李彥敏 梅鳳翔 吳惠彬

(1.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院,商丘 476000) (2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)

關(guān)于非完整系統(tǒng)的Ценов方程和Mac Millan方程*

李彥敏1?梅鳳翔2吳惠彬3

(1.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院,商丘 476000) (2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100081)

Ценов方程和Mac Millan方程是非完整力學(xué)史上較晚出現(xiàn)的運動方程.這些方程的建立不僅有歷史意義,而且有理論和應(yīng)用的優(yōu)勢.本文對Ценов方程和Mac Millan方程的形成提供一些史料,并提出一些看法.

分析力學(xué), Ценов方程, Mac Millan方程, 形成史

引言

Ценов N(1883-1967)是保加利亞著名數(shù)學(xué)家、科學(xué)院院士.Mac Millan WD(1871-1948)是美國著名天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家.他們在非完整力學(xué)方面的貢獻主要是他們各自得到的非完整系統(tǒng)的新型運動方程.本文就分析力學(xué)的Ценов方程和Mac Millan方程的形成和發(fā)展給出一些史料.史鑒使人明智,這也是讓大家了解學(xué)科史的宗旨.

1 Ценов 方程

1.1 Ценов 簡介

Иван Ценов Ангелов(1883-1967),漢譯伊力·采諾夫·安格洛夫,英譯I. Tsenov,法譯I. Tzénoff,保加利亞著名數(shù)學(xué)家.按習(xí)慣他應(yīng)叫И. Ангелов,但他自己取名И. Ценов.生于1883年1月2日,卒于1967年9月19日.1929年成為保加利亞科學(xué)院院士,1951年獲季米特洛夫獎金,1965年被譽為人民科學(xué)活動家.1922-1951年任索菲亞大學(xué)教授和分析力學(xué)教研室主任,1951-1958年為一般和應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室主任.采諾夫有不少關(guān)于分析力學(xué)的論著,有“采諾夫方程”等.

1.2 混合型方程(1924)

對非完整約束系統(tǒng),將系統(tǒng)的加速度能S分成兩部分,一部分S0僅含獨立的廣義加速度,另一部分S1僅含不獨立的廣義加速度,結(jié)果運動方程一部分是Euler-Lagrange型的,另一部分是Appell型的.

設(shè)非完整約束是雙面理想的,有形式:

(σ=1,2,…,ε; ε=n-g; β=1,2,…,g;

s=1,2,…,n)

(1)

這兒及以后相同指標(biāo)表示求和.將加速度能S表示為:

(2)

將式(1)對時間t求導(dǎo)數(shù),得:

(3)

其中未寫出之項不含廣義加速度.令:

(4)

則方程有形式:

(5)

其中,

(6)

為嵌入約束后的廣義力.

方程(5)就是Tzénoff 1924年導(dǎo)出的非完整系統(tǒng)的方程[1],它是由Euler-Lagrange型與Appell型混合而成的,稱為混合型方程.這類方程對某些問題有可能兼顧Lagrange方程和Appell方程的優(yōu)點.為敘述方便,將方程(5)稱為第一類Tzénoff方程.

1.3 類Appell型方程(1953)

設(shè)系統(tǒng)的位型由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)來確定.Tzénoff構(gòu)造一函數(shù)[2]:

(7)

其,T為系統(tǒng)動能,Qs為廣義力,而:

(8)

Gauss原理成為:

(9)

(10)

這就是Tzénoff 在1953年導(dǎo)出的方程,它與Appell方程類似,故稱為類Appell型方程,也可稱為第二類Tzénoff方程.

1.4 Tzénoff工作的推廣與發(fā)展

1.4.1 萬有d′Alembert原理

羅馬尼亞學(xué)者Mangeron和Deleanu的萬有d′Alembert原理[3]:

(11)

在廣義坐標(biāo)下可寫成以下形式:

(12)

1.4.2 廣義Tzénoff函數(shù)

保加利亞學(xué)者Dolaptchiew(Далапчиев)于1966年給出廣義Tzénoff函數(shù)[4]為:

(13)

當(dāng)m=2時,它為Tzénoff函數(shù)(7).

1.4.3 第一類Tzénoff方程的推廣

Dobronravov指出[5],混合型方程(5)表面復(fù)雜,但實際應(yīng)用中會有方便之處.Dobronravov的這本專著是梅鳳翔在法國進修時(1981.01-1982.12),他的導(dǎo)師Pironneau(1923-1983)教授跟Rumyantsev(1921-2007)院士要來的,梅鳳翔復(fù)印了全書.

1.4.4 第二類Tzénoff方程的推廣

Dobronravov稱方程(10)為二階Tzénoff方程[5].文獻[6-14]將第二類Tzénoff方程做了各種推廣,文獻[15]還研究了方程的對稱性與守恒量.

1.5 小結(jié)

19世紀(jì)末至20世紀(jì)初是非完整力學(xué)的奠基時期,這個時期Chaplygin(1869-1942),Voronetz(1871-1923),Volterra(1860-1940),Appell(1855-1930),Hamel(1877-1954)等的工作為非完整力學(xué)奠定了基礎(chǔ),出現(xiàn)了各類運動微分方程.但是,運動微分方程的研究并未停止,其中,Tzénoff 在1924年和1953年的工作都很重要,后人對他工作的推廣足以證明這一點.力學(xué)史著作[16]提到Tzénoff的工作,并認為Tzénoff發(fā)展了Voronetz的工作.

2 Mac Millan方程

2.1 Mac Millan簡介

MacMillan WD(1871-1948),漢譯麥克米倫,美國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.生于威斯康星州的拉克羅斯,卒于明尼蘇達州的圣保羅.曾在弗吉尼亞大學(xué)福雷斯特湖學(xué)院和沃恩堡大學(xué)學(xué)習(xí),1898年在沃恩堡大學(xué)獲文學(xué)士學(xué)位.隨后進芝加哥大學(xué)學(xué)習(xí),1906年獲碩士學(xué)位,1908年獲哲學(xué)博士學(xué)位.1907-1908年為該校地質(zhì)學(xué)的助理研究員,1908-1909年為數(shù)學(xué)和天文學(xué)的助理研究員,1936年為該校名譽教授.主要從事星原學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)中與此相關(guān)的課題研究.著重研究行星和恒星的形成,提出兩個假設(shè)：宇宙保持于一種穩(wěn)定狀態(tài)和宇宙的一個大范圍內(nèi)的能量守恒.這些假設(shè)可以解釋所謂德切斯庫—奧爾佰斯佯謬以及宇宙射線的來源.對位勢理論、具有周期系數(shù)的微分方程理論、自守函數(shù)理論均有開創(chuàng)性研究.對相對論在美國的傳播也做出了貢獻.著有《理論力學(xué)》(3卷,1927-1936)(摘自《科學(xué)家大詞典》(上海：上海辭書出版社,上海科技教育出版社,2000)).

MacMillan的專著有：

Theoretical Mechanics,

Vol 1 The Statics and the Dynamics of a Particle(1927, reprinted 1958 by Dover, New York);

Vol 2 The Theory of the Potential(1930, reprinted 1958 by Dover);

Vol 3 Dynamics of Rigid Bodies(1936, reprinted 1960 by Dover).

(摘自 Papastravridis的《分析力學(xué)》[17]).

2.2 Mac Millan方程

1936年Mac Millan在他的《剛體動力學(xué)》第154節(jié)“Lagrange方程對非完整系統(tǒng)情形的推廣”中給出如下方程[18]:

(14)

其中,

Wj=∑m(ξjx′+ηjy′+ζjz′)

方程(14)后人稱為Mac Millan方程.

上式中的“一撇兒”表示對時間t的導(dǎo)數(shù)；T為用獨立廣義速度表示的動能；因為一開始就考慮到非完整約束,故ξj,ηj,ζj不為零；Wj為添加項,表示由非完整約束引起的特殊項；如果沒有非完整約束,則Wj=0(j=1,2,…,n),方程成為Lagrange方程,因此,Mac Millan稱其為Lagrange方程的推廣.

2.3 Mac Millan方程的影響與發(fā)展

1)Mac Millan方程是非完整力學(xué)史上較晚出現(xiàn)的方程,比Appell方程晚37年,但仍受到學(xué)者們的關(guān)注.

2)周培源先生是最早認識到Mac Millan方程重要性的學(xué)者,在他的《理論力學(xué)》[19](1952)中介紹了這類方程,但沒有提名字.

3)蘇聯(lián)著名非完整力學(xué)專家Dobronravov V V 1961年在莫斯科包曼工學(xué)院的《力學(xué)》上刊登論文“d′Alembert-Lagrange原理、H?lder原理和帶非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)的運動方程”,其中提到Mac Millan方程,并稱其為“自然方程”[20].

Dobronravov的“自然方程”的提法很有道理,因為當(dāng)沒有非完整約束時,添加項Wj為零,Mac Millan方程就“自然地”成了Lagrange方程.

4)Dobronravov指出,Mac Millan方程不能推廣到非線性非完整系統(tǒng)[20],但是這種論斷是不對的[21],文獻[22]做了這種推廣.

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位型由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)來確定,它的運動受有g(shù)個雙面理想Chetaev型非線性非完整約束.

(β=1,2,…,g;s=1,2,…,n;σ=1,2,…,ε;

ε=n-g)

廣義Mac Millan方程有形式[22]:

(15)

文獻[23-25]將Mac Millan方程推廣到變質(zhì)量系統(tǒng),文獻[26-27]研究了準(zhǔn)坐標(biāo)下的Mac Millan方程,文獻[28]研究了事件空間中的Mac Millan方程.

5)Mac Millan方程的優(yōu)點在于它是“自然地”, “自然地”說明為什么第二類Lagrange方程不適用于非完整系統(tǒng).這類方程的缺點在于它還沒有脫離開直角坐標(biāo),因此,添加項Wj的計算比較繁瑣.

6)Dobronravov曾提出,在由d′Alembert-Lagrange原理推導(dǎo)非完整系統(tǒng)的運動微分方程時何時考慮非完整約束的問題[29].他分成兩類,一類是一開始就注意到非完整約束,如Appell,Volterra,Mac Millan等.另一類是將原理變換到廣義坐標(biāo)形成后才考慮非完整約束,如Chaplygin,Hamel等.由此可見,Mac Millan方程的歷史地位.

2.4 小結(jié)

MacMillan對非完整力學(xué)的貢獻主要是他在《理論力學(xué)》第三卷《剛體動力學(xué)》中導(dǎo)出的自然方程.他的這套書很有名,其中第三卷在1951年被譯成俄文.

3 結(jié)語

Ценов的兩類方程(1924,1953)和Mac Millan方程(1963)是非完整力學(xué)史上較晚出現(xiàn)的運動方程.這些方程不僅有它們的歷史意義,而且有其理論和應(yīng)用上的優(yōu)勢.本文介紹了這些方程的起源及其后學(xué)的發(fā)展.學(xué)習(xí)兩位大學(xué)問家的創(chuàng)新精神,十分重要.

1 TzénoffⅠ. Sur les équations du mouvement des systèmes maténels non holonomes. Math. Annalen Leibzig, 1924,91:161～168

2 Ценов И. Об одной новой форме уравнений анал итической динамики. Доклад Академии Наук СССР, 1953,89(1):21～24

3 Mangeron D, Deleanw S. Sur ane classe d′équation de la mécanique analytique au sens de I. Tzénoff. Докл. Балг. АН, 1962,15(1):9～12

4 Doloptchiew B. Sur les systèmes mécaniques non holonomes assujettis à les liaisons arbitraires. C. R. Acad. Sc. Paris, 1966,262(1):31～34

5 Добронравов ВВ. Основы Механики Неголомных Сисгем. Москва: Высшая Шкала, 1970

6 梅鳳翔,劉端,羅勇. 高等分析力學(xué). 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 1991 (Mei F X, Liu D, Luo Y. Advanced analytical mechanics. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 1991(in Chinese))

7 薛問西. Appell方程Tzénoff方程的推廣. 力學(xué)學(xué)報, 1987,19(2):156～164 (Xue W X. Generalization of Appell equation and Tzénoff equation.ActaMechanicaSinica, 1987,19(2):156～164 (in Chinese))

8 程丁龍. Ценов方程對變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的推廣. 北京工業(yè)學(xué)院學(xué)報, 1987,7(3):76～85 (Cheng D L. Generalization of Ценов equation to variable mass nonholonomic systems.JournalofBeijingUniversityofTechnology, 1987,7(3):76～85 (in Chinese))

9 梅鳳翔. 事件空間中非完整保守系統(tǒng)的廣義Ценов方程. 兵工學(xué)報, 1988,4(4):27～85 (Mei F X. Generalized Ценов equation of non-holonomic conservative systems in the event space.ActaArmamentarii, 1988,4(4):27～85 (in Chinese))

10羅紹凱. 非線性非完整系統(tǒng)的相對論性Ценов方程及其正則形式. 洛陽工學(xué)院學(xué)報, 1990,11(1):93～97 (Luo S K. Relativistic Ценов equation of nonlinear nonholonomic mechanical systems and its canonical form.JournalofLuoyangInstituteofTechnology, 1990,11(1):93～97 (in Chinese))

11 林長,張秀蓮. 非定常約束下Tzénoff方程的推廣. 上海力學(xué), 1991,12(1):35～40 (Lin Z, Zhang X L. Extension of Tzénoff equation with nonholonomic constraints.ChineseQuarterlyofMechanics, 1991,12(1):35～40 (in Chinese))

12 李元成. 包含伺服約束的非完整系統(tǒng)的Ценов方程. 貴州師范大學(xué)學(xué)報, 1993,11(3):17～24 (Li Y C. Ценов equation of nonholonomic mechanical systems containing servo restriction.JournalofGuizhouNormalUniversity, 1993,11(3):17～24 (in Chinese))

13 陳剛. 導(dǎo)數(shù)空間非完整系統(tǒng)任意階Tzénoff方程及其第一積分. 華中師范大學(xué)學(xué)報, 1993,27(S1): 97～101 (Chen G. Tzénoff equation for arbitrary order nonholonomic systems in derivative space and its first integral.JournalofHuazhongNormalUniversity, 1993,27(S1):97～101 (in Chinese))

14 郭冠平. 高階非完整力學(xué)系統(tǒng)相對于非慣性系的Tzénoff方程. 浙江師范大學(xué)學(xué)報, 1996,19(1):31～36 (Guo G P. Tzénoff equation of high-order nonholonomic systems relative to noninertial frame.JournalofZhejiangNormalUniversity, 1996,19(1):31～36 (in Chinese))

15 鄭世旺,賈利群. 完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對稱性和守恒量. 物理學(xué)報, 2007,56(2):661～665 (Zheng S W, Jia L Q. Mei symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for nonholonomic systems.ActaPhysicaSinica, 2007,56(2):661～665 (in Chinese))

16 Савин Г Н, Путята Т В, Фрадлин. Очерки Раэвития Некоторых Фундаменталъных Проблем Механики. Кцев : Наукова Думка, 1964

17 Papastavridis J G. Analytical Mechanics. New York: Oxford Univ. Press, 2002

18 Mac Millan W D. Dynamics of Rigid Bodies, New York: Mac Graw-Hill, 1936

19 周培源. 理論力學(xué). 北京 : 人民教育出版社, 1952 ; 北京 : 科學(xué)出版社, 2012(Zhou P Y. Theoretical mechanics. Beijing: People's Education Press, 1952 (in Chinese))

20 Добронравов ВВ. Принципы Даламбера Лагранфа И Гельдера И Уравнения Двифения Механических Систем С Неголономными Свяэями. Механика 104, Москва : МВТУ, 1961

21 梅鳳翔. 非完整系統(tǒng)力學(xué)的歷史與現(xiàn)狀. 力學(xué)與實踐, 1979,1(4):6～10 (Mei F X. The history and present situation of nonholonomic mechanical systems.MechanicsinEngineering, 1979,1(4):6～10 (in Chinese))

22 Mei F X. Extension of the Mac Millan′s equations to nonlinear nonholonomic mechanical systems.AppliedMathematicsandMechanics, 1984,5(5):1633～1638

23 羅勇,劉桂林,梅鳳翔. 變質(zhì)量高階非完整系統(tǒng)的Mac Millan方程. 兵工學(xué)報, 1988,2:47～55 (Luo Y, Liu G L, Mei F X. Mac Millan equations for variable mass systems with high-order non-holonomic constraints.ActaArmamentarii, 1988,2:47～55 (in Chinese))

24 陳立群. 廣義Mac Millan方程對變質(zhì)量非完整力學(xué)系統(tǒng)的推廣. 固體力學(xué)學(xué)報, 1990,11(3):277～283 (Chen L Q. Extension of the generalized Mac Millan equation to variable mass nonholonomic mechanical systems.ActaMechanicaSolidaSinica, 1990,11(3):277～283 (in Chinese))

25 陳立群,王鐵光. 變質(zhì)量可控力學(xué)系統(tǒng)的廣義Mac Millan方程. 東北工學(xué)院學(xué)報, 1992,12(1): 62～68 (Chen L Q, Wang T G. Generalized Mac Millan equation for variable mass controllable mechanical systems.JournalofNortheasternUniversityofTechnology, 1992,12(1):62～68 (in Chinese))

26 陳立群. 準(zhǔn)坐標(biāo)下的Mac Millan方程. 力學(xué)與實踐, 1989,11(5):51～53 (Chen L Q. Mac Millan equations in quasi-coordinates.MechanicsinEngineering, 1989,11(5):51～53 (in Chinese))

27 張解放. 帶任意階非完整約束的力學(xué)系統(tǒng)準(zhǔn)坐標(biāo)下的Mac Millan方程. 科學(xué)通報, 1987,32(16):1279～1279 (Zhang J F. Mac Millan equations in quasi-coordinates for mechanical systems with arbitrary order nonholonomic constraints.ChineseScienceBulletin, 1987,32(16):1279～1279 (in Chinese))

28 羅紹凱. 廣義事件空間中非完整非有勢系統(tǒng)的Mac Millan方程. 成都大學(xué)學(xué)報, 1991,1:30～39 (Luo S K. Mac Millan equation of nonholonomic nonpotential systems in the generalized event space.JournalofChengduUniversity, 1991,1:30～39 (in Chinese))

29 Добрнравов ВВ. Об основных Полофениях Механики неголономных систем. Механика , МВТУ, 1955: 50～74

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (10932002, 11272050, 11372169, 11572034)

? Corresponding author E-mail: hnynmnl@163.com

11 September 2016,revised 11 October 2016.

ON THE ЦЕНОВ EQUATIONS AND MAC MILLAN EQUATIONSOF NONHOLONOMIC SYSTEM*

Li Yanmin1?Mei Fengxiang2Wu Huibin3

(1.DepartmentofPhysicsandInformationEngineering,ShangqiuNormalUniversity,Shangqiu476000,China)(2.SchoolofAerospaceEngineering,BeijingInstituteoftechnology,Beijing100081,China)(3.Schoolofmathematics,BeijingInstituteoftechnology,Beijing100081,China)

The Ценов equations and Mac Millan equations are motion equations later appearing in the history of nonholonomic mechanics. These equations not only have the historical significance, but also have the advantage of theory and application. Some relevant history data are provided for the formation and the development of the Ценов equations and Mac Millan equations, and our propositions are given.

analytical mechanics, Ценов equations, Mac Millan equations, history of formation

*國家自然科學(xué)基金資助項目(10932002，11272050，11372169，11572034)

10.6052/1672-6553-2017-008

2016-09-11收到第1稿,2016-10-11收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: hnynmnl@163.com