吳卓

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，總會(huì)有無(wú)數(shù)的“錯(cuò)誤”正在發(fā)生或者將要發(fā)生。課堂學(xué)習(xí)時(shí)，教師要對(duì)“錯(cuò)誤”給予判斷，僅僅停留于甄別的“看見(jiàn)”還遠(yuǎn)遠(yuǎn)算不上看見(jiàn)，所謂真正的看見(jiàn)，不僅要看見(jiàn)錯(cuò)誤的“結(jié)果”，更要看見(jiàn)錯(cuò)誤的“過(guò)程”。唯有真正的“看見(jiàn)”，才會(huì)給錯(cuò)誤帶來(lái)最為有效的轉(zhuǎn)化與賦“活”。

【關(guān)鍵詞】看見(jiàn)；錯(cuò)誤；思維的過(guò)程

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，總會(huì)有無(wú)數(shù)的“錯(cuò)誤”正在發(fā)生或者將要發(fā)生。批改作業(yè)本時(shí)，教師需要用大大的勾和醒目的叉區(qū)分“正確”的和“錯(cuò)誤”的；課堂學(xué)習(xí)時(shí)，教師也需要對(duì)“正確”的和“錯(cuò)誤”的給予判斷與評(píng)價(jià)，如果僅僅是甄別對(duì)錯(cuò)算是對(duì)于錯(cuò)誤的“看見(jiàn)”嗎？ 筆者認(rèn)為，僅僅停留于甄別的“看見(jiàn)”還遠(yuǎn)遠(yuǎn)算不上看見(jiàn)，真正的看見(jiàn)，不僅要看見(jiàn)錯(cuò)誤的“結(jié)果”，更要看見(jiàn)錯(cuò)誤的“過(guò)程”。錯(cuò)誤的思維過(guò)程是什么？怎么一點(diǎn)點(diǎn)地發(fā)生了錯(cuò)誤？是什么概念的理解偏差引起了錯(cuò)誤？經(jīng)由對(duì)錯(cuò)誤思維過(guò)程的分析我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，看上去一樣的錯(cuò)誤，可能卻是不同的思維過(guò)程造成的。唯有真正的“看見(jiàn)”才會(huì)給錯(cuò)誤帶來(lái)最為有效的轉(zhuǎn)化與賦“活”。

在教學(xué)了四年級(jí)的數(shù)量關(guān)系這一內(nèi)容時(shí)，練習(xí)中出現(xiàn)了這樣一道判斷題。

“每千克蘋(píng)果8元” 這句話表示蘋(píng)果的單價(jià)。 （ ）

大部分學(xué)生能夠正確判斷，知道這句話是對(duì)的，可也有個(gè)別學(xué)生給這句話打了叉，作為教師的往往能發(fā)現(xiàn)他們做錯(cuò)了，卻不能理解他們?yōu)槭裁醋鲥e(cuò)，更不知道如何幫助他們。

講解這道練習(xí)時(shí)，我直接問(wèn)學(xué)生：“這句話對(duì)嗎？”

生1：對(duì)的。

生2坐在座位上大喊：“不對(duì)?！?/p>

“不對(duì)？”當(dāng)一個(gè)孩子堅(jiān)定而大聲地喊出不對(duì)時(shí)，教師愣住了，于是好奇地問(wèn)：“怎么不對(duì)呢？”

生2解釋說(shuō)：“單價(jià)應(yīng)該是每個(gè)蘋(píng)果是多少錢(qián)，不是每千克多少錢(qián)。”

生3： “每千克多少元也是單價(jià)啊?！?/p>

生4：“不對(duì)，蘋(píng)果哪有按個(gè)賣(mài)的，蘋(píng)果不都是按斤、按千克賣(mài)的？所以我覺(jué)得這句話是對(duì)的，如果說(shuō)每個(gè)8元才不對(duì)呢！”

生5：“不管有沒(méi)有這樣的賣(mài)法，我覺(jué)得每個(gè)8元，每千克8元都是單價(jià)?！?/p>

師：“嗯，什么是單價(jià)呢？”

生6：“就是每個(gè)多少錢(qián)，每千克多少錢(qián)，這些都是單價(jià)?！?/p>

教師在此基礎(chǔ)上繼續(xù)補(bǔ)充抽象：“說(shuō)得很好，無(wú)論是每個(gè)，還是每千克，它們都是單位的數(shù)量，單位數(shù)量的價(jià)格就是單價(jià)”

“你還能想到哪些單位數(shù)量？”

學(xué)生七嘴八舌地討論起來(lái)，比如每本，每平方米，每噸……

這時(shí)候孩子逐漸從具體的單位數(shù)量向抽象的單位數(shù)量進(jìn)行擴(kuò)展。

“能再說(shuō)單位數(shù)量的價(jià)格嗎？”

……

這個(gè)錯(cuò)誤，小到太不起眼，小到我們完全會(huì)忽視，因?yàn)槊刻旎蛟S有更多更重要、更難的知識(shí)需要我們關(guān)注，但是恰恰是通過(guò)和孩子們共同學(xué)習(xí)的過(guò)程，我有機(jī)會(huì)重新看待每一天發(fā)生在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)個(gè)不起眼的錯(cuò)誤，開(kāi)始重新審視對(duì)待錯(cuò)誤的態(tài)度和方法。

一、“錯(cuò)誤”需要被真正地“看見(jiàn)”

從上一個(gè)案例中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，教師看見(jiàn)錯(cuò)誤的“結(jié)果”，但并不知道錯(cuò)誤的“過(guò)程”，這時(shí)教師是無(wú)法有針對(duì)性地幫助學(xué)生的。由于缺乏理解，這個(gè)小小的錯(cuò)誤很容易埋沒(méi)在茫茫錯(cuò)誤中，被大家忽略掉。慶幸的是，教師在此時(shí)愿意選擇聽(tīng)一聽(tīng)學(xué)生關(guān)于這道題目的完整的思維過(guò)程，讓他們有機(jī)會(huì)將完整的思維過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)。經(jīng)歷了學(xué)生完整的辯論，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)孩子的錯(cuò)誤在于對(duì)單價(jià)這個(gè)概念的理解，他不能理解抽象的“單位數(shù)量”，他以為必須是具體數(shù)量的每個(gè)、每本……其實(shí)“單位數(shù)量”還包括比較抽象的單位數(shù)量，例如每千克、每平方米等。經(jīng)歷了學(xué)生完整的思維過(guò)程的敘述，作為教師這才算理解了學(xué)生的錯(cuò)誤，并能有針對(duì)性地就這個(gè)錯(cuò)誤展開(kāi)單位數(shù)量和單價(jià)概念的教學(xué)。

平時(shí)的教學(xué)中，教師能夠很快地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的某些“觀點(diǎn)”是錯(cuò)誤的，某個(gè)問(wèn)題的解決是錯(cuò)誤的。但是如果僅僅是甄別，最多是對(duì)于錯(cuò)誤的表層認(rèn)識(shí)而已，這不足以幫助教師去理解學(xué)生，不足以支持教師開(kāi)展有效的教學(xué)活動(dòng)。唯有由表及里地將學(xué)生錯(cuò)誤的思維過(guò)程完整地看見(jiàn)，才是有價(jià)值的“看見(jiàn)”。不論是課堂教學(xué)中，還是作業(yè)批改時(shí)，當(dāng)我們看見(jiàn)了錯(cuò)誤，必須要慢一些再慢一些，嘗試去理解學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的緣由，如果理解不了可以去找學(xué)生問(wèn)一問(wèn)，聽(tīng)一聽(tīng)學(xué)生的思維過(guò)程。課堂教學(xué)中，當(dāng)我們聽(tīng)到那些與我們不同的觀點(diǎn)和結(jié)論時(shí)，除了關(guān)注結(jié)果外，更要關(guān)注過(guò)程，不妨讓孩子說(shuō)一說(shuō)他是怎么想的。讓思維被“看見(jiàn)”，錯(cuò)誤才能真正地被“看見(jiàn)”。

當(dāng)學(xué)生被問(wèn)及希望從教師那里獲得什么時(shí)，學(xué)生總是回答希望教師能理解他們的學(xué)習(xí)。只有愿意看見(jiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的思維過(guò)程，才能更快地實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的理解。

二、正確認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤才能利于錯(cuò)誤被“看見(jiàn)”

這個(gè)案例中的學(xué)生堅(jiān)定而大聲地喊出了和同學(xué)不一樣的觀點(diǎn)，這個(gè)小小的細(xì)節(jié)也是非常值得關(guān)注的。在這里他的聲音一定是一個(gè)不同于大多數(shù)的“異類”，所以他能大聲而堅(jiān)定地喊出自己的觀點(diǎn)“不對(duì)”，這是一個(gè)需要很大勇氣的舉動(dòng)。在平時(shí)的教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生面對(duì)和大家不一樣的答案時(shí)，會(huì)選擇采取默不作聲的方式來(lái)保留自己的想法，或是順著教師和同學(xué)的意見(jiàn)。如果這個(gè)學(xué)生也這樣，教師和學(xué)生可能都會(huì)錯(cuò)過(guò)這個(gè)精彩的討論，錯(cuò)過(guò)對(duì)這個(gè)小概念的深度地認(rèn)識(shí)，相信他就算知道了正確答案，也還是不知道問(wèn)題出在哪里，也很難避免以后犯同樣的錯(cuò)誤。

如何能有機(jī)會(huì)更完整地“看見(jiàn)”錯(cuò)誤呢？根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，越往高年級(jí)的課堂上，學(xué)生越不愿意表達(dá)自己的想法，還有一些學(xué)生需要深思熟慮確認(rèn)自己的想法完全正確之后才敢表達(dá)。這份小心謹(jǐn)慎的背后所反應(yīng)的恰恰是對(duì)于暴露錯(cuò)誤的畏懼。不敢暴露自己的錯(cuò)誤常常是由于教師和同學(xué)對(duì)錯(cuò)誤的態(tài)度引發(fā)的：第一，來(lái)自教師的錯(cuò)誤的態(tài)度。一些教師在提問(wèn)前已經(jīng)有了唯一的答案，當(dāng)學(xué)生恰好答中教師的期待時(shí)，那份不自知卻又是難以抑制的興奮卻早已躍然于教師的臉上，與此相反時(shí)，各種不耐煩、不滿也會(huì)從教師舉手投足中流露出來(lái)。有時(shí)甚至只是一個(gè)不經(jīng)意的失望的眼神，學(xué)生都會(huì)敏感地捕捉到，從而喪失了真實(shí)表達(dá)的勇氣。第二，來(lái)自同伴的譏諷嘲笑。學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同伴也可能令人“極其生厭”。課堂上有的同學(xué)回答錯(cuò)誤了，同伴不由自主的各種唏噓嘲笑，這對(duì)于回答問(wèn)題的同學(xué)來(lái)說(shuō)，勢(shì)必是很深的傷害。那么在這樣的學(xué)習(xí)氛圍中，如果不能確定回答是正確的，誰(shuí)敢自討沒(méi)趣呢？

所以這個(gè)案例中，這位學(xué)生那個(gè)不起眼的舉動(dòng)與平時(shí)里師生對(duì)于“錯(cuò)誤”的共同認(rèn)識(shí)是息息相關(guān)。對(duì)于師生來(lái)說(shuō)，他們應(yīng)該能共同認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是將其已知的東西進(jìn)行概念重構(gòu)，從而獲得新理解的過(guò)程。學(xué)習(xí)中他們要能識(shí)別出錯(cuò)誤并在此基礎(chǔ)上去重構(gòu)先前的想法，這時(shí)錯(cuò)誤是一種學(xué)習(xí)過(guò)程中重要的資源，經(jīng)歷了重構(gòu)的錯(cuò)誤，其價(jià)值才能被轉(zhuǎn)化與提升。因此，錯(cuò)誤并不可怕，犯錯(cuò)也不是無(wú)能的表現(xiàn)。教師可以通過(guò)創(chuàng)造思維的挑戰(zhàn)來(lái)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)錯(cuò)誤的重構(gòu)與轉(zhuǎn)換。如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，不犯任何錯(cuò)誤，我們學(xué)習(xí)的需求可能就會(huì)降低，因?yàn)檫@時(shí)很可能缺乏足夠的挑戰(zhàn)。

當(dāng)師生能提高對(duì)于學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的包容度和接納度，能夠看見(jiàn)錯(cuò)誤的價(jià)值時(shí)，就可以將注意力放在如何利用錯(cuò)誤上，這樣學(xué)生就會(huì)更加大膽地呈現(xiàn)自己完整的思維過(guò)程，將思維的過(guò)程暴露在大家面前以供學(xué)習(xí)，而不是擔(dān)心是否會(huì)犯錯(cuò)，也不會(huì)因?yàn)殄e(cuò)誤而感到緊張、沮喪，甚至感到難堪。最好的是在犯錯(cuò)前就爭(zhēng)先提出疑惑，直接勇敢地暴露自己的思維過(guò)程。

這個(gè)案例中小小的細(xì)節(jié)折射出了這個(gè)學(xué)習(xí)的共同體對(duì)于錯(cuò)誤的共識(shí)，這份共識(shí)鼓勵(lì)了這位學(xué)生對(duì)于自己觀點(diǎn)的那份毫不猶豫的堅(jiān)持。無(wú)論對(duì)錯(cuò)，我們都可以去堅(jiān)持，通過(guò)與同伴的討論與交流展開(kāi)知識(shí)的建構(gòu)與學(xué)習(xí)，既可以發(fā)展自己獨(dú)立思考的能力，也能發(fā)展批判性的思維能力。

三、基于“看見(jiàn)”的重構(gòu)才能實(shí)現(xiàn)真正的轉(zhuǎn)化

在糾錯(cuò)的過(guò)程中，我們常常發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：學(xué)生雖然聽(tīng)懂了老師和同學(xué)的介紹，也能正確地運(yùn)用了，但是不久之后，當(dāng)再次遇到這道題目時(shí)，可能又會(huì)做回原來(lái)錯(cuò)誤的方式。這是因?yàn)橹R(shí)的學(xué)習(xí)如果不能基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有弄清舊方法的問(wèn)題并在此基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)展開(kāi)重新建構(gòu)時(shí)，新知識(shí)和舊經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系就是斷裂的。因此時(shí)間一長(zhǎng)，舊經(jīng)驗(yàn)還在那里，而新知識(shí)與舊經(jīng)驗(yàn)卻脫鉤了。

正如文中的案例，如果看不見(jiàn)學(xué)生關(guān)于這個(gè)錯(cuò)誤的完整的思維過(guò)程，教師可能就會(huì)直接告訴他：像這樣單位數(shù)量的價(jià)格就是單價(jià)，每千克8元就是單價(jià)，這句話本身學(xué)生就不能理解，在大家都覺(jué)得早已明白的地方，他可能還是不理解，處于迷糊的狀態(tài)，可是大家都會(huì)了，他又不好意思再問(wèn)了。而那些覺(jué)得懂了的同學(xué)也未必是真懂的。相反，在這個(gè)案例中，因?yàn)橛辛藢?duì)學(xué)生關(guān)于錯(cuò)誤的思維過(guò)程分析，我們清楚地知道這個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤來(lái)自對(duì)什么是單位數(shù)量這個(gè)概念的片面性的理解。于是經(jīng)由師生之間的討論，幫助這位學(xué)生基于他的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)單位數(shù)量這個(gè)概念進(jìn)行了擴(kuò)充和完善，從他先前認(rèn)識(shí)的到具體的單位數(shù)量，豐富到抽象的單位數(shù)量。這樣他就能基于已有經(jīng)驗(yàn)，將這個(gè)知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，更為清晰完整地建立單位數(shù)量、單價(jià)的概念。只有基于錯(cuò)誤的重構(gòu)，才能建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，讓錯(cuò)誤在此獲得一次重新生長(zhǎng)的機(jī)會(huì)。

當(dāng)錯(cuò)誤被“看見(jiàn)”后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤常常是非常個(gè)性化的，發(fā)現(xiàn)看上去“結(jié)果”一樣的錯(cuò)誤，卻有著完全不同的思維過(guò)程。不同的錯(cuò)因糾正和指導(dǎo)的關(guān)鍵點(diǎn)常常是不太一樣的，如果不能弄清需要幫助的地方，就很難幫助學(xué)生進(jìn)行有效的重構(gòu)。并且這個(gè)重構(gòu)的過(guò)程最好是通過(guò)師生共同完成，還需要留有“發(fā)酵”的空間，讓師生、生生之間的討論成為這個(gè)空間力的“活性劑”，讓“錯(cuò)誤”思考有機(jī)會(huì)通過(guò)教師、同學(xué)這些“活性劑”的參與而發(fā)生質(zhì)的變化，產(chǎn)生全新的更有價(jià)值的生命物質(zhì)，從而煥發(fā)生命活力。

正如學(xué)生們的這段看似不長(zhǎng)的討論，放慢了概念的理解和建構(gòu)的過(guò)程，幫助所有學(xué)生一步步地靠近概念的本質(zhì)。生4說(shuō)：“不對(duì)，蘋(píng)果哪有按個(gè)賣(mài)的，蘋(píng)果不都是按斤、按千克賣(mài)的？所以我覺(jué)得這句話是對(duì)的，如果說(shuō)每個(gè)8元才不對(duì)呢！”這句話讓我們發(fā)現(xiàn)，這位學(xué)生雖然做出了正確的答案，但是他對(duì)于單價(jià)這個(gè)概念的理解也是有偏差的。如果沒(méi)有看見(jiàn)錯(cuò)誤的“過(guò)程”，只看見(jiàn)錯(cuò)誤的“結(jié)果”，怎么可能知道這位學(xué)生對(duì)單位數(shù)量的理解也是不完善的？生5說(shuō)：“不管有沒(méi)有這樣的賣(mài)法，我覺(jué)得每個(gè)8元，每千克8元都是單價(jià)。”這時(shí)，有了一定經(jīng)驗(yàn)的積累后，教師開(kāi)始參與幫助學(xué)生進(jìn)行概念的抽象：“嗯，什么是單價(jià)呢？”學(xué)生順著教師的點(diǎn)撥繼續(xù)抽象：“就是每××多少錢(qián)，如每個(gè)多少錢(qián)，每千克多少錢(qián)，這些都是單價(jià)?！睂W(xué)生這些不斷接近抽象卻沒(méi)有完成抽象的語(yǔ)言，成了學(xué)生走向概念抽象的臺(tái)階，通過(guò)一個(gè)接一個(gè)的推進(jìn)，所有學(xué)生都更加清楚明白，什么是單價(jià)，什么是單位數(shù)量。

教師既需要認(rèn)真傾聽(tīng)，又需要恰當(dāng)?shù)馗深A(yù)與引導(dǎo)，關(guān)注同伴對(duì)話中問(wèn)題，激發(fā)了同伴之間高質(zhì)量的對(duì)話，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展，鑄就了一個(gè)非常精彩的學(xué)習(xí)過(guò)程。

盡管學(xué)生在學(xué)習(xí)中有許多共性的地方，但學(xué)習(xí)仍然是一個(gè)非常個(gè)性化的旅程，而學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷出現(xiàn)的錯(cuò)誤，就更是精彩紛呈。要想看見(jiàn)每一位學(xué)生的錯(cuò)誤，并不是那么容易，但是教師如果盡可能多地去了解這一個(gè)個(gè)性獨(dú)特的錯(cuò)誤過(guò)程，更加尊重蘊(yùn)含在“錯(cuò)誤”中的不同思維過(guò)程，就能更好轉(zhuǎn)化它，煥發(fā)它獨(dú)特的生命活力，將其賦“活”。

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生唯有清楚地感受到他們的觀點(diǎn)能被教師看見(jiàn)，并能就此與教師進(jìn)行交流，學(xué)生才能真正地參與到學(xué)習(xí)的過(guò)程中來(lái)。被這樣教育和滋養(yǎng)著的學(xué)生也一定會(huì)學(xué)著教師的方式去理解同伴和看見(jiàn)同伴的學(xué)習(xí)，才能更好地將一個(gè)個(gè)錯(cuò)誤變得精彩，讓錯(cuò)誤的價(jià)值得到最大化發(fā)揮，讓錯(cuò)誤賦予生命的活力。