張鵬雷

(西北大學)

熱傳導方程的解的衰減性質研究

張鵬雷

(西北大學)

討論了熱傳導方程的解的衰減狀態(tài)估計問題，主要用兩種方法說明熱傳導方程的解在大時間下是漸進自相似的.一種直接建立在解的表達式上;然而這種方法對非線性偏微分方程一般不適用.另一種方法通過說明重整解的函數(shù)列的收斂性，利用熱傳導方程結構，以解的標度變換為基礎，思想可被應用在非線性問題中.

熱傳導方程;Gauss核;衰減估計;漸近性;標度變換

1 時間趨于無限時熱傳導方程的解的性質

1.1 解的衰減估計

考慮熱傳導方程

考慮解u滿足(1)，初始溫度分布為

(3)的解可以表示為［1］

關于x1，….xn和t＞0任意階可微，滿足(1).滿足(2).因此u是(3)的解.

定理1.1設f在上有界且一致連續(xù)，則當t→0(t＞0)時Gt*f一致收斂到f，即

猜測當t→∞ 時，u(x，t)→0.

命題1.1設(4)是熱傳導方程(3)的解，則

證明對于(4)，t＞0，有

通過(5)，知t→∞ 時，u至少具有t－n/2的衰減率.

下面討論|u|的積分或它的指數(shù)次是否衰減.

1.2 Lp－Lq估計

定理1.2設u((4)式)是熱傳導方程(3)以f為初值的解，1≤q≤p≤∞，則

u的Lp范數(shù)的衰減率被t的小于等于0次方所估計.當p=∞，q=1時，(6)即為(5).

證 明‖u‖p(t) = ‖Gt*f‖p≤‖Gt‖r‖f‖q，t＞0.

只有當q=1，p=∞ 時r=∞，(6)即為(5).

接下來討論t→∞時u的導數(shù)是否衰減到0.

定理1.3設(4)是熱傳導方程(3)以f為初值的解，1≤q≤p≤∞，存在一個只取決于p，q，n的常數(shù)C=C(p，q，n)有

存在一個常數(shù)C=C(p，q，n，k，α)有

k是一個自然數(shù)或0，α是一個復合指數(shù)(α1，…，αn);αi(1≤i≤n)是一個自然數(shù)或0.從(7)，(8)和(9)中可知對空間變量微分一次后，t的指數(shù)增加了，對時間t微分一次后，t的指數(shù)增加了1.

1.3 關于時間趨于無限時的解的性質的定理

定理4設u((4)式)是熱傳導方程(3)以為初值的解，則

其中g(x，t)=Gt(x).

這個定理證明當t→∞，m≠0時，u與mg有著相似性.當m=0時，(10)表示t→∞ 時，‖u‖∞(t)比t－n/2趨向于0更快.

證明

利用積分形式的中值定理，有

利用這個不等式及(12)，有|hη(x－y)－h(huán)η(x)|≤2|y|η1/2C1.

應用到(11)中有

由于這個不等式的右端與x無關，兩端都取上確界有

2 方程的結構和空間變量的衰減估計

對于一類非線性問題，它的解一般不能得到一個直接表達式.下面將給出一種建立在方程結構上的證明.

2.1 尺度變換下的性質和漸近公式

命題2.1設u=u(x，t)是一個實值函數(shù)，在一個開集滿足熱傳導方程?tu－ Δu=0，即

對任意的非零實數(shù)λ，定義函數(shù)

uλ(x，t)=u(λx，λ2t)，則下面的性質成立

(i)函數(shù) uλ在: (λx，λ2t)∈Q}上滿足熱傳導方程.

(ii)對任意非零實數(shù)μ，函數(shù)μu在Q上滿足熱傳導方程［7］.

命題2.2漸近公式(10)等同于［8］

證明對于k2=t，有

從而獲得了(13)和(10)的等同性.

基于這個事實，為了了解(x，t)在無窮處u的性質，有必要研究uk(x，t)在k→∞時的極限.

公式(13)等同于漸近公式(10)，表明當k→∞ 時函數(shù)列{uk}收斂到自相似解mg(t= 1)［9］.

2.2 空間變量的衰減估計

命題2.3u是(3)中給出的熱傳導方程的解，初值為，設存在一個以原點為圓心、以j0＞0為半徑的開球Bj0滿足suppf?Bj0.則對η∈(0，1)，有

成立.

證明通過估計解的表達式

對|y|≤j0，如果η≤t≤1/η，有

3 熱傳導方程的解的全局Lq－L1估計

對所有的t＞0和1≤q≤∞ 都成立.

當v≡0時，這種估計對應于q=1，k=4π是的熱傳導方程的Lp－Lq估計(5).這個估計重要的是可不依賴于k的空間函數(shù)v，如果div v= 0，即使當t→0時v發(fā)散［11］.

［1］Giga M，Giga Y，Saal J.Nonlinear Partial Differential Equations［M］.2010.

［2］Giga Y，Kamble T.Large time behavior of the vorticity of two dimensional viscous flow and its application to vortex formation.Comm Math Phys，117，1988:459－568.

［3］Evans L C.Partial Differential Equations［M］.1998.

［4］Sverak.Partial Differential Equations［M］.2010.

［5］Ockendon J，Howison S，Lacey A，et al.應用偏微分方程［M］.2003.

［6］Bleecker D，Csordas G.Basic Partial Differential Equations［M］.1996.

［7］邢家省，李爭輝.熱傳導方程初值問題解的若干性質［J］.北京:北京航空航天大學.

Study on the Attenuation Properties of the Solution of Heat Conduction Equation

Zhang Penglei

(Northwestern University)

In this paper，the decay state estimation of the solution of the heat conduction equation are discussed.The solution of the heat conduction equation is asymptotically self similar at large time by two methods.One is directly based on the expression of the solution;however，this method is not applicable to nonlinear partial differential equations.The other method can be applied to the nonlinear problem by describing the convergence of the function of the solution and the structure of the heat conduction equation.

Heat conduction equation;Gauss kernel;decay estimate;Asymptotic behavior;Scaling transformation

O175

:A

:1000－5617(2017)01－0025－04

(責任編輯:李家云)

2016－12－22