梁彩霞

（肇慶學院 數學與統(tǒng)計學院，廣東 肇慶 526061）

3正則的ID-因子臨界圖

梁彩霞

（肇慶學院 數學與統(tǒng)計學院，廣東 肇慶 526061）

如果對于G中任意和 ||V(G)有相同奇偶性的獨立集I,G-I有完美匹配,則稱圖G是ID-因子臨界圖，給出了3-正則的ID-因子臨界圖的刻畫.

完美匹配;3-正則;獨立集;ID-因子臨界圖

1 概述

文中未定義的術語和概念參見文獻[1].本文涉及的圖為有限、無向的簡單圖.令S為圖G的頂點的子集，G-S的奇分支數記為o(G-S).設u是G中任一頂點，記意2點不相鄰,則稱I為獨立集.若G的所有頂點的度都等于k,則稱G為k-正則圖.圖G不包含K1,3為導出子圖，稱之為無爪圖.對邊集M?E(G),如果G的任意頂點至多與M中的1條邊關聯,則稱M是G的匹配.稱覆蓋所有頂點的匹配為完美匹配.

因子理論一直是圖論中的重要研究領域[2],對因子理論的研究最早可以追溯到1個世紀以前.1891年，Peterson[3]指出：2-邊連通的3-正則圖有1-因子，這被認為是現代因子理論研究的開始.1947年，Tutte[4]給出一個普通圖G有1-因子的充要條件,該結論是因子理論中最基本的理論,奠定了因子理論的基礎.1952年，Tutte[5]又給出圖G有 f-因子的充要條件；1970年，Lovász[6]得到一個圖G有(g,f)-因子的充要條件.從那時起，關于圖的因子理論的結果不斷涌現.如果對于G中任意頂點u,G-u有完美匹配(即1-因子)，則稱G是因子臨界圖.在文獻[7]中,原晉江把因子臨界圖的概念推廣為獨立集可削去的因子臨界圖.如果對于G中任意和 ||V(G)有相同奇偶性的獨立集I,G-I有完美匹配，則稱圖G是獨立集可消去的因子臨界圖(簡稱為ID-因子臨界圖).ID-因子臨界圖的研究成果可參見文獻[8-12].本文刻畫了3-正則的ID-因子臨界圖，進一步完善了圖的因子理論.

2 主要結果與證明

引理1[4]若圖G有完美匹配,當且僅當對任意的S?V(G),o(G-S)≤ ||S.

由圖的正則性，在以下的討論中G中頂點的個數為偶數.

定理1 無爪的3-正則ID-因子臨界圖只有圖1中的G1,G2及G3.

證 易驗證G1,G2及G3都是無爪的3-正則ID-因子臨界圖.設G是無爪的3-正則ID-因子臨界圖，下面證明G同構于G1,G2或G3.設u是G中任一頂點，由G是無爪圖知1≤f(u)≤3.

情形1 f(u)=1.

在該情形下，2≤ ||N(2)(u)≤4.不失一般性，不妨設x1與x2相鄰，由G的正則性知x3與N(2)(u)中的2個頂點，不妨設為y1與y2相鄰，且由G無爪知y1與y2相鄰.

當 ||N(2)(u)=2時，由G是3-正則的知xi(i=1,2)與且僅與y1和y2中之一相鄰，yi(i=1,2)與且僅與x1和x2中之一相鄰，此時G?G1.

當 ||N(2)(u)=3時，不失一般性，設另有y3∈N(2)(u),且y3與x1相鄰.若x2也與y3相鄰，取I={ } x3,y3，則G-I含有奇分支，與引理1矛盾，從而x2與y3不相鄰.不妨設x2與y2相鄰，則有y1與y3必不相鄰，否則圖G含有以y3為中心的爪.從而I={ } y1,y3是G中的獨立集,且G-I含有奇分支，矛盾.

當 ||N(2)(u)=4時,不失一般性，設另有y3,y4∈N(2)(u),且y3與x1相鄰，y4與x2相鄰.斷言1 y3與y1和y2不相鄰，y4與y1和y2不相鄰.

若y3與y1相鄰，則y3與y2也相鄰，否則含爪.由G是3-正則的，有取含有奇分支,矛盾，從而有y3與y1不相鄰，類似地有y3與y2不相鄰，y4與y1,y2不相鄰.

斷言2 y3與y4不相鄰.

假設y3與y4相鄰，且y3與z∈N(3)(u)相鄰.若y4與z相鄰，取I={ } z,x3,G-I含有奇分支,矛盾；若y4與z不相鄰，取

否則，設w∈N(4)(u),由斷言2知是圖G中的獨立集，但G-I含有奇分支,矛盾.

當 |N(3)(u)|=6時，由G的正則性知與且僅與N(2)(u)中的1個頂點相鄰.不妨設y1與z1相鄰，取獨立集則G-I含有奇分支,矛盾．

情形2 f(u)=2.

不失一般性，設x1,x2均與x3相鄰.在這種情形下

情形3 f(u)=3.

顯然，此時G?K4=G3.

定理2 含爪的3-正則ID-因子臨界圖只有圖2中的G4,G5,G6,G7,G8.

證 易驗證圖2中的Gi(i=4,5,6,7,8)是含爪的3-正則ID-因子臨界圖.設G是含爪3-正則ID-因子臨界圖，下證明G同構于圖2中的Gi(i=4,5,6,7或8).不妨設G′是G中的1個爪,其中V(G′)={ } u,x1,x2,x3,u是該爪的中心.

由定理1和定理2顯然有以下推論1.

推論1 3-正則的ID-因子臨界圖有且只有8個，見圖1和圖2.

圖1 無爪的3-正則ID-因子臨界圖

[1] BONDY JA,MURTY S R.Graph theory with applications[M].London:Macmillan Press Ltd,1976.

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[3] PETERSEN J.Die theorie der regul?ren[J].AetaMath,1891,15:193-220.

[4] TUTTE W T.The factorizations of linear graphs[J].London Math Soc,1947,22:107-111.

[5] TUTTE W T.The factors of graphs[J].Can J Math,1952(4):314-328.

[6] LOVáSZ.Subgraphs with prescribed valancies[J].J Comb Theory Ser B,1970(9):391-416.

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[11] MA Fang,LIU Yan.ID-factor-critical and claw-free graphs of diameter 2[J].Southeast Asian Bulletin of Math，2009,33:879-883.

[12] LIANG Caixia,LIU Yan.ID-factor-critical claw-free Graphs[J].Pacific Journal ofApplied Mathematics,2013,4(5):253-258.

3-Regular ID-Factor-Critical Graphs

LIANG Caixia

(School of Mathematics and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

:Gis ID-factor-critical if for every independent setIofGwhich has the same parity with ||V(G), G-Ihas a perfect matching.The 3-regular ID-factor-critical Graphs are characterized.

:perfect matching;3-regular;independent set;ID-factor-critical

O157.5

A

1009-8445（2017）02-0008-04

（責任編輯：陳 靜）

2016-07-01

廣東省自然科學基金資助項目（2014A030310277）；肇慶學院教學質量工程項目（80111323）

梁彩霞（1978-），女，廣東茂名人，肇慶學院數學與統(tǒng)計學院講師，碩士.