李特 袁建寶 吳瑩

(西安交通大學航天航空學院,機械結構強度與振動國家重點實驗室, 西安 710049)

一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應滑模控制方法*

李特 袁建寶 吳瑩?

(西安交通大學航天航空學院,機械結構強度與振動國家重點實驗室, 西安 710049)

針對一類系統(tǒng)不確定及受外界干擾的分數(shù)階混沌系統(tǒng),本文首先將分數(shù)階微積分應用到滑?？刂浦?構造了一個具有分數(shù)階積分項的滑模面.針對系統(tǒng)不確定及外界干擾項,基于分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論與自適應控制方法,設計了一種滑模控制器以及分數(shù)階次的參數(shù)自適應律,實現(xiàn)了兩不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制,并辨識出相應誤差系統(tǒng)中不確定項及外界干擾項的邊界.在分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中使用的分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論及相關函數(shù)都可以很好地運用到其它分數(shù)階系統(tǒng)同步控制方法中.最后數(shù)值仿真驗證了所提控制方法的可行性與有效性.

系統(tǒng)不確定, 滑?？刂? 分數(shù)階自適應律, 分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論

引言

盡管分數(shù)階微積分已經有超過三百年的歷史了,但將其應用到物理學和工程學的研究直到最近幾十年才逐漸引起關注.相對于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分,分數(shù)階微積分為描述各種物質和動態(tài)過程的記憶及遺傳效應提供了有力的數(shù)學工具[1].隨著分數(shù)階微積分的不斷發(fā)展,越來越多的研究發(fā)現(xiàn)利用分數(shù)階導數(shù)能更準確地描述現(xiàn)實中的一些物理現(xiàn)象和動力學系統(tǒng),因此分數(shù)階導數(shù)被廣泛應用到眾多學科研究及工程領域[2-6].由于分數(shù)階系統(tǒng)更容易穩(wěn)定的特性,近年來分數(shù)階微積分已經被廣泛地應用到系統(tǒng)控制中.尤其在魯棒性控制方面,分數(shù)階控制表現(xiàn)出更好的控制效果,文獻[7]也證實分數(shù)階控制器相較于傳統(tǒng)控制器,具有更好的抗干擾性及對外界變化的不敏感性.

混沌作為非線性動力學系統(tǒng)的一種特有運動形式,在物理、化學、生物和信息科學等領域得到了廣泛的研究,許多研究已經證實將分數(shù)階微積分引入到一些傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)中也能表現(xiàn)出混沌特性,比如分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)[8],分數(shù)階Duffing系統(tǒng)[9],分數(shù)階Chua電路[10],分數(shù)階Van der Pol振蕩器[11]及分數(shù)階Chen系統(tǒng)[12]等等.分數(shù)階混沌系統(tǒng)作為整數(shù)階混沌系統(tǒng)的推廣,其動力學特性不僅秉承了混沌系統(tǒng)幾乎所有的特點,還具有歷史記憶效應、動力學特性與系統(tǒng)階次密切相關等特點,因此分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有比整數(shù)階混沌系統(tǒng)更加復雜的動力學行為.

近年來,分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制在保密通信、信號處理和系統(tǒng)控制及其它領域得到了廣泛關注和研究,具有比整數(shù)階混沌系統(tǒng)更突出的應用前景和發(fā)展前途.目前已經有一些同步控制方法,比如非線性反饋控制[13-14]、主動控制[15]、分數(shù)階控制器[16]、最優(yōu)化控制[17]、自適應控制[18-19]及滑模控制[20-22]等都被成功應用到分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題中.但需要指出,上述控制方法中大多都忽略了系統(tǒng)不確定性及外界環(huán)境的干擾,而這些因素在實際工程系統(tǒng)中是不可避免的.但自適應控制可以克服系統(tǒng)參數(shù)未知或不確定性,滑膜控制則具有良好的魯棒性和抗干擾能力,因此這兩種控制方法在分數(shù)階非線性系統(tǒng)中的應用研究更具有實際意義[23-24].

目前,混沌同步研究中最常見的方法是直接研究驅動-響應混沌系統(tǒng)對應的誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這樣就將同步問題轉變成穩(wěn)定性問題來研究.因此,分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步往往與其誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關.近年來,關于分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步控制的研究[22-30]大多都是基于傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論,通過對受控分數(shù)階誤差系統(tǒng)進行穩(wěn)定性判斷,從而實現(xiàn)驅動-響應系統(tǒng)的同步控制.然而,文獻[31]中指出利用傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論在論證分數(shù)階系統(tǒng)軌跡對滑模面的收斂性時是不恰當?shù)?而利用分數(shù)階穩(wěn)定性理論會更合適.最近,文獻[32-33]提出了針對分數(shù)階非線性系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性理論及分數(shù)階Lyapunov方法,為分析分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步控制的穩(wěn)定性提供了潛在的有效方法.

在上述文獻研究的基礎上, 本文主要研究了基于自適應滑?？刂频牟淮_定分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步問題.首先將分數(shù)階微積分應用到滑?？刂浦?構造了一個具有分數(shù)階積分項的滑模面,并利用分數(shù)階非線性系統(tǒng)Mittag-Leffler穩(wěn)定性理論證明了對應的滑模運動模態(tài)的穩(wěn)定性.針對系統(tǒng)不確定及外界干擾項,基于分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論與自適應控制方法,設計了一種滑?？刂破饕约胺謹?shù)階次的參數(shù)自適應律,實現(xiàn)了兩分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制,并辨識出相應誤差系統(tǒng)中不確定項及外界干擾項的邊界.通過理論分析和數(shù)值模擬仿真驗證了所設計的控制器的有效性和可行性.

1 預備知識

1.1 分數(shù)階混沌系統(tǒng)與同步問題描述

考慮含不確定性及干擾項的分數(shù)階混沌系統(tǒng)如下:

(1)

將系統(tǒng)(1)看作驅動系統(tǒng),則對應的響應系統(tǒng)可表示為:

(2)

其中,y=(y1,y2,…,yn)T是系統(tǒng)(2)的狀態(tài)向量,g(y)為系統(tǒng)的非線性項,Δg(y)為系統(tǒng)不確定性項,d(t)為外界干擾項,u(t)為控制輸入.

為了提出新的設計理論和方法,需要做如下的假設:

假設1 假設Δf(x)、Δg(y)、c(t)及d(t)均為有界函數(shù),并且存在合適的正常數(shù)μ和σ滿足:

(3)

其中,μ和σ均為未知正常數(shù).

我們定義如果存在一個控制輸入u(t)使得

(4)

其中e(t)=(e1,e2,…,en)T為驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的狀態(tài)誤差,那么就可以說明驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)實現(xiàn)了同步.因此,我們就將兩混沌系統(tǒng)的同步問題轉化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,即利用控制函數(shù)u(t)使誤差e(t)趨于0.由驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)可以得到誤差系統(tǒng)為:

c(t)+u(t)

(5)

本文主要針對誤差系統(tǒng)(5)設計合適的控制器方案,通過判斷誤差系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性來實現(xiàn)驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的同步控制.

1.2 分數(shù)階微積分概述

定義1 函數(shù)f(t)的分數(shù)階積分式定義[34]為:

(6)

其中t0≥0,α>0,且Γ(·)為伽馬函數(shù).

定義2 函數(shù)f(t)的Caputo分數(shù)階導數(shù)定義[34]為:

(7)

由于Caputo分數(shù)階微分定義的拉普拉斯變換所需初值與整數(shù)階微積分的拉普拉斯變換相同,其幾何和物理意義明確,在工程實際等廣泛應用.因此下文中均采用Caputo定義.

與指數(shù)函數(shù)ez在整數(shù)階微分方程中的作用相似,Mittag-Leffler函數(shù)在分數(shù)階微積分中同樣具有相當重要的作用.

定義3 雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)[35]可以表示為:

(8)

其中α>0,β>0,z∈C.

當β=1時,Eα(z)=Eα,1(z).特別地,E1,1(z)=ez.

考慮上述雙參數(shù),Mittag-Leffler函數(shù)的拉普拉斯變換可以表示為:

(9)

其中,t和s分別為時域和頻域變量,Re(s)為s的實數(shù)部分.

(10)

那么,我們認為該系統(tǒng)的解是Mittag-Leffler穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)的.

其中,λ>0,b>0,α∈(0,1),且m(x)≥0在x∈Rn上滿足Lipschitz條件.

V(x,t)≥γ(‖x‖),

DαV(x,t)≤0

(11)

其中,x?D,<α<1.如果D=Rn,那么該系統(tǒng)在xeq=0處是漸近穩(wěn)定的.

引理3[37]令x(t)∈R為一個連續(xù)且可導的函數(shù).則對于任意時刻t≥t0,都有:

(12)

2 同步控制器設計及穩(wěn)定性分析

2.1 滑模面設計及穩(wěn)定性分析

為了針對誤差系統(tǒng)(5)設計合適的滑?？刂破?我們首先構造一個具有分數(shù)階積分項的滑模面如下:

(13)

其中,ai為正常數(shù),0

Dqsi(t)=Dqei(t)+aiei(t)

(14)

當誤差系統(tǒng)(5)在滑模面運動時,滑模面及其分數(shù)階導數(shù)需要滿足:

si(t)=0,Dqsi(t)=0

(15)

依據(jù)上述滑模面可達條件,我們可以得到對應的滑模運動模態(tài)如下:

Dqei(t)=-aiei(t)

(16)

這里,我們需要證明滑模運動模態(tài)(16)的漸近穩(wěn)定性,以此保證從任意初值出發(fā)的受控誤差系統(tǒng)(5)的軌跡在到達滑模面后漸近收斂到滑模面s(t)=0.

定理1 滑模運動模態(tài)(16)是漸近穩(wěn)定的,當t→∞時,處在滑模面上的誤差系統(tǒng)(5)的狀態(tài)變量及軌跡也將漸近收斂到零點.

證明：選擇如下形式的Lyapunov函數(shù):

(17)

對式(17)兩邊同時取q階分數(shù)階導數(shù),可以得到:

(18)

根據(jù)文獻[39]中的結論,我們可以得到:

(19)

將式(16)代入式(19)中,可以得到:

(20)

DqV1(t)+λV1(t)+M(t)=0

(21)

對式(21)進行拉普拉斯變換,可以得到:

sqV1(s)-sq-1V1(0)+λV1(s)+M(s)=0

(22)

(23)

進一步對式(23)進行拉普拉斯逆變換,可以得到:

(24)

由于M(t)和tq-1Eq,q(λtq)均為非負函數(shù),式(24)可簡化近似為:

V1(t)≤V1(0)Eq(-λtq)

(25)

2.2 同步控制器設計及穩(wěn)定性分析

由于在工程等實際應用中,系統(tǒng)不確定性項Δf(x)、Δg(y)及外界干擾c(t)、d(t)均為邊界未知的,這里我們利用自適應控制法來解決這一問題.根據(jù)假設1,為了使誤差系統(tǒng)(5)的運動軌跡收斂到所設計的滑模面并始終停留在滑模面上,我們設計的自適應滑模控制器如下：

ui=fi(x)-gi(y)-aiei-

(26)

(27)

(28)

定理2 基于假設1和滑模面方程(13),受控誤差系統(tǒng)(5)在滑?？刂破?26)和自適應率(27)、(28)的控制作用下,其運動軌跡將在有限時間內漸近地收斂到滑模面.

我們選擇如下形式的Lyapunov函數(shù):

(29)

顯然上述Lyapunov函數(shù)V滿足引理2中的條件.利用引理3,對式(29)關于時間取q階分數(shù)階導數(shù)可得:

(30)

將控制器(26)代入到上式(30)中,可以得到:

(31)

將上式(31)化簡得到:

≤-ρ≤0.

(32)

根據(jù)式(32)所得結果,我們可以假設存在一個非負函數(shù)M(t)滿足如下等式:

DqV(t)+ρ+M(t)=0

(33)

對式(33)兩邊進行拉普拉斯變換,可以得到:

(34)

(35)

進一步對式(35)進行拉普拉斯逆變換,可以得到:

(36)

(37)

根據(jù)引理4可知,函數(shù)V(t)時單調非遞增的,我們可以得到V(0)-V(t)≥0.因此,由上述不等式(37)可以得到

(38)

從上述不等式(38)可以清楚地得到,受控誤差系統(tǒng)(5)的運動軌跡是在有限時間內到達滑模面的.

3 數(shù)值仿真

為了驗證所提理論結果的正確性和有效性,我們分別選取分數(shù)階Chen系統(tǒng)、分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)及分數(shù)階Liu系統(tǒng)進行數(shù)值模擬,利用本文所提出的分數(shù)階自適應滑模控制器,在系統(tǒng)含不確定性及外界干擾的情況下,分別實現(xiàn)相同分數(shù)階混沌系統(tǒng)及不同分數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步.

3.1 分數(shù)階Chen系統(tǒng)的自適應滑?？刂仆?/p>

含系統(tǒng)不確定性項及外界干擾的分數(shù)階Chen系統(tǒng)表示為:

Dqx1=a(x2-x1)+Δf1+c1,

Dqx2=(c-a)x1-x1x3+cx2+Δf2+c2,

Dqx3=x1x2-bx3++Δf3+c3

(39)

其中,a=35,b=3,c=28,0

Dqy1=a(y2-y1)+Δg1+d1+u1,

Dqy2=(c-a)y1-y1y3+cy2+Δg1+d1+u2,

Dqy3=y1y2-by3+Δg1+d1+u3

(40)

其中,系統(tǒng)不確定性項及外界干擾項函數(shù)分別假定為Δg1=0.3sin(y1)cos(y2),d1=0.2sin(3t),Δg2=0.1cos(y1)cos(y3),d2=0.3cost,Δg3=0.2sin(y2)sin(y3),d3=-0.1cos(5t),u1,u2,u3分別為控制函數(shù)(26)的形式.

則誤差系統(tǒng)可以表示為:

Dqe1=a(e2-e1)+Δg1-Δf1+d1-c1+u1,

Dqe2=(c-a)e1+ce2-x1e3-y3e1+Δg2-

Δf2+d2-c2+u2,

Dqe3=x1e2+y2e1-be3+Δg3-Δf3+d3-c3+u3

(41)

從數(shù)值模擬結果可以看出,在t=5s時加入控制后,e1,e2,e3在較短的時間內很快趨近于零,滑模面函數(shù)si(t)也很快地趨近于零,各控制器參數(shù)也趨近于某一定值,表明受控誤差系統(tǒng)(41)的狀態(tài)變量在所設計控制器(26)的作用下,很快地漸近收斂到零點并保持穩(wěn)定.結果表明在系統(tǒng)含不確定性及外界干擾的情況下,驅動系統(tǒng)(39)和響應系統(tǒng)(40)能夠實現(xiàn)同步,所提出的方法取得了較好的控制效果.

圖1 誤差系統(tǒng)(41)同步誤差隨時間的變化Fig. 1 Timehistory of synchronized errors of the error system (41)

圖2 誤差系統(tǒng)(41)各參數(shù)及滑模面函數(shù)隨時間的變化Fig. 2 Time history of the control parameters and sliding surfaces of the error system (41)

3.2 分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)與分數(shù)階Liu系統(tǒng)的自適應滑模控制同步

含系統(tǒng)不確定性項及外界干擾的分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)表示為:

Dqx1=-a(x1-x2)+Δf1+c1,

Dqx2=rx1-x2-x1x3+Δf2+c2,

Dqx3=-bx3+x1x2+Δf3+c3.

(42)

其中,a=10,r=28,b=8/3,0

Dqy1=a(y2-y1)+Δg1+d1+u1,

Dqy2=by1-y1y3+Δg2+d2+u2,

(43)

其中,a=10,b=40,c=2.5,d=4,0

則誤差系統(tǒng)表示為:

Dqe1=10e2-10e1+Δg1-Δf1+d1-c1+u1,

Dqe2=40y1-y1y3-28x1+x1x3+x2+Δg2-

Δf2+d2-c2+u2,

Δf3+d3-c3+u3

(44)

從數(shù)值模擬結果可以看到,在t=5s時加入控制后,誤差變量e1,e2,e3在較短的時間內很快趨近于零,滑模面函數(shù)si(t)也很快地趨近于零,各控制參數(shù)也趨近于某一定值,表明受控誤差系統(tǒng)(44)的狀態(tài)變量在所設計控制器(26)的作用下,很快地漸近收斂到零點并保持穩(wěn)定.結果表明在系統(tǒng)含不確定性及外界干擾的情況下,分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)(42)和分數(shù)階Liu系統(tǒng)(43)能夠實現(xiàn)同步,所提出的方法取得了較好的控制效果.

圖3 誤差系統(tǒng)(44)的同步誤差隨時間的變化Fig. 3 Timehistory of synchronized errors of the error system (44)

圖4 誤差系統(tǒng)(44)各參數(shù)及滑模面函數(shù)隨時間的變化Fig. 4 Time history of the control parameters and sliding surfaces of the error system (44)

4 結論

本文基于分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論,設計了一種滑模同步控制器和分數(shù)階參數(shù)自適應律, 實現(xiàn)了含系統(tǒng)不確定項及外界干擾項的分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步,并辨識出相應誤差系統(tǒng)中不確定項及外界干擾項的邊界.所提出的控制器針對不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng),具有較好的同步控制效果和較強的抗干擾能力.文中構造的具有分數(shù)階積分項的滑模面為分數(shù)階混沌系統(tǒng)的滑?？刂蒲芯刻峁┝艘欢ǖ膮⒖純r值.同時,在分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中使用的分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論及相關函數(shù)也可以很好地運用到其它分數(shù)階系統(tǒng)同步控制方法中.

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*Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11272242,11472202) and the Project Supported by Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China (Grant Nos. S2014JC12575).

? Corresponding author E-mail: wying36@163.com

30 November 2015,revised 20 March 2016.

A METHOD OF ADAPTIVE SLIDING MODE CONTROL FOR SYNCHRONIZATION OF ONE CLASS OF UNCERTAIN FRACTIONAL-ORDER CHAOTIC SYSTEMS*

Li Te Yuan Jianbao Wu Ying?

(StateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalStructure,SchoolofAerospace,Xi′anJiaotongUniversity,Xi′an710049,China)

For one class of fractional-order chaotic system with systematic uncertainties and external disturbances, firstly, fractional calculus is applied into sliding controller, and a sliding surface with a fractional integral term is designed. Based on the theory of fractional Lyapunov stability and adaptive control，a sliding mode controller with the fractional-order adaptive laws of the parameters is proposed to achieve the synchronization of two uncertain fractional-order chaotic systems emphasizing the systematic uncertainties and the external disturbances, and the bounds of uncertainty and the disturbance in corresponding error system are estimated. It should be pointed out that the fractional Lyapunov stability theorem and functions introduced in the stability analysis of the fractional-order chaotic systems can be applied to many other control methods for fractional-order nonlinear systems. Finally, numerical examples are given to verify the effectiveness and feasibility of the proposed control method.

systematic uncertainty, sliding mode control, fractional adaptive law, Lyapunov stability theorem

*國家自然科學基金(11272242,11472202)和陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(S2014JC12575)

10.6052/1672-6553-2016-026

2015-11-30收到第1稿,2016-03-20收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: wying36@163.com.