云南省德宏州盈江縣第一高級中學 尤廷田

一、引言

三角形是幾何中的基本圖形，三角形的重心是關于三角形的重要定理，于是證明三角形重心的存在性能夠給學習者提供一個展示自身才華的機會，提高知識的應用能力，還能加深學習者對重心的理解程度，更好地認識三角形，同時也從一個側面反映數(shù)學知識的嚴謹性。

二、三角形重心的證明

三角形的重心：三角形三條中線相交于一點，這點叫做三角形的重心

證明：

法一：如圖一設AD、BECF分別是?ABC的邊BC、CAAB的中線，則

由塞瓦定理得AD、BECF、三線平行或相交于一點。而AD、BE相交于G點，故AD、BECF三線相交于G點。

命題得證[2]。

法二: 如圖二設AD、BECF分別是?ABC的邊BC、CAAB的中線。設AD與BE相交于G，AD與CF相交于H，

設

則

故

于是得

即

同理

從而知?ABC的三條中線相交于一點。命題得證。

法三：如圖三設AD、BECF分別是的邊B、CCAAB的中線，設A、DBE相交于G.建立仿射坐標系則A(0,0),B(1,0),C(0,1)D(0.5,0.5),E(0,0.5),C(0.5,0.)設G分有向線段AD成定比x,

故

設,G分有向線段BE成定比y,故由點的唯一性得

即G點在CF上，從而知?ABC的三條中線相交于一點。命題得證。

法四：設AD、BECF分別是?ABC的邊B、CCAAB的中線，以BC所在的直線為x軸，BC邊上的高AO所在直線為y軸，OC的長度為1個單位長度建立直角坐標系（如圖四），則C(1,0).設A(0,a),B(b,0),則D(0.5+0.5b，0),

E(0.5,0.5a),F( 0.5b, 0.5a),AD、BECF

所在直線方程分別為：

方程組

故AD、BECF相交于一點。命題得證。

法五：?ABC是任意一個三角形，?A1B1C1是一個正三角形，A1D1,B1E1,C1F1,是?A1B1C1的三條中線（如圖五），設A1D1,B1E1,相交于O1，C1F1,A1D1相交于O2.由正三角形的三線合一的性質可得

故O1與O2重合，即正三角形的三條中線交于一點。

由平面仿射幾何基本定理，存在唯一的仿射變換T將?A1B1C1變?yōu)?ABC.由于仿射變換保同素性和接合性，得D1、E1、F1的象D、E、F分別在BC、CA和AB上。O1的象O就是AD、BE、CF三線的交點。由仿射變換保簡比，可得D、E、F分別是BC、CA和AB的中點，即AD、BE、CF是?ABC的中線。命題得證。

法六：?ABC是任意一個三角形，?A1B1C1是一個正三角形，A1D1、B1D1分別是 ?A1B1C1的邊B1C1、A1C1的中線，設A1D1、B1E1相交于O1，過O1作O1F1⊥A1B1垂足為F1，連結C1F1（如圖六）.由正三角形的三線合一的性質可得

故以O1為圓心O1D1為半徑可作一圓內切于?A1B1C1（如圖七），切點分別為D1、E1、F1.由布利安雙定理可得A1D1、B1E1、C1F1相交于一點O1.又，是B1D1=B1F1,D1是B1C1的中點，且B1C1=A1B1，故F1是A1B1的中點。

由平面仿射幾何基本定理，存在

唯一的仿射變換T將?A1B1C1變?yōu)?ABC.由于仿射變換保同素性和接合性，得D1、E1、F1的象D、E、F分別在BC、CA和AB上，O1的象就是AD、BE、CF三線的交點O.由仿射變換保簡比，可得D、E、F分別是BC、CA和AB的中點，即AD、BE、CF是?ABC的中線。命題得證。

法七:?ABC是任意一個三角形，AD、BE、CF分別是BC、CA、AB邊的中線。連結DE、DF、EF（如圖八）.

由三角形的中位線定理可得DE∥AB，DF∥AC,EF∥BC即DE與AB，DF與CA，EF與BC分別相交于無窮遠點G、H、I.無窮遠點G、H、I在無窮遠直線上。由代沙格定理的逆定理可得AD、BE、CF相交于一點。又AD、BE相交于普通點O，故CF過點O。命題得證。

綜上所述：第一，向量方法很簡捷、方便，因為它最大的優(yōu)勢是運算，在共面向量中取兩個不共線的向量，以它們作為基，通過很流暢的運算把其余向量都用它們表示出來，然后對所得的向量進行比較，根據(jù)唯一性，令對應系數(shù)相等即可把有關系數(shù)確定出來，使問題得到解決或有所進展。此外，如果把向量運算和數(shù)值（坐標）運算結合起來就能更多地使用代數(shù)方法，因而具有一般性的優(yōu)點。它作為解決數(shù)學問題的強有力的工具，優(yōu)勢是不言而喻的。

第二，在仿射幾何中可以相互轉化的圖形叫做仿射等價圖形。在仿射等價圖形中，所有的圖形具有相同的仿射性質。因此，只要我們知道了哪些圖形是仿射等價圖形后，我們就可以在這些圖形中找出最簡單或比較簡單的圖形，只要將它們的不變性及不變量弄清楚了，也自然把這些仿射等價圖形的性質弄清楚了。例如，所有的三角形是仿射等價圖形，其中最簡單的三角形是正三角形，所以，為了證明任意三角形具有某種仿射性質，我們只須證明正三角形具有這種性質就可以了。