朱琳 王琪 張潤森

(北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100083)

含摩擦阻尼器非光滑振動系統(tǒng)的建模與數(shù)值仿真*

朱琳 王琪?張潤森

(北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100083)

研究了含干摩擦粘/彈性構件的兩類非光滑減振器的動力學問題.首先,建立了含摩擦粘性構件和含摩擦彈性構件的力學模型,其中摩擦模型采用Coulomb干摩擦模型,不計彈性構件和粘性構件的質(zhì)量,給出了該構件粘性力和彈性力的計算方法,通過控制摩擦阻尼器的正壓力調(diào)整混合阻尼器的粘性力的最大值和彈簧力的最大值.分別建立了含摩擦粘/彈性阻尼器的單自由度和二自由度振動系統(tǒng)的動力學方程,通過數(shù)值仿真,首先分析了動、靜摩擦系數(shù)對含摩擦粘/彈性構件單自由度振動系統(tǒng)動力學特性的影響,然后分析了含摩擦粘/彈性構件二自由度振動系統(tǒng)的動力學特性,仿真結(jié)果表明,通過控制摩擦阻尼器受到的的正壓力獲得更好的減振效果.

非光滑動力學, 摩擦阻尼器, Coulomb干摩擦, 數(shù)值仿真

引言

在航空、航天、機械、車輛、建筑等諸多領域中,減振始終是人們關注的重要問題.例如,在建筑領域,為減少地震對建筑結(jié)構帶來的損害,人們發(fā)展并運用了結(jié)構抗震技術和結(jié)構減震技術.然而,單純運用結(jié)構抗震技術,比如通過提高構件的強度來減少結(jié)構振動,會使得建造成本增加.相比之下,采用結(jié)構減震技術,由附加的結(jié)構吸收大部分外荷載帶來的能量,可以節(jié)省許多建造成本.結(jié)構減震控制技術可分為被動控制、半主動控制、主動控制、混合控制和智能控制[1].其中被動控制具有成本低和維護方便等優(yōu)點.

近十年來,Bakre等人[2]采用數(shù)值方法研究了調(diào)頻質(zhì)量阻尼系統(tǒng)(TMD)的參數(shù)優(yōu)化問題.Brizard等人[3]研究并設計了一種含摩擦的彈性減振構件以減少發(fā)動機的振動對運載火箭的影響.Minagawa等人[4]將含摩擦的粘性構件用于建筑物的減振,分析了在地震波作用下結(jié)構的動力學響應,以及該構件吸收地震波的能力.Chung等人[5]通過數(shù)值方法研究了含摩擦的半主動控制TMD系統(tǒng),通過控制摩擦力提高系統(tǒng)的減振效果.Weber等人[6]設計了一個TMD與磁流變阻尼器共同工作的結(jié)構,使得主結(jié)構的振動減少60%.Wang等人[7,8]研究了含摩擦的TMD系統(tǒng)在機械加工中的減振效果.

Brizard和Minagawa分別建立了含摩擦的彈性減振構件和含摩擦的粘性減振構件的力學模型,分析了兩種構件單獨用于結(jié)構上的減振效果,其中摩擦阻尼器的摩擦模型采用了Coulomb干摩擦模型,但假設了動、靜摩擦系數(shù)相同,且未研究兩種構件共同用于結(jié)構時的減振效果.Chung、Weber和Wang各自設計并分析了在主體結(jié)構和子結(jié)構之間放置含摩擦構件的TMD系統(tǒng)的減振效果,但未研究將含摩擦的減振構件放置在主體結(jié)構上的減振效果.

為研究TMD系統(tǒng)中含摩擦的非光滑粘/彈性減振構件共同作用在主體結(jié)構上的減振特性,本文將首先建立含摩擦(動、靜摩擦系數(shù)不相等)非光滑粘/彈性構件的力學模型；然后給出含摩擦的非光滑粘/彈性構件單自由度振動系統(tǒng)的動力學方程和含摩擦的非光滑粘/彈性構件二自由度TMD系統(tǒng)的動力學方程；最后通過算例,利用數(shù)值仿真方法分析了含摩擦的非光滑粘/彈性構件對上述系統(tǒng)減振的效果.

1 非光滑減振器動力學模型

1.1 摩擦阻尼器的摩擦模型

摩擦模型有很多種,其中Coulomb干摩擦模型是既簡單又能較好地反映摩擦特性的摩擦模型[9].本文研究的非光滑減振器采用的是Coulomb干摩擦模型.

圖1 干摩擦阻尼器的模型Fig. 1 Damper model with dry friction

(1)

(2)

1.2 含摩擦的非光滑粘/彈性構件的力學模型

摩擦阻尼器與其他構件串聯(lián)成為混合阻尼器,這在實際工程中十分普遍.含摩擦粘性構件和含摩擦彈性構件的力學模型如圖2所示,構件質(zhì)量通常忽略不計[13].

設粘性構件兩端點的坐標分別用x1和xc表示,FNC為其摩擦片的正壓力,如圖2(a)所示；彈性構件兩端點的坐標分別用x1和xk表示,FNK為其摩擦片的正壓力,如圖2(b)所示.

圖2 (a)含干摩擦粘性構件的模型；(b)含干摩擦彈性構件的模型Fig. 2 (a) Viscous damper with friction; (b) Spring damper with friction

圖2(a)所示的含干摩擦粘性構件的阻尼力與摩擦片是否滑動有關.

(3)

(4)

式中,

(5)

(6)

下一步摩擦片是否滑動可由下式判斷:

(7)

同理,圖2(b)所示的含干摩擦彈性構件的彈性力也與摩擦片是否滑動有關.

(8)

式中,

(9)

(10)

(11)

式中,

(12)

下一步摩擦片的滑動速度可用下式判斷:

(13)

下一步的xk(ti+1)可表示為:

xk(ti+1)=x1(ti)+Ffk1(ti)/k2

(14)

1.3 單自由度非光滑振動系統(tǒng)的力學模型

圖3(a)是單自由度非光滑振動系統(tǒng)的力學模型.設滑塊質(zhì)量為m1,左側(cè)與剛度系數(shù)為k1的彈簧和阻尼系數(shù)為c1的阻尼器連接,右側(cè)與含摩擦的非光滑粘/彈性構件連接,滑塊的水平坐標為x1,在外激勵F1(t)的作用下運動.

圖3 (a)單自由度非光滑振動系統(tǒng)模型；(b)m1受力示意圖Fig. 3 (a) Non-smooth vibration system with 1 DOF; (b) Force diagram of m1

(15)

式中,

F1(t)=m1Asin(ωt)

(16)

(17)

其中A,ω為常量.

1.4 二自由度非光滑振動系統(tǒng)(TMD)的力學模型

圖4(a)所示的二自由度非光滑振動系統(tǒng)是在圖3(a)所示的力學模型基礎上增加了一個線性質(zhì)量-彈簧-阻尼子系統(tǒng).兩個滑塊相對基座的水平坐標分別為x1和x2.

圖4 (a)二自由度非光滑振動系統(tǒng)的力學模型；(b) m1受力示意圖；(c) m2受力示意圖Fig. 4 (a)Non-smooth vibration system with 2 DOF; (b) Force diagram of m1; (c) Force diagram of m2

兩滑塊的受力如圖4(b)和(c)所示,其動力學方程為:

(18)

式中,

k3(x1(t)-x2(t))

(19)

由于摩擦力的存在,上述動力學方程是不連續(xù),不易用解析方法分析其動力學特性,通常采用數(shù)值方法來分析.

2 數(shù)值仿真分析

2.1 對動、靜摩擦系數(shù)的討論

Brizard和Minagawa等人在研究含摩擦粘/彈性減振器時,假設了動、靜摩擦系數(shù)相同[3-4],而在現(xiàn)實中動摩擦系數(shù)通常小于靜摩擦系數(shù).本文以圖3所示系統(tǒng)為例分析動靜摩擦系數(shù)對其幅頻特性的影響.設外激勵頻率ω范圍為：0.0～20.0rad/s,且相關參數(shù)為：

A=10m/s2,m1=5.0kg,k1=500.0N/m,c1=5.0Ns/m,k2=110.0N/m,c2=17.0Ns/m,FNK=74.53N,FNC=121.88N.

分別取μ0=μ=0.22和μ=0.22,μ0=0.3時,圖5給出了外激勵頻率在8.0～14.0rad/s范圍內(nèi)的幅頻特性曲線.

圖5 不同摩擦系數(shù)時m1的幅頻響應圖Fig. 5 Amplitude response of m1when μ0=μ and μ0>μ

從仿真結(jié)果可以看出,在μ0=μ和μ0>μ兩種情況下,幅頻特性曲線不同.最大幅值由0.2215m變?yōu)?.1909m,幅值減小16%,對應的外激勵頻率由10.6rad/s變成10.4rad/s.

2.2 單自由度非光滑振動系統(tǒng)的仿真分析

系統(tǒng)如圖3所示,設m1,k1,c1,k2,c2等參數(shù)同上,取μ=0.22, μ0=0.3.

由文中1.2和1.3中的公式可知,對于本文給出的單自由度非光滑振動系統(tǒng)的動力學方程是分段線性的,理論上可給出每段方程的解析解(積分常數(shù)由初始條件確定).由于判斷滑動摩擦片stick-slip狀態(tài)切換的表達式比較繁瑣,且每個分段給出的動力學方程解析解的初始條件均要由前一段方程解的末端運動狀態(tài)確定,由此導致動力學方程解析解的表達式不易直觀地體現(xiàn)該系統(tǒng)的振動特性.在此,本文采用數(shù)值分析方法來研究其振動特性.

下面分五種情況進行數(shù)值仿真分析：

Case1：FNK=0.0N, FNC=0.0N；

Case2：FNK=0.0N, FNC=128.23N；

Case3：FNK=180.0N, FNC=0.0N；

Case4：FNK=74.53N, FNC=121.88N；

Case5：FNK和FNC充分大,摩擦片無滑動.

圖6為五種情況下,該振動系統(tǒng)的幅頻特性,其中橫坐標為外激勵頻率,縱坐標為振幅.在Case1的條件下,含摩擦阻尼器未發(fā)揮作用,此時系統(tǒng)的阻尼比為0.05[14],最大幅值為1m,對應的外激勵頻率為10rad/s.在Case2的條件下,該系統(tǒng)的最大振幅為0.3073m,對應的外激勵頻率為9.9rad/s.在Case3的條件下,該系統(tǒng)的最大振幅為0.5685m,對應的外激勵頻率為10.7rad/s.在Case4的條件下,兩個摩擦阻尼器在外激勵頻率為10～11.8rad/s的范圍內(nèi)其摩擦片會出現(xiàn)stick-slip現(xiàn)象,如圖7所示；該系統(tǒng)的最大振幅為0.1909m,對應的外激勵頻率為10.4rad/s.在Case5的條件下,摩擦阻尼器的摩擦片未發(fā)生滑動,此時該系統(tǒng)的阻尼比為0.2,最大幅值為0.21m,對應的外激勵頻率為10.6rad/s.由此可見,可以通過控制含摩擦阻尼器摩擦片的正壓力來改變系統(tǒng)的阻尼和剛度,以實現(xiàn)對系統(tǒng)振動的控制.

圖6 情況1-5時m1的幅頻響應圖Fig. 6 Amplitude response of m1in the cases of 1-5

圖7 ω=11 rad/s時和的時間歷程圖Fig. 7 Time history of and when ω=11rad/s

2.3 二自由度非光滑振動系統(tǒng)(TMD)的仿真分析

振動系統(tǒng)如圖4所示,設m1,k1,c1,k2,c2,μ,μ0同上,m2=0.5kg,k3=40.0N/m,c3=1.9Ns/m.

下面分五種情況進行數(shù)值仿真分析：

Case6：FNK=0.0N, FNC=0.0N；

Case7：FNK=0.0N, FNC=91.58N；

Case8：FNK=129.96N, FNC=0.0N；

Case9：FNK=56.26N, FNC=91.11N；

Case10：FNK和FNC充分大,摩擦片無滑動.

圖8 情況6-10時m1的幅頻響應圖Fig. 8 Amplitude response of m1 in the cases of 6-10

圖8為主體滑塊m1的幅頻特性曲線,其中橫坐標是外激勵頻率,縱坐標為主體滑塊的振幅.在Case6的條件下,含摩擦減振器不發(fā)揮作用,振幅的兩個峰值分別為0.3437m和0.3289m,對應的外激勵頻率分別為8.4rad/s和10.3rad/s.在Case7的條件下,主體滑塊振幅的兩個峰值為0.196m和0.1672m,對應的外激勵頻率分別為7.7rad/s和10.5rad/s.在Case8的條件下,主體滑塊振幅的峰值為0.2766m,對應的外激勵頻率為11rad/s.在Case9的條件下,主體滑塊振幅的兩個峰值為0.1495m和0.1493m,對應的外激勵頻率分別為8rad/s和11.4rad/s.在Case10的條件下,摩擦阻尼器的摩擦片始終不滑動,主體滑塊振幅的兩個峰值分別為0.1544m和0.1503m,對應的外激勵頻率分別為8.1rad/s和11.1rad/s.由此可見,將非光滑阻尼器與吸振器(m2,k3,c3)綜合使用能得到更好地減振效果.關于系統(tǒng)參數(shù)對減振效果進一步分析,可通過無量綱化對系統(tǒng)進行動力學仿真,可得到更加全面細致的分析結(jié)果.

3 結(jié)論

本文研究了含摩擦的非光滑粘/彈性構件對兩種非光滑振動系統(tǒng)的減振效果.

本文給出了含Coulomb干摩擦的粘性構件和彈性構件的力學模型以及相應的算法,建立了含摩擦粘/彈性構件的單自由度振動系統(tǒng)和二自由度振動系統(tǒng)的動力學方程.

數(shù)值仿真表明,當摩擦片的動、靜摩擦系數(shù)不同時,其動力學特性是不同的;認為動、靜摩擦系數(shù)相同,既不符合事實,也不能真實地反映系統(tǒng)動力學特性.

通過數(shù)值仿真,分析了含摩擦粘/彈性構件對振動系統(tǒng)幅頻特性的影響,改變摩擦片的正壓力可以改變系統(tǒng)的剛度和阻尼,從而提高減振效果；單自由度振動系統(tǒng)的幅值降到0.1909m,與原系統(tǒng)(無摩擦粘彈性構件的振動系統(tǒng))相比最大振幅降低了80.91%；二自由度振動系統(tǒng)的幅值降到0.1495m,與原系統(tǒng)相比最大振幅降低了85.05%.因此,可利用含摩擦的非光滑粘/彈性構件,通過控制摩擦片的正壓力提高系統(tǒng)的減振效果.

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2 Bakre S V, Jangid R S. Optimum parameters of tuned mass damper for damped main system.StructuralControl&HealthMonitoring, 2007,14(3):448～470

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11372018)

? Corresponding author E-mail: bhwangq@sina.com

25 September 2016,revised 2 November 2016.

MODELLING AND SIMULATION OF THE NON-SMOOTH VIBRATION SYSTEMS WITH FRICTION DAMPERS*

Zhu Lin Wang Qi?Zhang Runsen

(SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China)

The dynamic behavior of vibration systems with hybrid dampers is investigated in this paper. Two types of hybrid dampers are introduced, where one is viscous damper with friction and the other is spring damper with friction. The Coulomb′s law of dry friction is used to describe frictional forces in these hybrid dampers and hybrid damper mass is ignored. The numerical methods for computing damp forces of these two hybrid dampers are given. The amplitudes of viscous forces and spring forces at hybrid dampers can be changed by controlling normal forces at hybrid dampers, respectively. The dynamic equations of 1-DOF and 2-DOF vibration systems with the hybrid dampers are then obtained, respectively. The simulation for the 1-DOF vibration system with hybrid dampers is taken to study the influence of the static friction coefficient and dynamic friction coefficient. The dynamical behavior of the 2-DOF vibration system with hybrid dampers is then analyzed. The amplitude response curves of these vibration systems are also given. The simulation results show that the non-smooth vibration systems with hybrid dampers can achieve better properties of reducing vibration amplitude by controlling normal forces at friction dampers.

non-smooth dynamics, frictional damper, Coulomb′s dry friction, numerical simulation

*國家自然科學基金資助項目(11372018)

10.6052/1672-6553-2016-059

2016-09-25收到第1稿,2016-11-02收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: bhwangq@sina.com