軌維修，許多國家一直在努力研發(fā)空間機器人及其在軌服務技術。特別是日本、美國、歐洲、俄羅斯和加拿大，而加拿大更將空間機器人列為國家戰(zhàn)略［3］。我國空間技術也不斷發(fā)展，空間機械臂是我國載人航天三期工程的重大關鍵技術之一，也是空間站四個關鍵技術攻關項目，空間站上將配置大小兩個機械臂用于輔助對接、補給、出艙和科學實驗［4］。

空間機器人主要由空間基座和一個固結在基座上的N自由度的空間機械臂組成?？臻g機械臂是由臂桿、關節(jié)、末端操作器等部件通過機械連接而成的鏈式系統(tǒng)，一般具有質輕、臂長和負載大等特點。由于空間機械臂與基座之間的動力學耦合，空間機械臂的動力學建模比固定基座的機械臂復雜得多；同時為了獲得良好的控制精度和性能，必須在動力學建模時考慮臂桿和關節(jié)柔性。柔性機械臂是一個非常復雜的動力學系統(tǒng)，其動力學方程具有非線性、強耦合、時變等特點［5］。對空間機械臂的運動學與動力學建模及分析方法的研究，是建立多剛?柔耦合的空間機械臂動力學模型的基礎。

2 系統(tǒng)研究狀況

空間機械臂是建設和維護國際空間站必不可少的工具，它也廣泛應用于支持國際空間站的實驗、艙外活動等科學任務［7］。在過去30多年中，世界多國開展了此領域的研究。

典型的有加拿大臂（Canadarm），其主要功能為投放衛(wèi)星進入恰當?shù)能壍兰熬S修失效衛(wèi)星等［3］。在此基礎上，加拿大MD Robotic公司成功研發(fā)了應用于空間站的移動服務系統(tǒng)（MSS：Mo?bile Servicing System），如圖1（a）所示，該系統(tǒng)主要由活動基體系統(tǒng)，空間站遙控機械臂系統(tǒng)（SS?RMS）以及專用靈巧機械臂（SPDM）等三部分組成［7］。其中SSRMS也稱加拿大第二臂（Canadarm2），于2001年成功安裝于國際空間站上，由七個關節(jié)和兩個機械臂桿組成。其共有七個自由度，且能操縱最大質量高達100 000 kg的有效載荷。Canadarm2的七自由度配置使得它更靈活，更加適合于復雜的操作任務。SPDM由三個主要部分組成，包括兩個七自由度的機械臂和一個基座，每個臂的長度為2.2 m。SPDM重約1100 kg，負載能力可達600 kg，定位重復性誤差為0.125 cm，主要用來執(zhí)行一些更加精細和關鍵的任務，如在軌更換元件，空間站的維修、檢測等［8］。

歐洲機械臂European Robotic Arm（ERA）由歐洲航空局設計，是國際空間站俄羅斯艙段上工作的第一個機械臂，如圖1（b）所示［9］。ERA組成包括一個七自由度機械臂，兩個艙外活動控制臺人機接口，一個艙內(nèi)活動控制臺人機接口，以及一個軌道系統(tǒng)等。ERA是11.3 m長對稱結構分布的機械臂，每一個臂段都由肩和腕關節(jié)組成，集成了俯仰關節(jié)、搖擺關節(jié)和旋轉關節(jié)。ERA與Canadarm2設計一樣，在其兩端分別有一個末端執(zhí)行器，因此在工作時，采用固定其中一端作為基座，而另一端作為執(zhí)行機構來操作任務。ERA在俄羅斯艙段主要用于安裝、展開或者更換太陽能電池翼等。

日本實驗艙遙控機械臂系統(tǒng)（JEMRMS），如圖1（c）所示，是日本實驗艙的主要組成部分之一，總重量約為1000 kg，由兩個連接臂段組成（主體臂和精細臂）［10］。JEMRMS主要用作大負載的處理，如日本實驗艙的組裝和暴露設施相關實驗等［9］。

1993年，德國宇航中心研制并成功發(fā)射了小型機器人系統(tǒng)ROTEX，并在哥倫比亞航天飛機上進行了演示，執(zhí)行了抓取物體、機械裝配及插拔電插頭等多個實驗，是世界上第一個具有地面遙操作功能的空間機械臂，如圖1（d）所示［11］。

2015年世界機器人大會上，中國航天科技集團展出了未來大型空間站的實驗艙機械臂如圖2所示。初步設計的七自由度冗余機械臂長10 m，肩部有3個關節(jié)，肘部有1個關節(jié)，腕部有3個關節(jié)，最大負載25 t，在軌運行10年以上，可進行地面遙操作，并且安裝有視覺系統(tǒng)，可進行視覺識別與自主分析避障，可滿足我國建造、維護和使用大型空間站的要求［12］。

3 運動學與動力學建模方法

3.1 空間機械臂運動學

空間機械臂運動學主要研究機械臂的運動特性，如位置、速度、加速度以及它們的高階導數(shù)，而不考慮使操作臂產(chǎn)生運動的力和力矩。其主要研究的是機械臂的正、逆運動學，通常首先利用矩陣建立機械臂位置、姿態(tài)及運動的表示方法，然后研究不同連桿和關節(jié)構型配置機械臂的正、逆運動學，最后利用D?H參數(shù)法推導機械臂所有可能構型的正、逆運動學方程［13］。Paul用D?H參數(shù)法對鏈式機械臂建模，通過矩陣變換，得到了描述機械臂的運動方程［14］。Wu忽略了高階誤差小項，用D?H參數(shù)法推導出一個線性解析誤差模型。然而當運動學誤差較大時，該簡化模型和真實模型存在較大誤差。為此，研究人員開始研究對D?H參數(shù)法的改進，以使其適用于任何軸線布置的機械臂，包括軸線平行或接近平行的情況。Moor?ing基于Rodrigues參數(shù)描述模型在六自由度機械臂上檢驗了桿件扭轉所導致末端定位精度的改變，其運動學分析采用過固定點的單位旋轉矢量來描述特殊桿件運動［15］。Hayati在傳統(tǒng)的D?H坐標建立的步驟上增加了一個繞動軸y旋轉的附加角度用于表示相鄰關節(jié)軸線平行或接近平行時軸線方向的微小變動，然而該方法無法用于相鄰關節(jié)軸線垂直或接近垂直的情況［16］。Barker基于D?H參數(shù)法，提出了修正的D?H模型（MD?H），能夠克服D?H模型在相鄰關節(jié)軸線平行時分析的不足［17］。蔡鶴皋和張超群對機器人運動學建模進行了研究，基于修正的D?H模型（MD?H）和微分變換關系推導出了機器人實際幾何參數(shù)識別的全部公式［18］。這些運動學建模方法在一定程度上客服了傳統(tǒng)D?H方法缺陷，擴展了運動學建模的方法。

機械臂逆運動學用于求解到達某一期望位姿時各個關節(jié)的角度?？臻g機械臂一般設計為七自由度，具有冗余自由度，這對于避免碰撞和改善動力學性能非常有利，同時具有更大的靈活性，但對逆運動學的求解提出了更高的挑戰(zhàn)。對于七自由度機械臂的運動學求逆方法的研究在過去幾十年有了巨大的進步。1991年，Lee和Bejczy提出了一種選取合適關節(jié)參數(shù)獲得封閉形式逆解的方法，不過這種方法很難適用于有關節(jié)角限制的情況［19］。Dahm和Joublin使用冗余角度參數(shù)法得到了七自由度機械臂閉合形式的逆解，但目前只能用于求解腕部關節(jié)角有限制的運動學求逆［20］。Moradi和Lee在Dahm和Joublin的基礎上，開發(fā)了一種求逆方法，這種方法可以最小化肘部關節(jié)的運動，同時考慮肩關節(jié)的限制，但只考慮了一種自運動流形［21］。Shimizu和Kakuya等學者提出了一種能在關節(jié)角度限制情形下求解非偏置七自由度冗余機械臂逆運動學的計算方法，而且這種方法能夠擴展應用于其他構型的冗余機械臂，但前提是能將冗余機械臂獨立參數(shù)化表示［22］。Singh和Claassens針對肘部偏置的七自由度Bar?rettWAM機械臂，采用幾何分析的方法進行逆運動學求解［23］。禹超、金明河和劉宏則針對腕部有偏置的情形，提出了基于虛擬球關節(jié)的方法，并進行了運動學仿真驗證［24］。徐文福和張金濤等學者針對肩、肘、腕均有偏置的SSRMS型七自由度冗余空間機械臂，提出了逆運動學求解的關節(jié)角參數(shù)化及臂型角參數(shù)化兩種方法，并用仿真算例校驗了有效性［25］。近年來，隨著計算機技術的不斷發(fā)展，機械臂逆運動學數(shù)值解法結合智能算法也得到了大發(fā)展，逆運動學數(shù)值解法的優(yōu)點是它們具有通用性，但是往往依賴于迭代初值的選擇，對于任意的關節(jié)角初值不一定收斂。

3.2 空間機械臂動力學

空間機械臂動力學研究物體在三維空間中的位置、速度、加速度和力（力矩）的變化情況［26］?？臻g機械臂動力學包括多剛體動力學和多柔體動力學，其動力學研究與發(fā)展伴隨著計算多體動力學基礎理論的發(fā)展而發(fā)展?？臻g機械臂屬于鏈式無根多體系統(tǒng)范疇，由于臂桿的柔性變形以及關節(jié)的柔性在空間機械臂中不得不考慮，使得空間機械臂系統(tǒng)動力學十分復雜，需要看成一個剛柔耦合的多體系統(tǒng)。

3.2.1 多剛體動力學建模研究現(xiàn)狀

多剛體動力學的研究始于20世紀60年代，隨著傳統(tǒng)機械、車輛、航天等工程領域的發(fā)展，機械機構日趨復雜化，組成機構的各部件間都存在著一定的鉸鏈或者力約束，各部件運動相互耦合，由此多剛體動力學應運而生。多剛體動力學將系統(tǒng)中各部件做剛性假設，主要研究系統(tǒng)中各物體運動之間的相互作用以及對整個系統(tǒng)動力學特性的影響。Wittenburg在其專著中，全面細致地介紹了多剛體系統(tǒng)的運動學及動力學，奠定了以Lagrange方法為基礎的多剛體動力學基礎，之后將圖論理論引入到多體系統(tǒng)的拓撲結構描述中，討論了多剛體系統(tǒng)接觸碰撞動力學問題［27?28］。Kane提出了有別于矢量力學和分析力學的一種新的多體動力學建模方法，又稱虛功率形式的D’Alembert原理；該方法通過引入偏速度、偏角速度，以達朗貝爾原理為基礎建立動力學方程，既適用于完整系統(tǒng)也適用于非完整系統(tǒng)［29］。Schie?hlen出版了第一本統(tǒng)一的多體系統(tǒng)動力學手冊［30］。Haug提出了多剛體系統(tǒng)動力學笛卡爾坐標方法，又稱參考點坐標法，該方法能基于計算機建模和求解多體系統(tǒng)的運動學和動力學方程，避免了復雜的常規(guī)求導和計算，具有較強的實際應用價值［31］。De Jalon和Bayo提出了多剛體系統(tǒng)建模的自然坐標方法（又稱完全笛卡爾坐標法），該方法利用參考基點的笛卡爾坐標和參考基矢量的笛卡爾分量描述構件的位置和姿態(tài)，不需要角度坐標；用該方法描述多體系統(tǒng)能得到二次代數(shù)形式的約束方程和線性的雅可比矩陣，因此能大大提高計算效率［32］。之后，De Jalon對自然坐標法25年來的研究進展進行了總結，并對自然坐標法在某些應用領域的突出優(yōu)點進行了驗證［33］。Shabana針對多剛體系統(tǒng)動力學的數(shù)值求解算法展開了系統(tǒng)的研究，并著重研究用計算機輔助計算多體系統(tǒng)動力學［34］。Featherstone論述了開環(huán)、閉環(huán)多剛體系統(tǒng)的正逆動力學及接觸碰撞問題的算法［35］。Nikravesh、Roberson、Huston、Stejskal等也在多剛體系統(tǒng)動力學力學理論的研究方面做出了重要貢獻并發(fā)表專著［36?39］。國內(nèi)學者賈書惠、劉延柱、洪嘉振、芮筱亭、劉才山、吳洪濤、劉錦陽、劉又午等研究較早。劉延柱、洪嘉振等提出了旋量?矩陣方法以建立多剛體系統(tǒng)的動力學方程并對系統(tǒng)動力學的計算方法進行了較為詳細的綜述，之后又對多體系統(tǒng)動力學微分／代數(shù)混合方程組進行了研究［40?42］。于殿勇、錢玉進基于動力學仿真軟件ADAMS進行了參數(shù)設置研究，為獲得最佳仿真效果奠定了一定基礎［43］。安雪斌、潘尚峰在ADAMS中對三種多體動力學仿真的接觸碰撞模型進行了仿真計算，得出了三種模型的計算結果［44］。多剛體系統(tǒng)動力學已發(fā)展得相對成熟，并形成了以ADAMS、DADS、SIM?PACK等為代表的一大批多剛體系統(tǒng)動力學分析軟件。

3.2.2 剛柔耦合空間機械臂動力學建模

空間機械臂具有質輕、結構尺寸大、高負載自重比等特點，在運動過程中關節(jié)和臂桿的柔性效應增加，會使結構發(fā)生變形并降低任務執(zhí)行的精度。關節(jié)柔性是指機械臂傳動機構和關節(jié)轉軸的扭曲變形，通常用集中參數(shù)模型描述。臂桿柔性則指機械臂臂桿的彈性變形、剪切變形等，通常需要用偏微分方程所代表的分布參數(shù)模型加以描述。此外，還要考慮柔性關節(jié)和柔性臂桿之間的耦合作用［45］。為了實現(xiàn)柔性空間機械臂高精度的有效控制必須考慮系統(tǒng)動力學特性。柔性機械臂是一個非常復雜的動力學系統(tǒng)，其動力學方程具有非線性、強耦合、時變等特點［6］。建立一個精確的剛柔耦合動力學模型對空間機械臂的控制具有十分重要的意義。空間機械臂動力學建模首先要建立運動學和動力學描述體系，根據(jù)參考坐標系選取的不同，可以分為三類：浮動坐標系方法、隨轉坐標系方法和慣性坐標系方法［46］。而柔性體變形的描述，是剛柔耦合機械臂系統(tǒng)建模與控制的基礎，同時基于不同的動力學原理可以建立不同形式的動力學方程。

1）基于不同參考系的建模方法

（1）浮動坐標系方法

浮動坐標系方法是將多剛體動力學與結構力學結合的一種方法。假設空間機械臂系統(tǒng)的簡化模型如圖3所示，由基座（B1）、臂桿（B2，B3）與末端執(zhí)行器（B4）組成，其中B2和B3為柔性細桿，基座（B1）與末端執(zhí)行器（B4）可看成剛性體。浮動坐標方法首先建立在不動參考物上的慣性坐標系C0x0y0以及固結在剛柔耦合多體上的浮動坐標系Cixiyi，隨后將柔性體的運動分解為浮動坐標系的剛體運動與相對于浮動坐標系的彈性變形的疊加。具體地，首先將浮動坐標系固化，再將彈性變形應用模態(tài)分析法或有限元方法等離散，再仿照多剛體動力學的處理過程建立離散系統(tǒng)動力學方程［47］。圖3中，柔性臂桿B2上任意一點P的位置矢量可以表示為式（1）：

其中R2為坐標系C2到慣性系C0的位置矢量，A2為坐標系C2到慣性系C0的旋轉矩陣，由歐拉角和歐拉參數(shù)等參數(shù)構成，uo2和us2分別表示臂桿B2上點P變形前的位置和變形量。浮動坐標方法可以充分利用模態(tài)技術，對于小變形和低速的大范圍運動的情況有較佳的計算效率和精度，是目前柔性多體系統(tǒng)建模使用最廣泛的方法，由于空間機械臂的低速操作特性，考慮空間機械臂的柔性效應時，這種建模方法得到了較好的應用。

（2）隨轉坐標系方法

隨轉坐標系方法源于計算結構動力學，最早是由Argyris等提出作為固有模態(tài)方法的一部分發(fā)展起來的，這種方法被用于大位移，大轉角和小應變結構的動力學建模［47］。隨轉坐標系是單元局部坐標系，在結構受荷變形的過程中隨結構變形而變位，即隨轉坐標系隨彈性體內(nèi)部的每個單獨的有限元的平均剛體運動而運動。隨轉坐標系的一個軸（x軸）與單元兩端節(jié)點的連線（即弦線）相重合，如圖4所示，且單元的節(jié)點1固定在坐標系原點，節(jié)點2可以沿著弦線做直線運動，因此在隨轉坐標系中，節(jié)點1只有轉角位移，節(jié)點2可以有一個轉角位移和一個沿弦線的線位移。圖4中，（a）為單元的未變形初始構型，（b）為單元變形構型節(jié)點位移示意圖。Belyschko和Hsieh建立了隨轉坐標系下的顯式有限元法，用于歐拉?伯努利梁的動力學建模［48］。Rice和Ting改進了隨轉坐標系下的顯式有限元法，能更好的分析大位移問題［49］。Lin和Hsiao針對航天飛行器和空間機械臂需要減輕質量、降低發(fā)射成本的需求，對薄壁梁用隨轉坐標系法結合完全Lagrange方程進行了大位移幾何非線性問題的分析［50］。張宏生在獲得小位移歐拉?伯努利變截面梁單元剛度矩陣基礎上，在變形后位形上建立單元隨動坐標系，得到了變截面梁單元大位移全量平衡方程，但所得剛度陣并未計及剪切變形的影響［51］。

（3）慣性坐標系方法

慣性坐標系方法源于大變形非線性有限元和連續(xù)體力學原理，又可以分為非線性有限元法和絕對節(jié)點坐標法［47］。Simo和Quoc等在結構力學非線性有限元法的基礎上，將柔性體的大范圍運動及其變形運動統(tǒng)一采用相對慣性坐標系的節(jié)點位移來表示，發(fā)展了能處理小變形大應變?nèi)嵝泽w的非線性有限元模型，但只限于梁式構件［52］。任革學等基于絕對節(jié)點坐標方法對柔性體與柔性體，柔性體與剛性體之間的碰撞問題進行了研究，擴大了絕對節(jié)點坐標發(fā)在工程中的應用范圍［53］。田強等采用結合絕對節(jié)點坐標法與自然坐標法的絕對坐標方法研究了星載柔性機械臂在抓取漂浮目標過程中機械臂?星體?太陽翼的剛柔耦合動力學與控制問題［54］。絕對節(jié)點坐標法促使柔性多體系統(tǒng)動力學理論和有限元理論進一步整合，一直是多體系統(tǒng)動力學研究者著力研究的熱點問題之一。在絕對節(jié)點坐標方法中，有限元的位形是由慣性系下的絕對位移的坐標和斜率定義的，梁單元作為等參元處理。通過這種描述，不但可以避免坐標系轉換的麻煩，也可以得到較為簡單的慣性力表達式，質量陣為常值陣，科氏力陣為零陣，因此該方法在空間機械臂的動力學建模中有廣泛的應用。在絕對節(jié)點坐標方程中，單元節(jié)點的坐標定義在慣性參考系中，一個單元上任意一點的全局位置向量可以用式（2）所示全局函數(shù)和絕對節(jié)點坐標來描述：

這里r代表單元上任意一點的全局位置向量，rx和rz是r的分量，S代表全局形函數(shù)，e代表單元節(jié)點坐標向量（包括節(jié)點位移和斜率）［55］。

非線性有限元法的優(yōu)點是可以充分應用現(xiàn)有的非線性有限元分析軟件，但因系統(tǒng)的廣義坐標為有限元節(jié)點坐標，無法利用模態(tài)綜合技術來壓縮自由度，因此得到的動力學方程廣義坐標數(shù)目往往非常龐大，計算效率低下。絕對節(jié)點坐標法能精確地描述柔性多體系統(tǒng)動力學問題，既適用于小變形問題也適用于大變形問題，但它的定義決定了它無法區(qū)分剛體運動和彈性變形，會給某些控制問題帶來不便。由于隨轉坐標方法和慣性坐標方法下，慣性張量的平動部分是線性的常量而且考慮了運動的非線性，隨轉坐標系方法和慣性坐標系方法能夠解決大轉動和動力剛化問題，但是由于動力學方程復雜，計算效率低下。近年來，隨著計算機運算處理技術的不斷進步，這兩種方法在工程中得到了越來越多的應用。

2）描述柔性體變形的方法

空間機械臂由于臂桿柔性的影響，在進行大范圍剛性運動的同時往往伴隨著小幅的柔性振動，呈現(xiàn)明顯的剛柔耦合特性。對柔性臂桿變形的描述，是空間機械臂剛柔耦合系統(tǒng)建模和控制的基礎。因此首先要選擇一定的方式描述柔性體的變形，同時變形的描述與系統(tǒng)動力學方程的求解關系密切。

（1）有限元方法

有限元方法是一類離散化的方法，其本質是將具有無限自由度的連續(xù)體離散化為具有有限個自由度的單元集合體，這樣就能用數(shù)值方法進行求解。其特點是采用彈性元單元、剛性結點、載荷向結點移置、剛度及阻尼特性由單元表征。采用有限元法得到的動力學方程較為復雜，動態(tài)響應求解運算量也較大，同時不能進行系統(tǒng)的參數(shù)化分析。Fattah用有限元方法對雙連桿柔性機械臂進行離散，進行動力學建模與仿真［56］。Tokhi和Mohamed用有限元方法建立了單連桿柔性機械臂的動力學模型，并分別用有限元方法和有限差分法對柔性機械臂的建模的精度、計算效率進行了比較［57?58］。

（2）集中參數(shù)方法

集中參數(shù)方法主要分為有限段方法和集中質量法。有限段方法的基本思想是把一個柔性梁離散成若干個剛性段，剛性段之間通過柔性連接器（通常是線性或非線性的彈簧阻尼器）連接［59］。這種方法的優(yōu)點是將柔性構件用剛性部件來替代，能較好地計及剛柔耦合、柔柔耦合及非線性的影響，且不受小變形限制［60］。但是有限段方法與有限元方法在拓撲結構上存在著本質的區(qū)別。就整個系統(tǒng)而言，有限段方法描述的多體系統(tǒng)是時變的，而有限元分析中其結構的平衡位置不隨時間變化。就單元特征而言，有限段方法只應滿足小應變假設，即允許柔性體產(chǎn)生幾何非線性變形，而有限元法建立在小變形假設基礎之上，將變形線性化。就微分單元而言，有限段中微分梁段的長度相當于弧微分，而有限元方法是對坐標的微分［47］。有限段方法適合于含有細長柔性零件的系統(tǒng)，由于柔性機械臂的柔性主要來源于呈細長梁、桿狀的柔性臂，因此采用有限段法對其離散較為適合。Megahed和Hamza用有限段方法對柔性機械臂進行建模及仿真，并在傳統(tǒng)有限段方法的基礎上在動力學方程中加入一致質量矩陣實現(xiàn)了更精確的近似［61］。Tzou、Nissing、董龍雷及芮筱亭等基于有限段方法對柔性機械臂也進行了大量研究［62?64］。

集中質量法的主要思想是將柔性體的分布質量離散化于若干離散結點上，即將全部質量都集中到各節(jié)點上，桿系結構的離散化剛度矩陣可以直接得出，系統(tǒng)的動力學方程都能直接通過對質量的近似離散化得到［6］。集中質量法不需要剛度和質量單元函數(shù)，因此建模過程較有限元方法要簡單。集中質量法適用于部件外形復雜的柔性系統(tǒng)，在自由度相同的情況下，其模型精度低于有限元方法，但易于操作，條例清晰［65］。Konno和Uchiyama基于霍爾模型用集中質量法對柔性機械臂進行了建模，并分析比較了剛性機械臂和柔性機械臂的運動學及動力學差異［66］。Zhu等將單連桿柔性機械臂離散成彈簧?質量系統(tǒng)，將臂桿質量集中在端點，并用無質量彈簧體現(xiàn)柔性，實現(xiàn)機械臂末端軌跡控制［67］。Meckl、Seering、Gher?man、蔡國平等基于集中質量方法對機械臂也進行了廣泛研究［68?70］。

（3）假設模態(tài)方法

假設模態(tài)法將柔性桿看成一個整體，根據(jù)桿件的不同邊界約束條件求得其振型函數(shù)，以振型函數(shù)作為離散柔性體的基礎。該方法以Rayleigh?Ritz法為基礎，采用模態(tài)截斷技術，利用系統(tǒng)中各個子結構的模態(tài)，綜合出系統(tǒng)的整個模態(tài)［57］?；诓煌愋偷倪吔缂s束條件如固定－自由、簡支－簡支、自由－自由等邊界條件可以得到不同類型的模態(tài)特征函數(shù)［71］。假設模態(tài)方法建立的動力學方程規(guī)模較小，也便于計算機編程，但是由于復雜結構的模態(tài)函數(shù)較難求解，因此比較適合離散形狀規(guī)則的柔性體。Hastings和Book用假設模態(tài)方法推導出了柔性機械臂的運動方程，用模態(tài)截斷技術只保留了低階模態(tài)，忽略了高階模態(tài)［72］。Theodore和Ghosal分別用假設模態(tài)方法和有限元方法對柔性機械臂進行離散并分析比較，提出假設模態(tài)方法更適合于橫截面均勻的單連桿柔性機械臂建模，而有限元方法更適合于橫截面形狀復雜的柔性機械臂及多連桿柔性機械臂系統(tǒng)建模［73］。從這一點上來說，后者更適合于本文研究的空間機械臂。Green和Sasiadek基于假設模態(tài)方法對雙連桿柔性機械臂進行了動力學建模以及軌跡跟蹤實驗，并和剛性機械臂動力學模型進行了比較［74］。Fotouhi等基于假設模態(tài)方法結合Lagrange方程提出了一種高效的方法適用于帶柔性臂桿和柔性關節(jié)的機械臂動力學建模［75］。

3）動力學方程建立方法

空間機械臂剛柔耦合動力學數(shù)學模型是進行動力學分析的基礎，基于不同的動力學理論可以建立不同形式的動力學方程。雖然動力學方程形式不同，計算效率不同，但其所表征的系統(tǒng)特性和所得分析結果是等價的［76］。其中應用最廣泛的是以Newton?Euler法為代表的矢量力學方法和以Lagrange法為代表的分析力學方法，以及兼具矢量力學和分析力學特性的Kane方法和基于變分方法的Hamilton原理方法。

（1）Newton?Euler法

Newton?Euler法首先將系統(tǒng)中每個個體做隔離處理，之后應用牛頓第二定律和質心動量矩定理寫出物體質心的平動方程，應用歐拉原理寫出質心的轉動方程，進而得到系統(tǒng)中各個單元的動力學方程；根據(jù)系統(tǒng)中各體之間的約束關系，遞推得出整個系統(tǒng)的動力學方程。其形式直觀，物理意義明確，推導出的動力學方程更容易進行變換。對于添加新的擾動和變量，具有良好的開放性。然而由于建模過程引入了難以消除的約束反力，導致方程中未知變量和方程數(shù)目較多，使得后續(xù)的計算過程效率十分低下。矢量力學原理和旋量方法則使Newton?Euler方程的表達形式變得極其直觀簡明，其特點在將矢量和矢量矩合為一個六維矢量，利用對偶數(shù)作為工具，可以在開鏈和閉鏈結構的空間機械臂的運動學和動力學分析中得到廣泛應用。Roberson、Schwertassek等在其專著中對于Newton?Euler法的具體應用進行了詳細的介紹［37］。Rakhsha和Goldenberg基于Newton?Euler法對末端帶剛性體的單連桿柔性機械臂進行了動力學建模［77］。Gamarra?Rosado和Yuhara基于Newton?Euler法得到了雙連桿雙旋轉關節(jié)柔性機械臂的動力學方程，并進行了計算機仿真驗證［78?79］。Boyer和Coiffet基于Newton?Euler法結合D’Alembert原理對多連桿柔性機械臂進行了建模［80］。De Luca和Ferrajoli提出了一種修正的遞歸Newton?Euler法，能解決常規(guī)方法難以計算機械臂故障檢測和控制問題中動態(tài)參數(shù)的問題，并在七自由度DLR輕型機械臂上進行了驗證［81］。

（2）Lagrange法

Lagrange法從能量角度出發(fā)建立動力學方程，首先根據(jù)系統(tǒng)的自由度選取合適的廣義坐標，再用廣義坐標表示出各個體的動能和勢能，代入到Lagrange方程中，直接推導出系統(tǒng)的動力學方程。應用Lagrange法建立的系統(tǒng)動力學方程一般為一組微分－代數(shù)方程，微分方程表示廣義坐標及其導數(shù)與廣義力的關系，而代數(shù)方程表示各體間的約束關系。其優(yōu)點是從能量角度出發(fā)，避免了方程中出現(xiàn)內(nèi)力項，動力學方程簡潔，使得計算效率高，適合于計算機編程和數(shù)值計算，但建模過程對動能和勢能的推導較為復雜，且廣義坐標的選取也有一定難度。Lagrange法經(jīng)常結合假設模態(tài)方法應用于柔性機械臂的動力學建模。Martins基于Lagrange法結合假設模態(tài)方法對單連桿柔性機械臂建模進行了研究，并得到了機械臂數(shù)學模型［82］。Tomei和Tornambe通過減少廣義坐標數(shù)量對柔性臂精確描述結合Lagrange法建立了動力學模型并進行了仿真驗證［83］。Bahrami和Rahi基于Lagrange?Euler方程和泰勒級數(shù)對帶柔性關節(jié)的N臂桿機械臂進行了動力學建模并通過雙連桿機械臂進行了仿真驗證［84］。

（3）Kane方法

Kane方法是由Kane提出的有別于矢量力學和分析力學的一種新的動力學建模方法，又稱虛功率形式的D’Alembert原理［29］，基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的特點，靈活地選取廣義速率取代廣義坐標或廣義坐標的某種形式的函數(shù)以作為獨立變量，通過引入偏速度，偏角速度的概念，求出系統(tǒng)的廣義主動力和廣義慣性力，最后由D’Alembert原理導出Kane動力學方程［85］。Kane方法的特點是既可以像Lagrange法一樣避免方程中出現(xiàn)內(nèi)力項，簡化方程，避免繁瑣的微分運算，又類似于Newton?Euler法，方程物理意義明確，同時所得方程可以化為XU＝Y的標準形式，不含待定乘子，可方便地在計算機上求解，計算效率較高。Megh?dari和Fahimi基于Kane方法推導出了雙自由度柔性機械臂的動力學方程，并進行了仿真驗證［86］。贠今天等基于Kane方法推導建立了在慣性參考坐標系中剛?柔機械臂的非線性動力學模型，并利用假設模態(tài)法進行離散［87］。金國光等基于假設模態(tài)法和Kane方法建立柔性機械臂的動力學模型，并對其進行數(shù)值仿真［88］。

（4）基于Hamilton原理方法

Hamilton原理作為分析力學中的重要原理，它是以泛函駐值的變分形式給出力學系統(tǒng)動力學原理，可以解決剛柔耦合動力學中的很多問題［89］。它的實質是從能量守恒的角度出發(fā)建立剛柔耦合系統(tǒng)的動力學方程，同Lagrange法一樣，避免了動力學方程中的內(nèi)力項，適用于結構比較簡單的柔性體動力學方程［6］。Choi等應用Ham?ilton原理結合有限元方法對兩連桿柔性機械臂進行了動力學建模［90］。Singh應用Hamilton原理結合假設模態(tài)方法推導出了雙連桿機械臂的動力學方程［91］。Benati和Morro基于Hamilton原理對鏈式柔性臂桿建立了系統(tǒng)化的動力學推導過程［92］。劉才山等基于Hamilton原理建立起一般柔性體連續(xù)系統(tǒng)的動力學方法，并導出考慮剛柔耦合作用柔性梁有限維離散化的動力學模型［93］。Prati?her、Esfandiar等也基于Hamilton原理對柔性機械臂建模做了大量研究［94?95］。

4 空間機械臂運動學與動力學分析方法

機械臂運動學及動力學分析主要研究機械臂在三維空間中的正逆運動學及動力學特性。在太空微重力環(huán)境中，由于空間機械臂安裝在漂浮的基座航天器上，機械臂的任何運動都會對基座航天器產(chǎn)生反作用力和力矩，使得基座航天器的位姿發(fā)生改變，基座的浮動反過來也會影響機械臂的位置和速度，從而產(chǎn)生動力學耦合現(xiàn)象［96］。不同于地面固定機械臂末端執(zhí)行器的位姿可由各個關節(jié)角（關節(jié)空間中）以及機械臂幾何參數(shù)進行遞推描述，空間機械臂末端的位姿不僅要考慮關節(jié)角，還要考慮基座的浮動以及動力學耦合［97］?？臻g機械臂不僅具有通常的機器人運動學奇異點，同時還具有其本身特有的機器人動力學奇異［98］。動力學奇異與空間機械臂的具體運動路徑相關，是不能通過機械臂的幾何參數(shù)事先預測的［99］。因此，空間機械臂的運動學及動力學分析較地面固定機械臂復雜得多。

Longman等基于自由漂浮的空間機械臂開創(chuàng)性地提出一種運動學分析方法，該方法在運動學分析過程中計及了自由漂浮空間機械臂與基座之間的相互作用力和力矩，并結合角動量守恒原理分析計算由于基座浮動造成的關節(jié)角度變化以及由于機械臂運動造成的基座位姿擾動［100?101］。該方法證明了通過姿態(tài)控制機構可使機械臂和基座航天器的控制解耦，并發(fā)展一種同時控制機械臂和航天器姿態(tài)的運動學方法。Vafa和Dubowsky提出了虛擬機械臂（Virtual Manipulator，VM）的概念用來描述空間機械臂的幾何結構，可使運動學方程簡化，并將其應用于空間機械臂的正逆運動學分析、工作空間分析、軌跡規(guī)劃以及簡化空間機械臂的動力學方程［102?103］。虛擬機械臂是一個與真實機械臂系統(tǒng)的運動學和動力學結構相似的無質量運動學鏈，其基座固定在整個系統(tǒng)的質心，當系統(tǒng)不受外力時，這個點在慣性參考系不做運動，其第一個臂桿和基座之間的關節(jié)是被動的球形關節(jié)。但是由于虛擬機械臂模型是理想化的無質量運動學鏈，只能在計算機上進行仿真而無法進行實體制造用于實驗測試。國內(nèi)劉宏等基于VM方法，構造了自由漂浮空間機器人的等效模型，把自由漂浮空間機械臂避動力學問題轉化為避虛擬機械臂的運動學奇異問題，并對加速隱式近似線性規(guī)劃方法進行了改進，通過減少約束的方法，使得逆運動學算法求解更加高效［104］。

梁斌等提出了動力學等價機械臂（Dynami?cally EquivalentManipulator，DEM）的概念，通過對自由漂浮空間機械臂（Space Manipulator，SM）和固定基座機械臂的動力學建模，推導出DEM與空間機械臂的動力學和運動學的等價條件，并通過閉環(huán)控制的仿真研究，展示SM和DEM的動力學和運動學等價性［105－106］。Pazelli等基于DEM概念提出了一些非線性控制策略應用于自由漂浮空間機械臂自適應控制器，并通過圖形仿真和數(shù)值分析比較驗證所提出的策略［107?109］。From等基于DEM概念提出了一種計算高效且無奇異性的動力學方程，該方法創(chuàng)造性地引入準坐標對球型關節(jié)進行描述，取代了常規(guī)的歐拉角和歐拉參數(shù)［135］。

Yoshida和Umetani將線動量守恒和角動量守恒方程與系統(tǒng)特征方程結合起來，推導出了反映空間機械臂微分運動學的廣義雅可比矩陣（Generalized Jacobian Matrix，GJM）［96，111?112］。GJM可以看成傳統(tǒng)地面上固定機械臂雅可比矩陣的推廣，但兩者之間存在明顯的不同點：GJM不僅與空間機械臂連桿的幾何參數(shù)有關，而且還與空間機械臂連桿的各物理參數(shù)（如質量、慣量）及其位置姿態(tài)有關。與VM、DEM相比，GJM具有計算量小的優(yōu)點。GJM在空間機械臂運動學建模及控制方面具有十分重要的意義，不僅被成功應用于空間機械臂運動速度控制，而且被推廣到空間機械臂的分解運動加速控制和轉置雅可比控制［113］。GJM是機械臂各關節(jié)角位置量和基座姿態(tài)角的函數(shù)，隨著機械臂構型的變化，雅可比矩陣將隨之改變。由于機械臂系統(tǒng)這種狀態(tài)下動力學方程的復雜性，即使在關節(jié)空間內(nèi)動力學方程也不能表示為慣性參數(shù)的線性形式。Taira等基于轉置的GJM提出了一種空間機械臂的控制方法，并在三自由度自由漂浮空間機械臂上進行了仿真［114］。郭琦等建立了雙臂六自由度空間機械臂的運動學模型，推導出了描述機械手末端運動速度與各關節(jié)運動關系的GJM，導出的GJM求解公式為顯式且易求的解，可直接對GJM表達式中各參數(shù)賦值，求出GJM［115］。

Papadopoulos和Dubowsky提出了重心矢量法用于自由漂浮單臂空間機械臂的運動學和動力學分析，該方法將整個系統(tǒng)的質心作為系統(tǒng)的平動點，用重心矢量描述系統(tǒng)的幾何構型和質量分布，能將動力學方程中的所有線動量和角動量方程解耦，簡化方程［116］。Papadopoulos和Moosavian還將重心矢量法應用于自由飛行多臂空間機械臂的運動學和動力學分析［117?118］。之后，Moosavian和Papadopoulos分別將重心矢量法和直接路徑法用于多個空間機械臂的運動學建模及動力學方程推導，并做了分析比較，指出直接路徑法相比于重心矢量法得到的方程形式更加簡單且位置和速度分析計算量要明顯少很多［119］。因此，直接路徑法更加適合于多臂系統(tǒng)的建模分析，通過推導運動方程，能得到由系統(tǒng)質量矩陣，非線性速度矢量及廣義力組成的動力學方程。相較于遞歸的動力學方程，更容易進行動力學分析及用于控制算法優(yōu)化。

5 空間機械臂建模分析方法展望

基于空間機械臂動力學建模及分析方法的研究現(xiàn)狀，具有以下研究熱點和趨勢。

5.1 接觸碰撞動力學

空間機械臂在軌維護，抓取衛(wèi)星等都是典型的非連續(xù)動力學過程，對柔性多體系統(tǒng)非連續(xù)動力學問題進行快速準確求解，精確地預測系統(tǒng)的整體性態(tài)，一直是柔性多體系統(tǒng)動力學領域的一個重要挑戰(zhàn)。由于接觸碰撞過程的強非線性、高度耦合、數(shù)值計算困難等特性，目前對這些問題的研究遠未成熟［120］。根據(jù)不同的碰撞過程假設，處理柔性多體系統(tǒng)碰撞問題的建模方法主要分為：沖量動量法、連續(xù)接觸力法、接觸約束法，但這三種方法各有優(yōu)勢和局限。沖量方法基于碰撞過程中碰撞物體的位形不發(fā)生變化的假設基礎上，利用動量守恒定律，用沖量（或動量）描述碰撞的不連續(xù)過程。Yoo等學者用Kane方法和沖量動量法推到了柔性旋轉梁的碰撞動力學方程［121］。華衛(wèi)江和章定國運用Lagrange方程推導出廣義沖量－動量方程結合碰撞恢復系數(shù)方程推導出了兩個柔性機器人系統(tǒng)發(fā)生碰撞的動力學方程［122］。連續(xù)接觸力法以碰撞力由局部接觸變形引起為假設，以彈簧阻尼力元來描述碰撞過程，能方便地求出碰撞力大小。Khulief和Shabana提出了用線性彈簧阻尼模型近似模擬多體系統(tǒng)碰撞的方法［123］。章定國等采用Hertz接觸理論和非線性阻尼理論建立接觸－碰撞模型，導出了柔性梁含碰撞的動力學方程［124］。Schiehlen等基于非線性有限元理論，基于不同模型對碰撞問題做了大量研究［125］。段玥晨等結合沖量動量法和接觸約束法提出一種新的碰撞動力學求解方法［120］?？臻g機械臂接觸碰撞動力學是研究的熱點，如果選擇合理的數(shù)學－力學模型能夠準確判斷碰撞點以及碰撞過程發(fā)生和結束的時間，將對空間機械臂的作業(yè)全局研究帶來突破性進展。

此外，特別針對非剛性末端執(zhí)行器接觸碰撞問題的研究具有很大的工程實踐意義，尤其是對于繩索式末端執(zhí)行器捕獲動力學的研究，是保證對目標載荷成功抓捕的關鍵，這是一個難點也是一個熱點。對于繩索式末端執(zhí)行器捕獲動力學研究的難點主要有兩方面：一是對大柔性、大變形特性的繩索結構動力學建模困難；二是捕獲目標過程中復雜的接觸碰撞，瞬時的非線性接觸碰撞力難以測量和計算［126］。機械臂捕獲目標分為抓捕前接近、繩索收縮捕獲、捕獲后鎖緊與穩(wěn)定三個階段。當前，國內(nèi)外學者對于捕獲接觸碰撞階段的研究很少，Yoshikawa和Yamada結合空間機械臂關節(jié)剛度及空間機械臂與目標衛(wèi)星的碰撞動力學理論，分析了碰撞過程中空間機械臂運動狀態(tài)對碰撞力的響應情況［127］。陳力等對柔性空間機械臂捕獲衛(wèi)星碰撞動力學進行了分析研究，基于動量守恒關系，分析了接觸碰撞過程中接觸、碰撞對空間機械臂系統(tǒng)剛性運動和柔性振動狀態(tài)的影響效應［128］。潘冬等以繩索式末端執(zhí)行器為研究對象，引入繩索與目標間的非線性接觸碰撞力和摩擦力模型，獲得了末端執(zhí)行器捕獲動力學模型［126］。石為人等基于空間機械臂操作柔順接觸過程特點，通過等效彈簧阻尼方法，對空間機械臂末端接觸力進行了建模與計算［129］。針對非剛性末端執(zhí)行器接觸碰撞問題的研究仍舊是當前的研究熱點之一。

5.2 符號化建模

為了提高機械臂操作的靈活性以完成復雜環(huán)境下的操作任務，可通過增加自由度數(shù)使空間機械臂在完成主要操作時能滿足一些附加性能指標或次要操作。Vafa基于虛擬機械臂概念，通過研究六自由度和九自由度空間機械臂對基座擾動為零的條件下的軌跡規(guī)劃，指出九自由度機械臂可以任意姿態(tài)跟蹤空間某一軌跡，而六自由度機械臂在跟蹤空間某一軌跡時其姿態(tài)受其動力學特性影響［130］。增加空間機械臂的自由度數(shù)不僅可以提高靈活性，還可以影響空間機械臂的運動學和動力學特性，但是傳統(tǒng)空間機械臂建模方式，往往只針對于某特定自由度數(shù)某特定構型的空間機械臂，尤其是考慮柔性的剛柔耦合空間機械臂動力學建模，建模過程復雜，計算量大，當需要改變自由度數(shù)或改變參數(shù)進行拓撲優(yōu)化或參數(shù)優(yōu)化時，往往需要從頭開始建模分析，工作量非常大。如果采用符號化建模的方式，即在方程推導的過程中引入符號運算手段，將機械臂的自由度數(shù)、每根桿件的質量、D?H表示法所采用的四個連桿參數(shù)、桿件的慣性矩陣和質心位置矢量、關節(jié)的運動學及動力學變量及柔性體的描述等所有參數(shù)都用符號加以表示?；谶@些參數(shù)，可以推導出表示桿件位姿的齊次坐標變換矩陣、反映桿件運動與關節(jié)運動映射關系的雅可比矩陣、桿件的實時運動映射參數(shù)以及進行動力學推導所需要的其他復合物理量等，結合柔性多體系統(tǒng)動力學建模方法，可以通過計算機自動推導得到空間機械臂的完整符號化模型。對于通過改變機械臂構型（增加或減少剛性或柔性的臂段，改變密度分布）進行優(yōu)化，以及機械臂的某些參數(shù)不確定需要優(yōu)化等情形，可以直接通過符號運算進行計算機自動推導計算出優(yōu)化后的模型。對于空間機械臂優(yōu)化中的約束處理，可以在符號運算中引入約束方程，推導出空間機械臂完整的優(yōu)化模型。這對于系統(tǒng)地、批量地研發(fā)空間機械臂具有重要的意義，也是空間機械臂動力學建模的重要研究方向之一。

5.3 變特性關節(jié)、智能材料臂桿結構建模

關節(jié)作為空間機械臂系統(tǒng)的核心部件，通常含有諧波減速器以及力矩傳感器等帶有一定柔性的元件；同時由于空間機械臂的操作特性，各個關節(jié)的限制角，關節(jié)特性也有所差異，如關節(jié)阻尼，關節(jié)非線性等特性。此外，關節(jié)中齒輪副的輪齒柔性、嚙合阻尼、齒側間隙等非線性因素對關節(jié)特性也有較大影響。為了獲得更高的控制精度，執(zhí)行更加精細的任務，必須在動力學模型中計入關節(jié)柔性并考慮上述特性，因此如何建立準確的關節(jié)模型也是研究的一個熱點。基于Spong提出的線性扭簧模型［131］是目前工程中運用最廣泛的模型，但是這個模型忽略了臂桿和轉子之間的動力學影響，不適用于高速情形。Zhao等基于La?grange方法提出了完整的柔性關節(jié)模型，并通過軌跡跟蹤仿真驗證完整模型與簡化模型的區(qū)別［132］。于登云等利用集中參數(shù)法建立了綜合考慮輪齒柔性、嚙合阻尼、齒側間隙、嚙合誤差等非線性因素的細化關節(jié)動力學模型，研究了各級齒輪精度、關節(jié)轉速和負載對關節(jié)動力學特性的影響［133］。同時，針對變特性關節(jié)的研究，近年來國內(nèi)外還出現(xiàn)了對單個關節(jié)的雙／多電機策略，其中一個電機負責正常的驅動，而另一個電機負責關節(jié)特性的改變，如改變關節(jié)的柔彈性或阻尼特性。

由于空間機械臂臂桿的柔性效應，在執(zhí)行任務過程中不可避免的存在彈性振動問題，如何有效地抑制振動一直是學者們研究的熱點方向之一。而以壓電材料為代表的智能材料的出現(xiàn)一定程度上解決了柔性結構的振動控制問題。張娟等對智能柔性懸臂梁的動力學建模進行了研究，能有效反映實際應用中智能柔性懸臂梁的動力學特性［134］。壓電智能材料具有很強的力電耦合效應，將壓電材料集成于空間機械臂臂桿形成壓電智能結構具有很大的工程價值。對壓電智能結構的理論建模研究，主動抑振控制規(guī)律研究將是一個重要的研究熱點。

6 結語

空間機械臂在太空中發(fā)揮著越來越重要的用途，如對接、維護、升級、運輸、加油及清理太空碎片等，因此，各國都在不斷發(fā)展空間機械臂技術?？臻g機械臂是一個典型的多剛柔耦合多體系統(tǒng)，對其動力學建模首先需要建立合適的坐標體系如浮動坐標系、隨轉坐標系、慣性坐標系等，然后采用有限元法、集中參數(shù)法或假設模態(tài)法等方法進行柔性體變形描述，接著利用Newton?Euler法、Lagrange法或Kane方法等建立空間機械臂動力學方程，最后用VM、DEM、GJM等方法進行動力學分析。由于空間機械臂與基座之間的動力學耦合，空間機械臂本體的臂桿柔性和關節(jié)柔性以及末端操作器與目標負載的接觸碰撞等使得空間機械臂的運動學及動力學建模要比固定基座的機械臂復雜得多。由于空間機械臂的低速操作特性及柔性效應，基于浮動坐標系描述下建模具有較佳的計算效率和精度?？紤]柔性空間機械臂形狀復雜的橫截面，采用Lagrange法結合有限元方法不僅可以避免動力學方程出現(xiàn)內(nèi)力項，提高計算效率而且能對柔性體進行較好的描述。考慮空間機械臂的動力學耦合特性，采用GJM方法更加適合于空間機械臂的運動學及動力學分析。因此經(jīng)過本文的研究，在浮動坐標系下采用Lagrange方法結合有限元法更適合考慮了柔性的空間機械臂動力學建模，且GJM方法更適合于空間機械臂運動學及動力學的分析以及后續(xù)的控制研究。另外，空間機械臂的接觸碰撞動力學，符號化建模，變特性關節(jié)、智能材料臂桿結構的建模是今后的重要研究方向。

（References）

［1］ XUW，LIU Y，LIANG B，et al.Unified multi?domainmod?elling and simulation of space robot for capturing amoving tar?get［J］.Multibody System Dynamics，2010，23（3）：293?331.

［2］ AKIN D，SULLIVAN B.A survey of serviceable spacecraft failures［C］／／Proceedings of AIAA Space Conference and Exposition，Albuquerque，NM，USA，2001，136–155.

［3］ GIBBSG，SACHDEV S.Canada and the international space station program：overview and status［J］.ActaAstronautica，2002，51（1?9）：591?600.

［4］ 若然.我國將于2020年建成宇宙空間站［J］.科學24小時，2010（12）：5?5.Ruo ran.China will build the space station in 2020［J］.Sci?ence 24h，2010（12）：5?5.（in Chinese）

［5］ 王樹新，員今天，石菊榮，等.柔性機械臂建模理論與控制方法研究綜述［J］.機器人，2002，24（1）：86?92. Wang Shuxin，Yun Jintian，Shi jurong，et al.A roadmap of research on modeling and control strategy for flexiblemanipu?lators［J］.Robot，2002，24（1）：86?92.（in Chinese）

［6］ LARYSSA P，LINDSAY E，LAYI O，et al.International space station robotics：a comparative study of ERA，JEMRMS and MSS［C］／／Proceedings of the 7th ESAWorkshop on Ad?vanced Space Technologies for Robotics and Automation，Noordwijk，Netherlands，2002，1?8.

［7］ 張文輝，葉曉平，季曉明，等.國內(nèi)外空間機器人技術發(fā)展綜述［J］.飛行力學，2013，31（3）：198?202. Zhang Wenhui，Ye Xiaoping，Ji Xiaoming，et al.Develop?ment summarizing of space robot technology national and out?side［J］.Flight Dynamics，2013，31（3）：198?202.（in Chi?nese）

［8］ 張凱鋒，周暉，溫慶平，等.空間站機械臂研究［J］.空間科學學報，2010，30（6）：612?619. Zhang Kaifeng，Zhou hui，Wen Qingping，et al.Review of the development of robotic manipulator for space station［J］. Chin.J.Space Sci.，2010，30（6）：612?619.（in Chinese）

［9］ BOUMANSR，HEEMSKERK C.The European robotic arm for the international space station［J］.Robotics and Autono?mous Systems，1998，23（1）：17?27.

［10］ MATSUEDA T，KURAOKA K，GOMA K，et al.JEMRMS system design and developmentstatus［C］／／Proceedingsof the Telesystems Conference，Atlanta，GA，USA，1991，391?395.

［11］ HIRZINGER G，BRUNNER B，DIETRICH J，et al.RO?TEX?the first remotely controlled robot in space［C］／／Pro?ceedings of 1994 IEEE International Conference on Robotics and Automation，San Diego，CA，USA，1994，2604?2611.

［12］ Sina Technology［J／OL］.http：／／tech.sina.com.cn／，Ac?cessed on January 1，2017.

［13］ SAEED B.Introduction to Robotics Analysis，System，Appli?cation［M］.Upper Saddle River：Prentice Hall，2001.

［14］ PAULR P.RobotManipulators：Mathematics，Programming，and Control［M］.Cambridge，MA：MIT Press，1982.

［15］ MOORING B.The effect of joint axismisalignment on robot positioning accuracy［C］／／Proceedings of ASME International Computers in Engineering Conference and Exhibition，Chica?go，IL，USA，1983，151?155.

［16］ HAYATISA.Robot arm geometric link parameter estimation［C］／／Proceedings of the 22nd IEEE Conference on Decision and Control，San Antonio，TX，USA，1983，1477?1483.

［17］ BARKER L K.Modified Denavit?Hartenberg parameters for better location of joint axis systems in robot arms［R］.NASA Technical Paper 2585，1986.

［18］ 蔡鶴皋，張超群.機器人實際幾何參數(shù)識別與仿真［J］.中國機械工程，1998，9（10）：11?14. Cai Hegao，Zhang Chaoqun.Identification and simulation of the actual geometric parameters of robot［J］.China Mechani?cal Engineering，1998，9（10）：11?14.（in Chinese）

［19］ LEE S，BEJCZY A.Redundant arm kinematic control based on parameterization［C］／／Proceedings of the International Conference on Robotics and Automation，1991，Sacramento，CA，USA，458?465.

［20］ DAHM P，JOUBLIN F.Closed form solution for the inverse kinematics of a redundant robot arm［R］.Technical report IRINI97?08，Institut für Neuroinformatik，Ruhr?Universit?t Bochum，1997.

［21］ MORADIH，LEE S.Joint limitanalysisand elbowmovement minimization for redundant manipulators using closed form method［C］／／Proceedings of the International Conference on Intelligent Computing，Hefei，China，2005，423?432.

［22］ SHIMIZU M，KAKUYA H，YOON W?K，et al.Analytical inverse kinematic computation for7?DOF redundantmanipula?torswith joint limits and its application to redundancy resolu?tion［J］.IEEE Transactions on Robotics，2008，24（5）：1131?1142.

［23］ Singh G K，Claassens J.An analytical solution for the inverse kinematics of a redundant7DOFmanipulator with link offsets［C］／／Proceedings of IEEE／RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems（IROS），Taibei，China，2010，2976?2982.

［24］ Yu C，Jin M，Liu H.An analytical solution for inverse kine?matic of 7?DOF redundant manipulators with offset?wrist［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Mechatronics and Automation.Chengdu，China，2012，92?97.

［25］ 徐文福，張金濤，閆磊，等.偏置式冗余空間機械臂逆運動學求解的參數(shù)化方法［J］.宇航學報，2015，36（1）：33?39. Xu Wenfu，Zhang Jintao，Yan Lei，et al.Parameterized in?verse kinematics resolution method for a redundant spacema?nipulator with link offset［J］.Journal of Astronautics，2015，36（1）：33?39.（in Chinese）

［26］ CRAIG JJ.Introduction to Robotics：Mechanics and Control［M］.Upper Saddle River：Pearson Prentice Hall Upper Sad?dle River，2005.

［27］ WITTENBURG J.Dynamics of Systems of Rigid Bodies［M］. Berlin：Springer?Verlag，2013.

［28］ WITTENBURG J.Dynamics of Multibody Systems［M］.Ber?lin：Springer?Verlag，2008.

［29］ KANE T R，LEVINSON D A.Formulation of equations of motion for complex spacecraft［J］.Journal of Guidance，Con?trol，and Dynamics，1980，3（2）：99?112.

［30］ SCHIEHLEN W，EBERHARD P.Technische Dynamik：Rechnergestützte Modellierung mechanischer Systeme im Maschinen?und Fahrzeugbau（in German）［M］.Berlin：Springer?Verlag，2014.

［31］ HAUG E J.Computer Aided Kinematics and Dynamics ofMe?chanical Systems［M］.Boston：Allyn and Bacon Boston，1989.

［32］ DE JALON JG，BAYO E.Kinematic and Dynamic Simula?tion of Multibody Systems：the Real?Time Challenge［M］. Berlin：Springer?Verlag，2012.

［33］ DE JALON JG.Twenty?five years of natural coordinates［J］. Multibody System Dynamics，2007，18（1）：15?33.

［34］ SHABANA A A.Computational Dynamics［M］.New York：John Wiley＆Sons，2009.

［35］ FEATHERSTONE R.Rigid Body Dynamics Algorithms［M］. Berlin：Springer?Verlag，2014.

［36］ NIKRAVESH P E.Computer?Aided Analysis of Mechanical systems［M］.Upper Saddle River：Prentice?Hall，1988.

［37］ ROBERSON R E，SCHWERTASSEK R.Dynamics of Multi?body Systems［M］.Berlin：Springer?Verlag，2012.

［38］ HUSTON R.Multibody dynamics since 1990［J］.Applied Mechanics Reviews，1996，49（10）：35?40.

［39］ STEJSKAL V，VALA?EK M.Kinematics and Dynamics of Machinery［M］.New York：Marcel Dekker，1996.

［40］ 洪嘉振，劉延柱.離散系統(tǒng)計算動力學現(xiàn)狀［J］.力學進展，1989，19（2）：205?210. Hong Jiazhen，Liu Yanzhu.Computational dynamics of de?screte systems［J］.Advanced in Mechanics，1989，19（2）：205?210.（in Chinese）

［41］ 劉延柱.多剛體系統(tǒng)動力學的旋量?矩陣方法［J］.力學學報，1988，20（4）：335?344. Liu Yanzhu.Spinormatrix method for dynamics ofmultibody systems［J］.Acta Mechanica Sinica，1988，20（4）：335?344.（in Chinese）

［42］ 潘振寬，洪嘉振.多體系統(tǒng)動力學微分／代數(shù)方程組數(shù)值方法［J］.青島大學學報：自然科學版，1996，9（1）：83?96. Pan Zhenkuan，Hong Jiazhen.Multibody system dynamics differential／algebraic equations numericalmethod［J］.Journal of Qingdao University，1996，9（1）：83?96.（in Chinese）

［43］ 于殿勇，錢玉進.基于ADAMS動力學仿真參數(shù)設置的研究［J］.計算機仿真，2006，23（9）：103?107. Yu Dianyong，Qian Yujin.Parameter?Settings for the Dynam?ic Simulation Based on ADAMS［J］.Computer Simulation，2006，23（9）：103?107.（in Chinese）

［44］ 安雪斌，潘尚峰.多體系統(tǒng)動力學仿真中的接觸碰撞模型分析［J］.計算機仿真，2008，25（10）：98?101. An Xuebin，Pan Shangfeng.Analysis of contact model in multi?body system dynamic simulation［J］.Computer Simula?tion，2008，25（10）：98?101.（in Chinese）

［45］ 劉明治，劉春霞.柔性機械臂動力學建模和控制研究［J］.力學進展，2001，31（1）：1?8. Liu Mingzhi，Liu Chunxia.Research of Modeling and Control of Flexible Manipulator［J］.Advanced in Mechanics，2001，31（1）：1?8.（in Chinese）

［46］ WASFY TM，NOOR A K.Computational strategies for flexi?ble multibody systems［J］.Applied Mechanics Reviews，2003，56（6）：553?613.

［47］ SHABANA A A.Flexiblemultibody dynamics：review of past and recent developments［J］.Multibody System Dynamics，1997，1（2）：189?222.

［48］ BELYTSCHKO T，HSIEH B.Non‐linear transient finite element analysis with convectedcoordinates［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1973，7（3）：255?271.

［49］ RICE D，TING E.Large displacement transient analysis of flexible structures［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1993，36（9）：1541?1562.

［50］ CHEN H H，LINW Y，HSIAOKM.Co?rotational finite ele?ment formulation for thin?walled beamswith generic open sec?tion［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engi?neering，2006，195（19）：2334?2370.

［51］ 張宏生.桿系結構幾何非線性動靜態(tài)分析方法及其在塔機中的應用［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2009. Zhang Hongsheng.Geometric Nonlinear Static and Dynamic Analysis Method of Beam Structures and its Application in Tower Crane［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，2009.（in Chinese）

［52］ SIMO J C，VU?QUOC L.A three?dimensional finite?strain rod model.Part II：Computational aspects［J］.Computer methods in applied mechanics and engineering，1986，58（1）：79?116.

［53］ 虞磊，趙治華，任啟鴻，等.基于絕對節(jié)點坐標的柔性體碰撞仿真［J］.清華大學學報（自然科學版），2010（7）：1135?1140. Yulei，Zhao Zhihua，Ren Qihua，etal.Impact simulations of flexible bodies based on absolute nodal coordinates［J］.Jour? nal of Tsinghua University（Science and Technology），2010（7）：1135?1140.（in Chinese）

［54］ 田強，劉鋮，劉麗坤，等.柔性抓取機械臂?太陽翼耦合動力學與控制研究［J］.系統(tǒng)仿真學報，2013，25（7）：1609?1616. Tian Qiang，Liu Cheng，Liu Likun，et al.Study on couping dynamics and control of flexible capturing robot and solar pan?el［J］.Journal of System Simulation，2013，25（7）：1609?1616.（in Chinese）

［55］ ESCALONA J，HUSSIEN H，SHABANA A.Application of the absolute nodal coordinate formulation tomultibody system dynamics［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，214（5）：833?850.

［56］ FATAH A，ANGELESJ，MISRA A.Dynamics of two cooper?ating flexible?link manipulators?Planar case［J］.Transactions?Canadian Society for Mechanical Engineering，1997，21（1）：1?17.

［57］ TOKHIM，MOHAMED Z，AZAD A.Finite difference and finite element approaches to dynamic modelling of a flexible manipulator［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part I：Journal of Systems and Control Engineer?ing，1997，211（2）：145?156.

［58］ TOKHIM，MOHAMED Z，AMIN S，et al.Dynamic charac?terisation of a flexiblemanipulator system：theory and experi?ments［C］／／Proceedings of TENCON，Kuala Lumpur，Malay?sia，2000，167?172.

［59］ SCHIEHLEN W，RAUH J.Modeling of flexible multibeam systems by rigid?elastic superelements［J］.Revista Brasiliera de Ciencias Mecanicas，1986，8（2）：151?163.

［60］ 楊雷，曲廣吉.有限段法用于衛(wèi)星太陽翼展開過程動力學仿真的應用研究［C］／／全國結構動力學學術研討會學術論文集，?？冢袊?，2005，46?52. Yang Lei，Qu Guangji.Application Research of finite segment method for dynamic simulation of satellite solar wing deploy?ment［C］／／Proceedings of the National Conference on struc?tural dynamics，Haikou，China，2005，46?52.（in Chinese）

［61］ MEGAHED S M，HAMZA K.Modeling and simulation of planar flexible link manipulators with rigid tip connections to revolute joints［J］.Robotica，2004，22（03）：285?300.

［62］ TZOU H.Distributed modal identification and vibration con?trol of continua：theory and applications［J］.Journal of Dy?namic Systems，Measurement，and Control，1991，113（3）：494?499.

［63］ NISSING D.A vibration damped flexible robot：identification and parameter optimization［C］／／Proceedings of the American Control Conference，Chicago，IL，USA，2000，1715?1719.

［64］ 何斌，芮筱亭，于海龍，等.幾何非線性機械臂有限段傳遞矩陣法［J］.火力與指揮控制，2007，32（4）：14?17. He Bin，Rui Xiaoting，Yu Hailong，et al.Finite segment transfermatrixmethod for nonlinear mechanics arm［J］.Fire Control and Command Control，2007，32（4）：14?17.（in Chinese）

［65］ 楊敏，劉克平.柔性機械臂動力學建模與控制方法研究進展［J］.長春工業(yè)大學學報：自然科學版，2001，32（1）：7?13. Yang Min，Liu Keping.The research advances in modeling and control method for flexible manipulator［J］.Journal of Changchun University of Technology（Natural Science Edi?tion），2001，32（1）：7?13.（in Chinese）

［66］ KONNO A，UCHIYAMA M.Modeling of a flexiblemanipula?tor dynamics based upon Holzer’smodel［C］／／Proceedings of the IEEE／RSJ International Conference on Intelligent Robotsand Systems，Osaka，Japan，1996，223?229.

［67］ ZHUG，GE SS，LEE TH.Simulation studiesof tip tracking control of a single?link flexible robot based on a lumpedmodel［J］.Robotica，1999，17（1）：71?78.

［68］ MECKL P，SEERINGW.Active damping in a three?axis ro?botic manipulator［J］.Journal of Vibration，Acoustics，Stress，and Reliability in Design，1985，107（1）：38?46.

［69］ GHERMAN B，PISLA D，VAIDA C，et al.Development of inverse dynamic model for a surgical hybrid parallel robotwith equivalent lumped masses［J］.Robotics and Computer?Inte?grated Manufacturing，2012，28（3）：402?415.

［70］ 杜欣，蔡國平.帶有末端集中質量的雙連桿柔性機械臂主動控制［J］.應用力學學報，2009，（4）：672?678. Du Xin，Cai Guopin.Active control of dual?link flexiblema?nipulator with terminalmass［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2009，（4）：672?678.（in Chinese）

［71］ BOOKW J.Recursive Lagrangian dynamics of flexiblemanip?ulator arms［J］.The International Journal of Robotics Re?search，1984，3（3）：87?101.

［72］ HASTINGSG，BOOK W.Verification of a linear dynamic model for flexible robotic manipulators［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation，San Francisco，CA，USA，1986，1024?1029.

［73］ THEODORE R J，GHOSAL A.Comparison of the assumed modes and finite elementmodels for flexiblemultilink manipu?lators［J］.The International Journal of Robotics Research，1995，14（2）：91?111.

［74］ GREEN A，SASIADEK J Z.Robot manipulator control for rigid and assumed mode flexible dynamicsmodels［C］／／Pro?ceedings of AIAA Guidance，Navigation，and Control Confer?ence and Exhibit，Austin，TX，USA，2003，1?11.

［75］ VAKILM，F(xiàn)OTOUHIR，NIKIFORUK P.A new method for dynamic modeling of flexible?link flexible?joint manipulators［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2012，134（1）：192?197.

［76］ SILVERW M.On the equivalence of Lagrangian and Newton?Euler dynamics formanipulators［J］.The International Jour?nal of Robotics Research，1982，1（2）：60?70.

［77］RAKHSHA F，GOLDENBERG A.Dynamics modelling of a single?link flexible robot［C］／／Proceedings of the IEEE Inter?national Conference on Robotics and Automation，St.Louis，MO，USA，1985，984?989.

［78］GAMARRA?ROSADO V，YUHARA E.Dynamicmodeling and simulation of a flexible robotic manipulator［J］.Robotica，1999，17（05）：523?528.

［79］GAMARRA?ROSADO V O.A planar flexible robotic manipu?lator［J］.Kybernetes，2000，29（5／6）：787?797.

［80］BOYER F，COIFFET P.Symbolic modeling of a flexible ma?nipulator via assembling of itsgeneralized Newton Eulermodel［J］.Mechanism and Machine Theory，1996，31（1）：45?56.

［81］DE LUCA A，F(xiàn)ERRAJOLIL.Amodified newton?eulermethod for dynamic computations in robot fault detection and control［C］／／Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation，Kobe，Japan，2009，3359?3364.

［82］MARTINS J，BOTTOM A，DA COSTA JS.Modeling of flexi?ble beams for roboticmanipulators［J］.Multibody System Dy?namics，2002，7（1）：79?100.

［83］TOMEI P，TORNAMBE A.Approximate modeling of robots having elastic links［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1988，18（5）：831?840.

［84］BAHRAMIM，RAHIA.Tip dynamic response of elastic joint manipulators subjected to a stochastic base excitation［J］. JSME International Journal，2003，46（4）：1502?1508.

［85］蘇曙.Kane方法及其特點［J］.機械設計，1993，8（4）：4?6. Shu Shu.Kane Method and Its Characteristics［J］.Journal of Machine Design，1993，8（4）：4?6.（in Chinese）

［86］MEGHDARIA，F(xiàn)AHIMI F.On the first?order decoupling of dynamical equations ofmotion for elasticmultibody systems as applied to a two?link flexiblemanipulator［J］.Multibody Sys?tem Dynamics，2001，5（1）：1?20.

［87］贠今天，王樹新，郭福新，等.計及環(huán)境特征的剛?柔機械臂動力學建模方法與理論研究［J］.機器人，2004，26（5）：448?453. Yun Jintian，Wang Shuxin，Guo Fuxin，et al.Study on the dynamicsmodelingmethod and theory of rigid?flexible arm in consideration of environmental characteristics［J］.Robot，2004，26（5）：448?453.（in Chinese）

［88］孫占庚，金國光，常志，等.基于Kane法的柔性機械臂系統(tǒng)動力學建模及其模態(tài)截取研究［J］.天津工業(yè)大學學報，2009，28（4）：61?63. Sun zhangeng，Jin Guoguang，Chang Zhi，et al.Research of dynamic modeling of flexible manipulator system based on Kane’s method and its mode interception［J］.Journal of Tianjin Polytechnic University，2009，28（4）：61?63.（in Chinese）

［89］陳濱.Hamilton原理四種表達形式的異同［J］.力學與實踐，1994，16（1）：64?68. Chen Bin.Hamiltion Similarities and Differences of Four Ex?pressions of Hamilton Principle［J］.Mechanics and Practice，1994，16（1）：64?68.（in Chinese）

［90］CHOIS，THOMPSON B，GANDHIM.Modeling and control of a single?link flexiblemanipulator featuring a graphite?epoxy composite arm［C］／／Proceedings of IEEE International Con?ference on Robotics and Automation，Cincinnati，OH，USA，1990，1450?1455.

［91］SINGH T?R.Dynamics and control of flexible arm robots［D］. Canada：Waterloo University，1991.

［92］BENATIM，MORRO A.Formulation ofequationsofmotion for a chain of flexible links using Hamilton’s principle［J］.Jour?nal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1994，116（1）：81?88.

［93］劉才山，閻紹澤.基于Hamilton原理的柔性多體系統(tǒng)動力學建模方法［J］.導彈與航天運載技術，1999（5）：32?36. Liu Caishan，Chen Bin.The Modelling Method of Flexible Multibody Dynamics Based on Hamilton Principle［J］.Mis?siles and Space Vehicles，1999（5）：32?36.（in Chinese）

［94］PRATIHER B，DWIVEDY SK.Non?linear dynamics of a flex?ible single link Cartesian manipulator［J］.International Jour?nal of Non?Linear Mechanics，2007，42（9）：1062?1073.

［95］ESFANDIAR H，KORAYEM M H.Accurate nonlinearmodel?ing for flexiblemanipulators usingmixed finite element formu?lation in order to obtain maximum allowable load［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2015，29（9）：3971?3982.

［96］UMETANIY，YOSHIDA K.Resolved motion rate control of space manipulators with generalized Jacobian matrix［J］. IEEE Transactions on Robotics and Automation，1989，5（3）：303?314.

［97］FLORES?ABAD A，MA O，PHAM K，etal.A review of space robotics technologies for on?orbit servicing［J］.Progress in Aerospace Sciences，2014，68（8）：1?26.

［98］PAPADOPOULOSE，DUBOWSKY S.Coordinated manipula?tor／spacecraftmotion control for space robotic systems［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation，Sacramento，CA，USA，1991，1696?1701.

［99］XIF，F(xiàn)ENTON R G.On the inverse kinematics of spacema?nipulators for avoiding dynamic singularities［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1997，119（2）：340?346.

［100］LONGMAN R，LINDBERG R，ZEDD M.Satellite?mounted robotmanipulators?new kinematics and reaction moment com?pensation［J］.International Journal of Robotics Research，1987，6（3）：87?103.

［101］LINDBERG R E，LONGMAN R W，ZEDD M F.Kinematic and dynamic properties of an elbow manipulatormounted on a satellite［J］.The Journal of the Astronautical Sciences，Spe?cial Issue on Robotics in Space，1990，38（4）：397?421.

［102］VAFA Z，DUBOWSKY S.The kinematics and dynamics of space manipulators：the virtual manipulator approach［J］. The International Journal of Robotics Research，1990，9（4）：3?21.

［103］VAFA Z，DUBOWSKY S.On the dynamics of spacemanipu?lators using the virtualmanipulator，with applications to path planning［J］.Journal of the Astronautical Sciences，1990，38（4）：45?76.

［104］夏進軍，金明河，劉宏.一種用VM建模方法的空間機器人逆運動學算法［J］.華中科技大學學報：自然科學版，2009，37（4）：5?8. Xia Jinjun，Jin Minghe，Liu Hong.Inverse kinematics algo?rithm for space robots using the virtualmanipulator approach［J］.Journal of Huahzhong University of Science and Tech?nology（Natural Science Edition），2009，37（4）：5?8.（in Chinese）

［105］LIANG B，XU Y，BERGERMAN M.Mapping a space ma?nipulator to a dynamically equivalentmanipulator［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1998，120（1）：1?7.

［106］梁斌，劉良棟，李庚田.空間機器人的動力學等價機械臂［J］.自動化學報，1998，24（6）：761?767. Liang Bin，Liu Liangdong，LiGengtian.DEM of Space Robot［J］.Acta Automatica Sinica，1998，24（6）：761?767.（in Chinese）

［107］PAZELLIT，SIQUEIRA A A，TERRA M H.Adaptive Ro?bust Controller Designs Applied to Free?Floating Space Manip?ulators in Task Space［M］.Rijeka：INTECH Open Access Publisher，2010.

［108］PAZELLIT，TERRA M H，SIQUEIRA A A.Neural network robust controllers applied to free?floating spacemanipulators in task space［C］／／Proceedings of the American Control Confer?ence，Baltimore，MD，USA，2010，3648?3653.

［109］PAZELLI T，TERRA M H，SIQUEIRA A A.Experimental investigation on adaptive robust controller designs applied to a free?floating spacemanipulator［J］.Control Engineering Prac?tice，2011，19（4）：395?408.

［110］FROM P J，PETTERSEN K Y，GRAVDAHL JT.A Singu?larity?free formulation of the dynamically equivalentmanipula?tormapping for spacemanipulators［C］／／Proceedingsof AIAA SPACE Conference and Exposition，Long Beach，CA，USA，2011，1?10.

［111］UMETANIY，YOSHIDA K.Continuous path control of space manipulatorsmounted on OMV［J］.ActaAstronautica，1987，15（12）：981?986.

［112］YOSHIDA K，KURAZUME R，UMETANIY.Dual arm coor?dination in space free?flying robot［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation，Sacra?mento，CA，USA，1991，2516?2521.

［113］李華忠，洪炳熔，楊維萍，等.基于廣義雅可比矩陣的空間機器人運動學建模與仿真研究［J］.中南工業(yè)大學學報，1998，29：237?239. Li Huazhong，Hong Bingrong，Yang Weiping，et al.Kine?matic modelling and simulation of space robots based on GJM［J］.Journal of Central South University，1998，29：237?239.（in Chinese）

［114］TAIRA Y，SAGARA S，KATOH R.Digital adaptive control of space robotmanipulators using transpose of generalized Ja?cobian matrix［C］／／Proceedings of IEEE／RSJ International Conference on Intelligent Robotsand Systems，Takamatsu，Ja?pan，2000，1553?1558.

［115］郭琦，洪炳镕，吳葳.雙臂六自由度空間機器人廣義雅可比矩陣的推導［J］.電子學報，2005，33（2）：322?326. Guo Qi，Hong Bingruong，Wu Wei.The Deduction of gener?alized jacobian matrix for the dual?arm six degree of freedom space robt［J］.Acta Electronica Sinica，2005，33（2）：322?326.（in Chinese）

［116］PAPADOPOULOSE，DUBOWSKY S.On the nature of con?trol algorithms for free?floating spacemanipulators［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，1991，7（6）：750?758.

［117］PAPADOPOULOS E，MOOSAVIAN S A A.Dynamics and control ofmulti?arm space robots during chase and capture op?erations［C］／／Proceedings of the IEEE／RSJ／GI International Conference on Intelligent Robots and Systems，Munich，Ger?many，1994，1554?1561.

［118］PAPADOPOULOS E，MOOSAVIAN S A A.Dynamics and control of space free?flyers with multiple manipulators［J］. Advanced robotics，1994，9（6）：603?624.

［119］MOOSAVIAN SA A，PAPADOPOULOSE.On the kinemat?ics ofmultiplemanipulator space free?flyers and their compu?tation［J］.Journal of Robotic Systems，1998，15（4）：207?216.

［120］段玥晨，章定國，洪嘉振.作大范圍運動柔性梁的一種碰撞動力學求解方法［J］.機械工程學報，2012，48（19）：95?102. Duan Yuechen，Zhang Dingguo，Hong Jiazhen.Method for solving the impact problem ofa flexible beam with large overall motion［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48（19）：95?102.（in Chinese）

［121］LIM H S，KWON SH，YOOH H.Impactanalysis of a rota?ting beam due to particlemass collision［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308（3）：794?804.

［122］華衛(wèi)江，章定國.柔性機器人系統(tǒng)碰撞動力學建模［J］.機械工程學報，2007，43（12）：222?228. HuaWeijiang，Zhang Dingguo.Contact dynamicmodelling of flexible robot system［J］.Chinese Journal of Mechanical En?gineering，2007，43（12）：222?228.（in Chinese）

［123］KHULIEF Y，SHABANA A.A continuous forcemodel for the impact analysis of flexiblemultibody systems［J］.Mechanism and Machine Theory，1987，22（3）：213?224.

［124］方建士，李寶玉，章定國.大范圍運動柔性梁的連續(xù)力法撞擊動力學分析［J］.南京理工大學學報（自然科學版），2008，32（6）：661?665. Fang Jianshi，Li Baoyu，Zhang Dingguo.Continuous force approach for impact dynamics of flexible beam in large overall motion［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology（Natural Science），2008，32（6）：661?665.（in Chinese）

［125］SCHIEHLENW，SEIFRIED R，EBERHARD P.Elastoplast?ic phenomena in multibody impact dynamics［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2006，195（50）：6874?6890.

［126］潘冬，魏承，田浩，等.空間大型末端執(zhí)行器捕獲動力學與實驗研究［J］.宇航學報，2014，35（10）：1120?1126. Pan Dong，Wei Cheng，Tian Hao，et al.Capturing dynamics and experiment of the space large end effector［J］.Journal of Astronautics，2014，35（10）：1120?1126.（in Chinese）

［127］Yoshikawa S，Yamada K.Impact estimation of a space robot at capturing a target［C］／／Proceedings of the IEEE／RSJ／GI International Conference on Intelligent Robots and Systems，Munich，Germany，1994，3（1）：1570?1577.

［128］董楸煌，陳力.柔性空間機械臂捕獲衛(wèi)星碰撞動力學分析、鎮(zhèn)定運動神經(jīng)網(wǎng)絡控制及抑振［J］.機械工程學報，2014，50（9）：34?42. Dong Qiuhuang，Chen Li.The Impact dynamics analysis of flexible spacemanipulator capturing a satellite and neural net?work calming motion control and vibration suppression［J］. Journal of Mechanical Engineering，2014，50（9）：34?42.（in Chinese）

［129］趙瑩，石為人.一種空間機械臂末端接觸力建模與算法研究［J］.儀器儀表學報，2014（8）：1780?1788. Zhao Ying，Shi Weiren.A kind of modeling and algorithm based on the contact force of spacemanipulator end［J］.Chi? nese Journal of Scientific Instrument，2014（8）：1780?1788.（in Chinese）

［130］VAFA Z.Spacemanipulatormotionswith no satellite attitude disturbances［C］／／Proceedings of IEEE International Confer?ence on Robotics and Automation，1990，Cincinnati，OH，USA，1770?1775.

［131］Spong M W.Modeling and control of elastic joint robots［J］. Journal of Dynamic Systems Measurement＆Control，1987，109（4）：310?319.

［132］Zhao Y，Wang C，Yu X，etal.Complete Dynamic Modelling of Flexible Joint Robots［C］／／Proceedings of ASME 2015 Dy?namic Systems and Control Conference on American Society of Mechanical Engineers，Ohio City，USA，2015，V001T18A003?V001T18A003.

［133］潘博，于登云，孫京.大型空間機械臂關節(jié)動力學建模與分析研究［J］.宇航學報，2010，31（11）：1?10. Pan Bo，Yu Dengyun，Sun Jing.Research on dynamicmodel?ing and analysis of joint in large spacemanipulator［J］.Jour?nal of Astronautics，2010，31（11）：1?10.（in Chinese）.

［134］張娟，舒亞鋒，劉自強，等.智能柔性懸臂梁的動力學建模研究［J］.應用力學學報，2015（1）：132?138. Zhang Juan，Shu Yafeng，Liu Ziqiang，et al.Research on dynamic modeling of intelligent flexible cantilever beam［J］. Chinese Journal of Applied Mechanics，2015（1）：132?138.（in Chinese）

Review of M odelling and Analysis M ethods of Space M anipulators

ZHENG Qiqi2，TANGQirong2?，ZHANG Lingkai2，LIJie2，XIE Zongwu1?，LIU Hong1
（1.State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China；2.Laboratory of Robotics and Multibody System，Tongji University，Shanghai201804，China）

The current development of the space manipulators both at home and abroad was re?viewed.Then the kinematics of spacemanipulators，aswell as the dynamicsmodelling and analysis methods of spacemanipulatorswere introduced.Themainstream approaches for the spacemanipula?tor and its multibody system including the multi?rigid?body，flexible multi?body and rigid?flexible coupling system were analyzed and their advantages and disadvantages were summarized.It is con?cluded that the Lagrange approach combined with the finite elementmethod under the floating coor?dinate system is more suitable for the dynamic modelling and analysis of space manipulators with flexibility.

spacemanipulator；kinematics；dynamicmodeling；analysismethods

TP242.3

A

1674?5825（2017）01?0082?16

2016?08?23；

2017?01?03

國家自然科學基金（61603277）；機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室開放研究項目資助（SKLRS?2015?ZD?03）；中央高校基本科研業(yè)務費項目（2014KJ032；20153683）；“青年千人計劃”項目（1000231901）；“上海市浦江人才計劃”項目（15PJ1408400）；“上海市科技創(chuàng)新行動計劃”基礎重大項目（15JC1403300）

鄭棋棋，男，碩士研究生，研究方向為機器人技術。E?mail：qiqi.zheng＠outlook.com

?通訊作者：湯奇榮，男，博士，教授，研究方向為機器人技術。E?mail：qirong.tang＠outlook.com謝宗武，男，博士，副教授，研究方向為機器人驅動與控制、空間機器人。E?mial：xiezongwu＠hit.edu.cn