摘要：《百分數的意義》同課異構活動，很好地闡釋了更高觀點下“教什么”的教材研讀方法，以及源于學生學情、教學內容本質、基于創(chuàng)生等多視角下“學什么”的教學演進，為師生多開了一扇窗，有效促進了數學理性思維的生長。

關鍵詞：百分數；教學視角；教材研讀；理性思維

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）06B-0063-05

2016年的11月，在常州市潘小福培育站開展的一次數學研討活動中，荊亞琴老師和特級教師陳美華同課異構了蘇教版《百分數的意義》，兩人執(zhí)教基點和研究視角不同，示范了兩節(jié)高質量的數學概念課，不僅多呈現(xiàn)了一種分析數據觀察世界的視角，也給老師提供了另一種研課的維度。

一、更高觀點下“教什么”的教材研讀：從節(jié)點內容走向整體綜合

德國數學教育家克萊因說：“基礎數學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及數學教育的演化經過?！苯K省常州市鄉(xiāng)村小學數學骨干教師培育站站長、常州市教育科學研究院潘小福副院長亦指出“隨著課改的不斷深入，除了繼續(xù)探尋‘怎么教得有效、高效外，更要加強‘教什么的研究，構建適合時代發(fā)展需要及符合科學數學思想內涵的小學數學課程內容體系”[1]，并且“教學一種知識，為的是多一種視角，多一種方法?！?/p>

1.百分數的關系架構視角：要有什么

史寧中教授指出：數學的本質是在認識數的同時，認識數量之間的關系（多與少），進一步抽象，是“數及數之間的關系（大與?。?。我們知道，兩個相關聯(lián)的數或數量之間的關系，小學階段主要可以分化為兩類：一是加減運算的和差關系，二是乘除運算的倍比關系。百分數便隸屬于倍比關系。而與百分數有密切關聯(lián)的分數可以作為單獨的數量而存在，也可以表達兩個數或數量之間的關系。所以，百分數的意義建構就更需要有這么一個整體的體系架構：關系建立的教與學，并從中聚焦出倍比關系，進而進一步將分數“特殊化”，生成百分數，在知識的長程體系中整體把握“百分數”的內涵本質。

可以肯定的是，每一節(jié)課的教學意義，并不僅僅體現(xiàn)在“這一節(jié)課”本身，而是以課為載體，有目的、有計劃、整體地展開系統(tǒng)的長程設計，使一節(jié)課既在課時內部擁有具體的設計考量和課時目標的層次遞進，又在課時之間體現(xiàn)課堂教學長遠目標的關聯(lián)和價值取向的探尋。[2]

2.百分數的教材演變視角：為了什么

前后兩版教材中，百分數的意義教學都是安排在六年級第一學期最后一個新知教學單元的第1課時，主要是理解百分數的意義，會正確讀、寫百分數，并能適當應用。教材編排的例題，作為教學的“例子”，也悄然發(fā)生著變革。

原實驗版教材（如圖1）編排了三位籃球隊員各自練習投籃的總次數和投中次數，用“誰投中的比率高一些”進行問題統(tǒng)領。一方面，由于三名隊員投籃次數介于20-30之間，個數差異不算大，反顧生活和古典概率中的“數據抽樣”，合理性可控。只是在教學中許多老師又人為地把數據進行調整，如10、25、50，人為擴大了數據的懸殊，使得數據抽樣不對等，背離了生活中的公平倫理，影響了數據說服力和小學生數據分析能力的培養(yǎng)。另一方面，從數據的呈現(xiàn)和問題的指向性來看，問題解決的路徑是單一的：只能比較投中次數與占投籃次數的比率，而現(xiàn)實生活卻并非如此。

于是，2013教育部審定教材作出了調整（如圖2），用同一個球隊的三場比賽中投籃次數與投中次數的數據作為參照，從三名隊員到一個球隊，所用的6個數據一個沒變，改變的問題“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況”卻可以讓學生思維蓬發(fā)。“可以”兩個字清楚地表明學生比較數據的路徑顯得多元：不再只能把投籃次數與投中次數關聯(lián)比較，還可以單獨比較投籃次數（可以看出球隊的拼搶精神與機會創(chuàng)造），或者單獨比較投中次數（相對而言投中次數越多得分也越多）。這就把百分數的意義放置到了更加具體而豐富的系統(tǒng)中去聚焦、抽象，從而觸及百分數的意義脈搏，從節(jié)點性的倍比關系教學，進入到數與數的多種關系范疇中整體綜合，豐富了師生教與學的視域。

二、多視角下“怎么學”的教學推進：從概念獲得走向思維生長

小學生認知規(guī)律告訴我們，數學概念或規(guī)律的獲得一般需要經歷具體形象階段到理性抽象階段。認知過程既需要直觀經驗形成數學表象的支撐，也需要及時概括實現(xiàn)數學化的抽象。[3]《百分數的意義》在現(xiàn)實中常常泛化成這樣的教學模式：聚焦問題情境（教材例題）→交流揭示概念→應用鞏固內化（介紹生活事例、對比辨析分數百分數和比等等）。但教學背景卻不是一成不變的，這就為“怎么學”提供了更多的路徑可能性與現(xiàn)實性。

1.源于學情，多一種概念解讀的視角

“教學是在經驗中、由于經驗和為著經驗的一種發(fā)展過程，顯然對‘兒童已有經驗的不定讀解會影響兒童經驗成長的可能?！盵4]兩節(jié)課中學生都經歷了“生活現(xiàn)象——數學解釋——生活應用”的橫向數學化過程。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：數學可以當成是一種“活動”，“數學化”是實施這個活動的方式，也是這個活動的目的?！皵祵W化”可以分為兩類，第一類是“橫向數學化”，注重把生活世界引向數學的符號世界，是從現(xiàn)實情境引向數學體系，建立聯(lián)系。第二類是“縱向數學化”，注重在數學符號的世界里，從數學體系內部實現(xiàn)抽象符號的生成、變換、重塑與應用。[5]

比如荊亞琴老師的課堂立足教材，先僅出示例題“一個球隊的三場比賽數據統(tǒng)計表”，提問“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況？”學生依據自身的生活經驗與數學思維，很容易想到“單獨比較投中次數”判斷得分多與少，或者“只比投籃次數”考量機會制造、競技精神，這兩種比較方式都是單獨比較“和差關系”中的“差”類，符合生活世界的現(xiàn)實，蘊含人文素養(yǎng)。當然思維層次更高的學生還會想到聯(lián)系“投籃次數”與“投中次數”兩者之間的關聯(lián)，即投中次數與投籃次數的倍比關系進行比較，師生共同補上一列后形成例題表格。這種比較方法正是本課百分數教學的意旨。需要強調的是，教師應表明三種比較方法都是可行的態(tài)度，都能解決“三場比賽的投籃情況”，讓學生明確在這種生活情境下，百分比只是多種比較方法中的一種，是在原有比較基礎上的延展，并不是為學新知特意“肯定比率”“否決和差”，從而較好地站在兩個數量的關系比較（和差關系與倍比關系）上形成百分數意義的整體把握。

特級教師陳美華老師的概念教學又是另一番風景。一開始讓學生說說“班級男女生人數情況”，自然地生成了兩種數量的比較關系：和差與倍比，一下子就把百分數放到了一個大框架體系之下，整體上初步感知比較方法?；趯W生課前收集了百分數迫切希望交流的意念，先“從學生中找例子”，適時板書揭示描述性概念“100%、10%、85.13……是百分數”后，“大家從外形上認識了百分數，到底怎樣的數是百分數呢”的設問，通過三個百分數例子小結出“像這樣表示（ ）是（ ）的特定的百分之幾的數，可以用百分數來表示”。教學了讀、寫法之后引導學生回顧“我們是怎樣來分析的？都是誰是誰的百分之幾？”在思維生長中建立模型?！澳隳芤蚕襁@樣來分析自己收集的百分數的含義嗎”的數學化表述，促進了百分數意義的內化，實現(xiàn)了數學與生活的有效鏈接。

課后，陳老師這樣闡述：《百分數的意義》經過了兩輪教材改變，都是用數學演繹的方式，從百分數生成的角度，從分數通分到一百分之幾，這樣一種意思生成的方式來看，它是比較科學的。從數學歸納的角度來說，用數學模型提煉“（ ）是（ ）的百分之幾”的這一種屬于合情推理。合情推理的結論可能是正確的，也可能是不正確的。這種教學方法學生會感到親切、容易接受。在備課的過程中自己也經歷了很多困惑，一邊教學一邊感悟學生的經驗水平能不能適應這樣的一種學習方法，既然能夠適應，在以后的教學中還可以繼續(xù)嘗試和深化。

縱觀兩節(jié)課的概念解讀視角與教學過程，無論是荊老師的“演繹生成”還是陳老師的“推理歸納”，都做到了較好地“既自然地順應了學生的認知規(guī)律，又將學生的思維引入了深層次的思考，將學生淺而不全的自然結構轉化為準確完整的知識結構，把學生看似隨意、表面、感性的知識轉變?yōu)樯顚?、發(fā)展、理性的數學素養(yǎng)?！盵6]

2.立于本質，多一種數據分析的視角

百分數本質上就是兩個相關聯(lián)的量之間進行比較的倍比關系，只是為了便于比較而規(guī)約成分母是100。這既是對分數分母進行的數據分析，也是對百分數的應用化解讀。

關于核心詞“數據分析觀念”，《義務教育數學課程標準（2011年版）》這樣描述：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法……”[7]比如前面案例中荊老師課堂中學生面對“可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況”就要先體會三場比賽中投籃次數與投中次數等6個數據反映出的信息，交流討論出三種比較方法，這是“通過分析作出判斷”的數學思辨，是對“對于同樣的數據可以有多種分析的方法”的較好例證。

許多時候我們總是習慣于在“統(tǒng)計與概率”范疇進行思考與研討，其實不然。個人以為，數據分析的方法可以從統(tǒng)計圖表等外在形態(tài)轉向分析數據時內在“眼光”擴張。對于百分數意義，也可以從數據分析的視角進行觀察。比如荊老師設計了“男生是女生的45%，男生是女生的 ，從中你知道些什么呢？”的開放問題，學生情緒高漲，用心分析數據“45%”，充分調動了知識儲備。于是有的學生用分數表達了誰是誰的幾分之幾，有的學生用比闡述了誰和誰的比是幾比幾，有的學生用份數描述出誰幾份、誰幾份。無論是分數、比還是份數，它們的本質內涵都是因倍比關系而“生”，所以，這里的數據分析是基于百分數的本質的。百格圖中用百分數表示涂色部分后“還能看到什么百分數？”切換了觀察視角，分析出結論“涂色部分表示的百分數+空白部分表示的百分數=100%”，學生從一個數據的“這一面”看到了“另一面”，從部分與總量的結構關聯(lián)上加深了對百分數的意義理解。

作為數據，百分數也“需要根據問題的背景選擇合適的方法”表達。比如教材中的這組習題就表明了百分數的選擇性，并且它包含于分數（見圖3）。再如陳老師課尾設計了“選填百分數”活動（見圖4），就需要學生在不同的情境中進行有效甄別，并結合所提供百分數的內容本質，尋找依據，用適當的方式方法展開估約，建立推算，用生活經驗推理出合理可信的結果，體會百分數的數據豐富與應用價值。這不僅限于課時的“節(jié)點性理解”，更是打破了教材中所呈現(xiàn)的百分數的分子都是整數的局限，也拓寬了學生的思維視野。

對于新知的認知，往往需要經歷從外部的基本認識逐步向內部的深化認知的教學過程，最終實現(xiàn)整體認知，走向綜合應用。學生在觀察、比較、分析數據的同時，培養(yǎng)著用數學的眼光觀察世界，用數學表達解釋生活，用數學的思維分析問題、綜合解決問題的能力。

3.基于創(chuàng)生，多一種意義體驗的視角

百分數的概念本身，有著深刻的內涵，也具備豐富的外延，部分量與部分量之間、部分量與總量之間有著相應的規(guī)律，體現(xiàn)數學的張力，加寬學生的認知面。作為教學的“供給側”，面對百分數的“意義存在”，如何讓學生多一種體驗的觸感呢？由學生在一定的情意中生長或創(chuàng)造出百分數，讓學生自己去對兩個數量之間的倍比關系進行了探尋、內化與表達應用，有利于加深對概念的本質理解與豐富體驗。

比如在荊老師課中學生分析6個數據得出的第三種方案“比較投中次數占投籃次數的幾分之幾”，因分母不同不便比較，學生很自然地產生通分需求，得到分數是100的分數，百分數應需而生。在課尾的時候，荊老師設計了“30秒口算”的游戲環(huán)節(jié)，明確了以10題為比較標準，學生用所學百分數說說自己或猜猜他人的得分情況，充分經歷了百分數生成的全過程，并且與同伴進行交流分享，豐富了意義體驗。尤其是課的最后，學生用百分數描繪這一節(jié)課的心情愉悅度，更是把課堂氛圍推向高潮，從情感體驗上后延。

陳老師的課堂，也在設計游戲中創(chuàng)生出分數的活動：挑戰(zhàn)記憶力。屏幕上出示10個百分數，10秒后消失，學生背記下來，校對要各自表達自己的“正確率”。因為總個數10個已然很明確，所以學生相對容易地能說出各自正確率是多少，并較好地體會到了百分數為什么又叫“百分比”，促進了數學理性思維的發(fā)展。

站在分數的立場、站在倍比關系的體系下，兩位老師的“游戲創(chuàng)生”還可以更進一步：既然已經約定了“10”為比較的標準量，是不是可以趁勢拓展至十分數、千分數、萬分數呢？畢竟，這在生活中也有應用體現(xiàn)，并與百分數一樣，具有相類似的本質特征，它們都是分數家族中的特殊一員。這樣的具有反襯意蘊的意義體驗，更能促進思維的生長與發(fā)散。

特別值得回味的是，陳老師在游戲前引導學生安安靜靜的沉思：“今天的學習有哪些新的收獲？是怎么來研究百分數的？”給學生以“結構”，引導學生從一節(jié)課向一類課進行思考。這是一種更大結構上的意義創(chuàng)生，以及更廣視角下的意義體驗。

兩節(jié)《百分數的意義》，都讓百分數概念的節(jié)點性理解，走向了過程性，或者說是系統(tǒng)關聯(lián)性的邏輯結構的把握，并多開了一扇窗，對于教材的“教什么”和課堂的“怎么學”作出了很好的詮釋與對話。教育本身就是一個對話的過程。在教材的意蘊、教師的追求、學生的創(chuàng)生等多維視角下，多一種數學眼光去觀察世界、多一種數學思維去分析現(xiàn)象、多一種數學語言去表達數學故事，學生的數學思維品質和課堂品質從原生走向完善，直至豐潤。

參考文獻：

[1][3]潘小福.小學數學教材解讀的視角舉隅[J].教育視界，2016（8）.

[2]姚建法.數學課堂教學中的“四向”——參加全國蘇教版小學數學教材第五屆優(yōu)秀課評比暨課堂教學觀摩會有感[J].小學數學教育（下半月）， 2016（1-2）.

[4]瞿衛(wèi)華.“前經驗課程”：兒童已有經驗的教學價值建構[J].江蘇教育研究，2015（7-8）.

[5]臧亞麗.姚建法.“橫向數學化”視角下的教學思辨與效度回歸——以蘇教版四上《簡單的周期》一課的教學為例[J].江蘇教育， 2016（10）.

[6]張嵐.課堂：讓學生“走起來”[J].小學數學教育（下半月），2015（7-8）.

[7]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京，北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：顏瑩