湖北省鄖西縣第三中學(xué) 楊玉敏

一、函數(shù)的單調(diào)性

（一）函數(shù)的單調(diào)性的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，若對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意的x1，x2，當(dāng)x1f(x2)），則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù).

溫馨提示：（1）單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可有不同的單調(diào)性；（2）定義中的x1，x2相對(duì)于單調(diào)區(qū)間具有任意性，不能用特殊值來(lái)代替；（3）一個(gè)函數(shù)在區(qū)間D1，D2上是增（減）函數(shù)，在D1∪D2上不一定是增（減）函數(shù)，如：函數(shù)因此，討論函數(shù)的單調(diào)性一定要指明區(qū)間.

（二）函數(shù)的單調(diào)性的判定

例1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性.

（1）f(x)=?x2+2x+1，(x>0)；（2）(x≥0)（3）

分析：可根據(jù)不同函數(shù)的不同特點(diǎn)，選用最簡(jiǎn)解法.

解：（1）函數(shù)f(x)=?x2+2x+1的

對(duì)稱(chēng)軸為x=1，結(jié)合圖象，知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在[1，+∞)上單調(diào)遞減.

（2）易知函數(shù)f(x)的定義域 為 [0,1].設(shè)0≤x10，x2?x1> 0 ，即f(x1) >f(x2)，∴函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.

（3）函數(shù)f(x)的 定 義 域 為(?∞,1) U(1,+∞).由 于函數(shù)y1=1?x是減函數(shù)，∴在(?∞,1) U(1,+∞)上是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)

在(?∞,1)，(1,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)：上例分別用了圖象法、定義法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法三法.判斷函數(shù)的單調(diào)性還有兩法：（1）利用結(jié)論：兩個(gè)增（減）函數(shù)之和仍為增（減）函數(shù)，一個(gè)增（減）函數(shù)減去一個(gè)減（增）函數(shù)為增（減）函數(shù)；（2）導(dǎo)數(shù)法.其中，證明單調(diào)性時(shí)只能用定義法或?qū)?shù)法. 定義法的步驟是：（1）任取x1，x2∈D，且x1

跟蹤練習(xí)1：試判斷函數(shù)在(0，+∞)上的單調(diào)性，并證明.

【答案：增函數(shù)，用定義法證明（略）】

（三）函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用

例2.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0，+∞)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x) > 0，且f(xy)=f(x)+f(y).

（1）證明：函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)；

（2）若求滿足不等式的x的取值范圍.

分析：解抽象不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)脫掉“f ”.

（1）證明：令x=y=1，得f( 1)=f( 1)+f(1)，故f( 0)=1.

令得故

任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1f(x1)，∴函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

（2）解：由于，而，故f( 3)=1.在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=3，得f( 9)=f( 3)+f(3)=1+1=2. 由（2）知，故所給不等式可化為f(x)+f(x?8) ≤f(9)，即f[x(x?8)]≤f(9)，

∴解得8

點(diǎn)評(píng)：本例利用函數(shù)的單調(diào)性，成功地脫掉了“f”，從而轉(zhuǎn)化為具體的不等式問(wèn)題.注意函數(shù)的定義域在解題中的制約功能.

跟蹤練習(xí)2：已知增函數(shù)f(x)當(dāng) x>0時(shí)有意義，且滿足：①f(xy)=f(x)+f(y)；②f( 2)=1.

（1）求f(0)的值；

（2）若f( 3)+f( 4?8x) > 2，求x的取值范圍.

【答案：（1）1；（2）】

二、函數(shù)的奇偶性

（一）函數(shù)的奇偶性的定義

若對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域D內(nèi) 的 任 意x都 有f(?x)=?f(x)（f(?x)=f(x)），則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為奇（偶）函數(shù).

溫馨提示：（1）函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2）函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（3）一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱(chēng).

（二）函數(shù)的奇偶性的判定

例3.討論下述函數(shù)的奇偶性：

分析：判斷函數(shù)的奇偶性，定義域優(yōu)先考慮，然后考查f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.

解：（1）定義域?yàn)閇-1,1)，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).

（2）函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1)∪(0,1] ，∴x+2 > 0，

函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

（3）得x=1，

∴f(x)=0(x=1)，結(jié)合圖象，知函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).

∴ f(-x)=f(x)，故函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性有兩法：一法看圖，二法看式.“看圖”應(yīng)看其圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱(chēng)；看式需先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)稱(chēng)則再看解析式；若不對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)即為非奇非偶函數(shù).同時(shí)，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，則應(yīng)先等價(jià)化簡(jiǎn)（即要保證函數(shù)的定義域不變）.

跟蹤練習(xí)3：下列是關(guān)于奇偶函數(shù)的幾個(gè)命

①函數(shù)是奇函數(shù)；

② f(x)=0，(x=0) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

③函數(shù)是偶函數(shù)；

④函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

其中正確的命題是___.（填序號(hào)）

【答案：②③ 提示：是偶函數(shù)；③可通過(guò)圖象的對(duì)稱(chēng)性判斷】

（三）函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用

（1）利用奇（偶）函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的對(duì)稱(chēng)性解題

例4.已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2，b)，g(x)>0的解集是，且，則f(x)?g(x)>0的解集是___.

分析：結(jié)合奇（偶）函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，并注意兩個(gè)解集端點(diǎn)之間的位置關(guān)系解之.

解：

∵f(x)>0的解集是(a2，b)，g(x)>0的解集是，且故當(dāng)時(shí)，x∈(a2，b)；由于f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)<0的解集是(?b，?a2)，g(x)<0的解集是故當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性等特性來(lái)解決問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).本例還可以在同一直角坐標(biāo)系中同時(shí)畫(huà)出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，看圖可速解！

跟蹤練習(xí)4：定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若f( 1?m)

【答案：提示：由|m|<|1?m|≤2，解得

（2）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)表達(dá)式

三、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用

（一）利用奇偶性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例5.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明.

分析：由于函數(shù)是奇函數(shù)，故只需研究函數(shù)f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)區(qū)間即可.

解：任取x1，x2∈( 0+∞)，且x1

∵x?x>021，而當(dāng)0 0，∴ 當(dāng)x∈( 0，1)時(shí)，f(x1)?f(x2) < 0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f(x1)?f(x2) > 0，函數(shù)f(x)是減函數(shù).

由于函數(shù)f(x)在x∈(?∞，+∞)上是奇函數(shù)，故函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(?∞，?1)上單調(diào)遞減.

綜上，得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(?1，1)，減區(qū)間為(?∞，1]，[1，+∞).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于具有奇偶性的函數(shù)，由于奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反，故通常只需研究其半?yún)^(qū)間的性質(zhì)即可.

跟蹤練習(xí)6：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【答案：增區(qū)間是；減區(qū)間是

提示：注意利用函數(shù)是奇函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化過(guò)程】