王永娟，孫麗男

(黑河學(xué)院)

匯率服從跳擴散過程的外匯期權(quán)定價

王永娟，孫麗男

(黑河學(xué)院)

在匯率過程為分形跳—擴散過程，執(zhí)行價格為常數(shù)的條件下，構(gòu)造出匯率函數(shù)受分形Brown運動和跳—擴散過程共同作用的模型，得到了執(zhí)行價格為常數(shù)的外匯期權(quán)的定價公式.

分形跳—擴散;外匯期權(quán);匯率;保險精算定價

0 引言

近年來，外匯期權(quán)作為期權(quán)家族的一員，受到了廣泛的關(guān)注.自從Garman和Kohihagan［1］在1983年首次提出了外匯期權(quán)定價的G_K模型后，很多學(xué)者對此模型進行深入研究.劉倩，劉新平［2］討論了常利率時的外匯期權(quán)的保險精算定價.張敏，李詠［3］等人研究了股價服從幾何分形布朗運動，常利率的外匯歐式期權(quán)的定價.該文在匯率過程為分形跳—擴散過程并且執(zhí)行價格確定的條件下，運用保險精算方法，得到了歐式外匯期權(quán)的定價公式.

1 分形布朗運動介紹

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個概率空間，Hurst指數(shù)為H(0＜H≤1)的連續(xù)Gauss過程BH={BH(t): t≥0}，滿足

(1)BH=0，E［BH(t)］=0對于所有t≥0成立;

(2)BH(α)=αHBH(·)

2 外匯期權(quán)定價模型

設(shè){BH(t):t≥0}為概率空間上的分形Brown運動，其中.假設(shè)分形外匯市場滿足［4］: (1)沒有任何交易費用;(2)國內(nèi)外市場無風(fēng)險利率都是常數(shù);(3)資產(chǎn)的交易時間是連續(xù)的; (4)匯率S(t)滿足

其中N(t)表示S(t)在［0，t］內(nèi)跳躍的次數(shù)，它服從泊松過程;J(t)是的隨機變量.{BH(t):t≥0}是分形布朗運動，假設(shè)1/2＜H≤1，J(ti)為第i次跳躍，i=1，2，…，且eJ(t)－1、{BH(t):t≥0}與{N(t):t≥0}之間都相互獨立.

引理1［5］假設(shè)β(t)為t時刻S(t)的瞬時收益率t∈［0，T］，外匯價格過程S(t)在［0，T］產(chǎn)生期望收益率為且滿足

引理2［6］設(shè)外匯價格為S(t)，執(zhí)行價格為K、到期日為T的歐式看漲價格為C(K，T)和歐式看跌外匯期權(quán)為P(K，T)，則外匯期權(quán)在t=0時無紅利支付的歐式外匯期權(quán)保險精算定價為

其中IA和IB為條件A、條件B的示性函數(shù)，且本國債券價格及國外債券價格分別滿足

則上述結(jié)果被執(zhí)行的充要條件分別是

條件A

條件B

3 匯率過程為分形跳—擴散過程的歐式外匯期權(quán)定價

引理3根據(jù)Ito公式［7］，式(1)解為

其期望為

定理假設(shè)執(zhí)行價格為K，到期日為T的外匯價格S(t):t≥0為式(1)，本國債券價格為式(2)，外國債券價格為式(3)，則

(1)歐式看漲外匯期權(quán)價格C(K，T)為

(2)歐式看跌外匯期權(quán)價格P(K，T)為

(3)平價公式為

其中

證明由Ito公式，式(1)存在唯一解

［1］Ganman M B，Kohlhagen S W.Foreign currency option valucs［J］.Journal of lntemational Money and Finance，1983，2(3):37－41.

［2］劉倩，劉新平.外匯期權(quán)定價的新方法—保險精算方法［J］.貴州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，21(1):43－45.

［3］張敏，李昶，何穗.幾何分形Brown運動的外匯期權(quán)定價［J］.湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，21(6):75－77.

［4］武文娜.分?jǐn)?shù)—跳擴散環(huán)境下的外匯期權(quán)定價模型［J］.通話師范學(xué)院學(xué)報，2011，32(8):12－13.

［5］閆海峰，劉三陽.帶有Poisson跳的股票模型的期權(quán)定價［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，20(2):35－40.

［6］王靖宇.外匯期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型研究［D］.哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

［7］閆海峰，劉三陽.廣義Black—Scholes模型期權(quán)定價新方法—保險精算方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2003，24(7): 730－738.

The Exchange Rate of Foreign Exchange Option Pricing in Jump Diffusion Process

Wang Yongjuan，Sun Linan
(Heihe College)

In this paper，a model is constructed，whose exchange rate function is influnced by the fractal Brown motion，jump－diffusion process under the exchange rate process is fractal jump－diffusion process and executive price is constant，and a pricing formula of foreign exchange reset options is obtained when the executive price is constant.

Fractal jump－diffusion;Foreign exchange reset options;Exchange rate;Actuarial pricing

F830.92

:A

:1000－5617(2017)01－0022－03

(責(zé)任編輯:季春陽)

2016－12－29