汪榮

摘 要：在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，恒成立問題是非常有難度的，而且也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一部分。教師若是能夠幫助學(xué)生解決恒成立問題的難題，就能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。針對(duì)高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法和思路進(jìn)行研究，希望能夠?yàn)楸姸喔咧猩峁┙忸}的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；恒成立問題；解題方法

隨著高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的難度不斷增加，很多學(xué)生在恒成立問題的解題方法上都了解得不夠透徹，其中恒成立問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)范圍也比較廣，例如：一次函數(shù)、二次函數(shù)。因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)知識(shí)涉及的內(nèi)容和范圍非常大，所以在恒成立問題解決方面所涉及的思路也非常多，這讓很多學(xué)生遇到恒成立問題相關(guān)題型非常難解，從而影響了數(shù)學(xué)整體成績(jī)。

一、掌握高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法和思路的意義

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中恒成立的問題主要出現(xiàn)在函數(shù)知識(shí)點(diǎn)中，即在已知的條件下，無(wú)論在題型中變量如何變化，其結(jié)果和命題都能夠成立，這就是恒成立。恒成立問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要考查的就是學(xué)生抽象思維能力、對(duì)問題的推理能力以及對(duì)相應(yīng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用等，所以恒成立問題能夠最大限度地提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中主要是依靠學(xué)生的邏輯思維解答相應(yīng)的題目，這就是數(shù)學(xué)與高中其他科目不同的地方，所以學(xué)生若是想要提高數(shù)學(xué)的成績(jī)，就需要尋找有效的解題方式和思路，并在解答的過(guò)程中靈活運(yùn)用相應(yīng)的公式，這樣就能解決恒成立的相關(guān)問題。

二、高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法和思路

1.一次函數(shù)的恒成立

下面將利用案例來(lái)解釋一次函數(shù)的恒成立問題：

問題：一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4，在函數(shù)中對(duì)任意值x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，就其實(shí)數(shù)n的取值范圍。

解題分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的圖象中可以得知，若對(duì)x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，則f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n> ，由此可以解得實(shí)數(shù)n的取值范圍是[ ，+∞]。

本次解題的主要思想就是利用一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4 的圖象，這樣在不等式中，就可以直接化解為一元一次不等式組的問題，從而也為學(xué)生提供了更加便捷的思路，讓整個(gè)考題更加簡(jiǎn)單，思路更加清晰。

2.二次函數(shù)的恒成立

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)是非常重要的，在數(shù)學(xué)考試中也占有非常大的比例，所以教師在進(jìn)行二次函數(shù)的恒成立解析過(guò)程中，需要更加細(xì)致地進(jìn)行講解。

問題：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a。若是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解題分析：若在題中a=0，則f（x）=2x-3，這時(shí)很明顯函數(shù) 處在[-1，1]的區(qū)間中沒有零點(diǎn)，所以a≠0。令Δ=0，可以解得a= 。①當(dāng)a= 的時(shí)候，函數(shù)y=f（x）正好有一個(gè)零點(diǎn)處在[-1，1]上。②當(dāng)f（-1）≤f（1）≤0時(shí)，解得1≤a≤5，代入兩端點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)a=5時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)1≤a≤5時(shí)，函數(shù)y=f（x） 在[-1，1]之上正好也有一個(gè)零點(diǎn)。

③若是當(dāng)函數(shù)y=f（x）在[-1，1]區(qū)間之中有兩個(gè)零點(diǎn)的時(shí)候，則a>0△>0-1<- <1f（1）≥0f（-1）≥0或是a<0△<0-1<- <1f（1）≤0f（-1）≤0 ，

由此可以得出a≥5或者是a< 。

綜上所述，可以得出實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞， ∪ [1，+∞）∪ 。

本問題主要是以一元二次方程的根為主要的知識(shí)點(diǎn)考查對(duì)象，這種題型也是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見的題型，在解這種類型題目的時(shí)候，首先需要學(xué)生能夠確認(rèn)根的數(shù)量，再對(duì)應(yīng)拋物線對(duì)稱軸的位置，最后再根據(jù)相應(yīng)的數(shù)據(jù)判斷區(qū)間端點(diǎn)所相對(duì)的數(shù)值函數(shù)的正負(fù)情況。

3.分離參數(shù)法

所謂的分離參數(shù)法就是指在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，若是遇見含有參數(shù)的數(shù)學(xué)習(xí)題，可以將習(xí)題中的參數(shù)不等式進(jìn)行變形，將題中的參數(shù)進(jìn)行分離，這樣就能夠?qū)⒑愠闪栴}的難度降低，并將整體的問題簡(jiǎn)單化，這樣的方式也能夠讓學(xué)生在面對(duì)問題的時(shí)候更加能快速地進(jìn)行解答。

問題：在x∈R時(shí)，不等式-4a-sin2x-4sin x+a2>0恒成立，求a的范圍。

問題分析：在此不等式中擁有兩個(gè)變量，一個(gè)是a，一個(gè)是x，給出的條件就是x∈R的時(shí)候，求a的取值范圍。這個(gè)題型可以利用分離參數(shù)法將a和x進(jìn)行分析，變形為sin2x+4sin x0恒成立，就需要a2-4a>5，得出 a<-1或a>5。

在解本題的時(shí)候，將參數(shù)進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，可將繁瑣的題型簡(jiǎn)單化，以此達(dá)到輕松解決恒成立的問題。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中恒成立問題的解決方法除了本文所提到的幾種之外還有很多種，所以學(xué)生在進(jìn)行題型解答的時(shí)候，需要按照問題的形式尋找合理的解決方式，再對(duì)其勤加練習(xí)就能夠掌握，并提升數(shù)學(xué)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

趙佩.高中數(shù)學(xué)恒成立問題解題思路[J].試題與研究（新課程論壇），2013（6）：61.

編輯 李建軍