郭全民, 段樹金

(1.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.鐵四院(湖北)工程監(jiān)理咨詢有限公司，湖北 武漢 430000)

混凝土簡支梁在均布荷載作用下的斷裂過程區(qū)及自振特性

郭全民1,2, 段樹金1

(1.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.鐵四院(湖北)工程監(jiān)理咨詢有限公司，湖北 武漢 430000)

以“段-中川模型”為基礎(chǔ)，疊加幾種無限大體和半無限大體的彈性力學(xué)問題解答，用選點(diǎn)法近似滿足邊界條件，推導(dǎo)出了均布荷載作用下含斷裂過程區(qū)混凝土簡支梁的應(yīng)力函數(shù)全場解析解；由能量法得到了梁的自振頻率，分析了裂縫長度和斷裂過程區(qū)長度對自振頻率的影響；將斷裂過程區(qū)的長度用節(jié)點(diǎn)非線性彈簧表示，采用Ansys軟件數(shù)值模型模擬了帶斷裂過程區(qū)的混凝土簡支梁，得到混凝土簡支梁典型截面的應(yīng)力分布、豎向位移、裂縫張開位移和自振頻率。理論計(jì)算結(jié)果和仿真分析結(jié)果吻合較好。

混凝土梁；斷裂過程區(qū)；應(yīng)力函數(shù)；位移函數(shù)；拉應(yīng)變軟化曲線；自振頻率

0 引言

Westergaard[1]給出均勻拉力作用下中心裂紋無限大均質(zhì)板問題的應(yīng)力函數(shù)，其解答簡潔明了，成為線彈性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。其裂紋尖端的應(yīng)力呈無窮大，張開位移呈橢圓形，在很多情況下與實(shí)際存在差異。研究表明，以混凝土為代表的準(zhǔn)脆性材料與金屬材料不同，裂縫尖端區(qū)域具有較大的斷裂過程區(qū)，用線彈性斷裂力學(xué)解決混凝土等準(zhǔn)脆性材料的斷裂問題顯然是不合適的。虛裂縫模型[2]能夠較好的反應(yīng)混凝土在外力作用下的受力和變形特點(diǎn)，但很難得到虛裂縫模型的解析解。推導(dǎo)基于虛裂縫模型的解析解具有重大的理論和實(shí)踐意義。

段、中川等[3-4]以彈性理論為基礎(chǔ)，采用加權(quán)積分法成功得到了拉力作用下中心裂紋的無限大板和含裂縫4點(diǎn)彎曲簡支梁的斷裂過程區(qū)內(nèi)黏聚應(yīng)力和張開位移并存的解析解。

本文通過加權(quán)積分后應(yīng)力函數(shù)的疊加，得到均布荷載作用下含斷裂過程區(qū)混凝土簡支梁的應(yīng)力函數(shù)，并根據(jù)能量法計(jì)算梁的自振頻率。

1 問題的應(yīng)力函數(shù)

1.1 彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)表示

對于彈性力學(xué)平面問題，應(yīng)力函數(shù)可用以下復(fù)數(shù)的形式表示

(1)

相應(yīng)的應(yīng)力和位移分量可以表示為

(2)

(3)

式中，G為剪切模量，平面應(yīng)力時(shí)κ=(3-v)/(1+v)，平面應(yīng)變時(shí)κ=3-4v，v為泊松比。

1.2 一些基本問題的應(yīng)力函數(shù)

(1)彎矩作用下帶對稱邊裂縫的無限大板。

帶對稱裂縫的無限大板無窮遠(yuǎn)處受彎矩作用，如圖1所示，其彈性解答為

(4)

(5)

采用加權(quán)函數(shù)法，消除解的奇異性，加權(quán)函數(shù)采用三角加權(quán)函數(shù)ρ=2(a+b-t)/b2, 經(jīng)過加權(quán)積分的彈性解答為

(6)

(7)

(8)

(9)

(2)均布荷載作用下簡支梁。

均布荷載作用下的簡支梁，如圖2所示，其應(yīng)力分量可用復(fù)變函數(shù)表示為

(10)

(11)

圖1 彎矩作用下無限大板

圖2 均布荷載作用下簡支梁

1.3 疊加法求問題的應(yīng)力函數(shù)

圖3所示的平面問題，可以通過疊加上節(jié)的基本應(yīng)力函數(shù)得到圖4所示帶斷裂過程區(qū)梁模型的全場解析解，應(yīng)滿足的邊界條件如下。

(1) 梁的有效高度為韌帶長度和斷裂過程區(qū)長度之和a+b。

(2) 裂縫尖端y=a處正應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度ft, 即Σσa=ft時(shí)，裂縫向前擴(kuò)展，并始終沿y軸方向。

(3) 梁截面有效高度范圍內(nèi)應(yīng)力合力為零，即ΣT1j=0。

(4) 梁端彎矩和正應(yīng)力合力為零，即ΣMj=0,ΣT2j=0；梁底一半的正應(yīng)力和切應(yīng)力的合力為零，即ΣT3j=0,ΣQj=0。

圖3 均布荷載作用下帶裂縫簡支梁

圖4 本文研究的裂縫模型

基于以上假設(shè)，方程可用矩陣表示為

(12)

由此可以得到Xi，即各基本函數(shù)在解中的權(quán)重，根據(jù)解答得到的權(quán)重，即可通過疊加得到帶裂紋簡支梁的應(yīng)力函數(shù)、撓度函數(shù)和裂紋的張開位移函數(shù)。

1.4 梁的自振頻率

基于以上得到的簡支梁在均布荷載作用下的應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)，將梁的質(zhì)量等效為均布荷載，即可由以下公式計(jì)算含切口斷裂過程區(qū)簡支梁的第一自振頻率，

(13)

式中，Y(x)為梁的豎向位移函數(shù)。

1.5 算例

一混凝土簡支梁，高度H=8 cm，寬度B=7.5 cm，長度L=30 cm，裂縫長度1 cm，混凝土抗拉強(qiáng)度ft=5.6 MPa，泊松比v=0.2，彈性模量E=28 GPa。

由應(yīng)力函數(shù)得到的沿?cái)嗔秧g帶正應(yīng)力分布如圖5所示，從圖5可以看出，應(yīng)力奇異性消失，應(yīng)力最大值出現(xiàn)在斷裂過程區(qū)尖端處，同時(shí)滿足正應(yīng)力的合力為零的條件；真實(shí)裂紋面上的正應(yīng)力不為零是誤差所致。

斷裂過程區(qū)張開位移曲線如圖6所示，尖端呈閉合形狀。

圖5 沿?cái)嗔秧g帶σx分布

圖6 斷裂過程區(qū)張開位移曲線

根據(jù)圖5和圖6，得到的拉應(yīng)變軟化曲線如圖7所示。

將撓度擬合成四次曲線，由式(12)得梁自振頻率ω=0.101 Hz。

假設(shè)斷裂過程區(qū)尺度b=1.0 cm，裂縫長度與自振頻率的關(guān)系如圖8所示，從圖8中可以看出，隨著裂縫深度的增長，自振頻率呈非線性的減小，非線性特點(diǎn)明顯。

圖7 拉應(yīng)變軟化曲線

圖8 韌帶尺度與自振頻率關(guān)系曲線(b=1 cm)

2 有限元仿真分析

運(yùn)用Ansys軟件建立了仿真模型，仿真模型中包含了裂縫和斷裂過程區(qū)，斷裂過程區(qū)用彈簧模擬，彈簧剛度由計(jì)算所得。混凝土簡支梁受均布荷載，端部施加鉸約束，施加在梁端高度的一半的位置附近，混凝土模型采用plan42單元，斷裂過程區(qū)的彈簧用combin14單元，設(shè)置為軸向受力彈簧，混凝土簡支梁的單元厚度取單位厚度，單元為0.1 cm×0.1 cm的四邊形單元,整個(gè)模型共分為24 140個(gè)單元。

將斷裂過程區(qū)的長度b平均分成n等份，每段的長度h=b/n，同時(shí)假設(shè)每一小段上的應(yīng)力分布呈直線分布，但斜率不同，從而得到第i段上的應(yīng)力的合力為

(14)

從而根據(jù)胡克定律可以計(jì)算出第i節(jié)點(diǎn)上的彈簧剛度如下

(15)

斷裂過程區(qū)張開位移呈曲線形狀，本文用折線代替曲線，采用5個(gè)彈簧模擬，彈簧從上到下的編號為1,2,3,4,5，根據(jù)應(yīng)力和水平位移計(jì)算出彈簧的剛度值如表1所示。

表1 斷裂過程區(qū)彈簧剛度 N/mm

圖9 沿?cái)嗔秧g帶理論計(jì)算與仿真分析正應(yīng)力分布的比較

仿真分析得到的混凝土簡支梁的最大撓度為0.004 548 cm，頻率為0.098 222 Hz。

將理論計(jì)算出的裂縫及其延長線上的正應(yīng)力分布與仿真分析的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖9所示，二者吻合良好。

3 結(jié)論

通過以上研究發(fā)現(xiàn)，得出了如下的結(jié)論：

(1)基于Duan-Nakagawa模型，得到了含斷裂過程區(qū)的混凝土簡支梁的全場解析解，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)計(jì)算出裂紋及其延長線上應(yīng)力符合虛裂紋模型的應(yīng)力分布，應(yīng)力邊界條件基本滿足。

(2)理論計(jì)算方法得到了裂紋張開位移曲線和軟化曲線，張開位移曲線在裂紋尖端呈緩慢收縮于零的閉合形狀，軟化曲線整體上是一條下凹的曲線，開始隨應(yīng)力降低，位移減小較快，到達(dá)裂紋尖端附近位置，位移緩慢收縮至零。

(3)含裂縫梁的韌帶長度對梁的自振頻率影響大，隨著韌帶長度減小，自振頻率降低較快，明顯呈非線性；而斷裂過程區(qū)長度對結(jié)構(gòu)自身頻率的影響較小。

[1]WESTERGAARD H M. Bearing pressures and crack[J]. J.Applied Mech. Transactions of the ASM, 1939, 33(A):49-53.

[2]HILLERBORG A. Analysis of fracture by means of the fictitious crack model.particularly for fiber-reinforced concrete[J]. Int J Cement Compos, 1980(2):177-188.

[3]DUAN S J, NAKAGAWA K. Stress functions with finite stress concentration at the crack tips for central cracked panel[J], Engng Fracture Mech., 1988, 29(5):517-526.

[4]DUAN SHU JIN, NAKAGAWA K. A mathematical approach of fracture macromechanics for strain-softening material[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1989(34):1175-1182.

Fracture Process Zone and Natural Vibration Characteristics ofConcrete Beam Under Uniform Distributed Forces

Guo Quanmin1，2, Duan Shujin1

(1.School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;2.China Railway Siyuan (Hubei) Engineering Supervision Consulting Co.,Ltd , Wuhan 430000, China)

The analytical solution of a simply supported beam under uniform distributed force with a fracture process zone is deduced based on the “Duan-Nakagawa's model” by superposition of several solutions of elastic mechanics problems, and its natural vibration frequency is calculated based on the energy method. The influence of crack length and fracture process zone length on the natural frequency is analyzed. The FEA software ANSYS is used to simulate the fracture process for a simply supported concrete beam, in which, the cohesive forces in the fracture process zone are represented by the nonlinear springs. The stress distribution, the vertical displacement, the crack opening displacement, and the natural vibration frequency of the beam are demonstrated, which are in good agreement with the theoretical calculation.

concrete beam；fracture process zone；stress function；displacement function；tensile strain softening curve；natural vibration frequency

2016-05-20 責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2017.02.02

河北省自然科學(xué)基金(A2015210029)，河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(ZH2012040)

郭全民(1987-),男,碩士,助理工程師,研究方向?yàn)闃蛄号c結(jié)構(gòu)工程。E-mail：247524924@qq.com

TU375.1

A

2095-0373(2017)02-0006-05

郭全民,段樹金.混凝土簡支梁在均布荷載作用下的斷裂過程區(qū)及自振特性[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,30(2):6-10.