鄭泳濠

【摘要】對于數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)，不同時期有不同的理解，目標(biāo)不同，教學(xué)思路也不同，學(xué)生的收獲自然也不同.下面以三次圓的面積公式推導(dǎo)的教學(xué)為例，談?wù)勔痪€數(shù)學(xué)教師對“教什么”的思考的重要性，它是所有教學(xué)行為的基礎(chǔ)，比對“怎么教”的思考更重要.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；圓的面積

圓的面積計算是小學(xué)六年級上學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一種曲線圖形的面積計算，教學(xué)內(nèi)容包括對圓面積概念的理解、公式的推導(dǎo)、運用公式求圓的面積、環(huán)形的面積等.這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)相當(dāng)重要，是滲透把曲線圖形轉(zhuǎn)化成直線圖形來研究的方法的好題材，也是滲透極限思想的好題材.

一教圓的面積公式推導(dǎo)——借助多媒體課件

教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識圓面積的概念，推導(dǎo)圓面積公式，運用公式計算圓面積.圓面積公式的推導(dǎo)是一節(jié)課的一部分內(nèi)容.過程簡介如下：

1.學(xué)生自學(xué)教材.

2.課件演示：把一個圓平均分成16份，用紅色表示其中的8份，用藍(lán)色表示另外的8份，然后把兩個8份移動拼成一個近似的長方形.課件形象生動，在適當(dāng)時候還有聲音提示引起注意.

3.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察拼出來的長方形的長、寬分別是多少，邊引導(dǎo)回答邊完成下面板書：

由于課前的預(yù)習(xí)，加上教師的暗示引導(dǎo)，學(xué)生（特別是學(xué)優(yōu)生）一般都能按教師的意愿講出以上的推導(dǎo)過程.圓面積公式的推導(dǎo)就大功告成了.

效果情況反饋：

在運用圓的面積公式解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生記不住公式或與圓的周長公式混淆.而且大部分學(xué)生面對以下填空題一臉茫然，能夠填對的只有那么幾名學(xué)優(yōu)生.

如果把圓分成（）等份，可以拼成一個近似平行四邊形.拼成的這個平行四邊形的（）相當(dāng)于圓（）的一半，這一半用字母表示是（），它的（）就是圓的（），所以圓的面積公式是（）.

二教圓的面積公式推導(dǎo)——以學(xué)生為主體，動手操作

教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識圓面積的概念，推導(dǎo)圓面積公式，運用公式計算圓面積.圓面積公式的推導(dǎo)是一節(jié)課的一部分內(nèi)容.過程簡介如下：

1.布置課前預(yù)習(xí).課前引導(dǎo)學(xué)生看教材的推導(dǎo)過程，然后布置學(xué)生回家按教材要求完成推導(dǎo)過程，具體的預(yù)習(xí)要求如下：

（1）畫兩個一樣大小的圓，剪下來（也可以用附頁中的圓）.

（2）把其中一個圓平均分成若干份（說明分的份數(shù)越多越好，最好是偶數(shù)份）.

（3）按順序把各份編號.

（4）把這些近似的等腰三角形拼成一個近似的長方形（也可以拼成其他學(xué)過的圖形）.

2.課堂上推導(dǎo)公式的過程：

（1）同位合作，按書上的方法把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形，教師巡視完成情況.大部分學(xué)生都能順利拼出這樣的圖：

（2）讓學(xué)生以小組為單位，看有什么發(fā)現(xiàn)，如果要求這個近似平行四邊形的面積，該怎么求？

（3）由學(xué)生自由匯報各小組的研究成果（在學(xué)生匯報前選一個拼得好的圖貼在黑板上），教師根據(jù)匯報整理板書（具體跟“一教”中的板書相同）.經(jīng)過幾名學(xué)生的發(fā)言，把書上的推導(dǎo)過程講清楚.

（4）看著板書，再讓學(xué)生把思維過程理順，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生知道可以把曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形來研究.

（5）教師巡視時發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生把圓分成了8等份、32等份……，于是讓不同分法的學(xué)生都展示自己拼的平行四邊形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，每一份就會越細(xì)，拼出來的圖形就會越接近于長方形.這樣用課堂生成的具體實例來滲透抽象的極限思想.

（6）演示課件，加深認(rèn)識.

（7）推導(dǎo)方法拓展.教師提問：除了上面的拼法，還有別的拼法嗎？

教師巡視發(fā)現(xiàn)，有個別學(xué)生拼出了三角形或梯形.教師再提出問題：假如這樣拼，能推導(dǎo)出圓的面積公式嗎？學(xué)生再度進(jìn)入了探究學(xué)習(xí)中.

下面是學(xué)生拼出的兩個圖和推導(dǎo)過程.

有一名學(xué)生還推導(dǎo)出用直徑來計算的圓面積公式：S=114πd2.

（8）出示以下填空題，大部分學(xué)生能填對.

如果把圓分成（）等份，可以拼成一個近似平行四邊形.拼成的這個平行四邊形的（）相當(dāng)于圓（）的一半，這一半用字母表示是（），它的（）就是圓的（），所以圓的面積公式是（）.

（9）總結(jié).告訴學(xué)生，今天所用數(shù)學(xué)思想方法是把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知問題來研究（即把曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形來研究），把學(xué)生的空間觀念引入一個新的領(lǐng)域.

效果情況反饋：

由于這節(jié)課讓學(xué)生合作探究的時間比較長，因此，沒完成計劃內(nèi)容——用公式計算圓的面積，但學(xué)生對圓面積公式的理解還是比較深入的.后續(xù)的應(yīng)用練習(xí)中，學(xué)生把面積與周長混淆的現(xiàn)象不多.但是，當(dāng)堂的教學(xué)內(nèi)容沒有完成，而能接受推導(dǎo)公式拓展部分的又只是少數(shù)學(xué)生.

三教圓的面積公式推導(dǎo)——關(guān)注數(shù)學(xué)思考方法

教學(xué)目標(biāo)：探索并掌握圓的面積計算公式；體會和掌握轉(zhuǎn)化、推理、極限等數(shù)學(xué)思想方法；獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.計劃用兩節(jié)課來達(dá)成目標(biāo).

第一節(jié)課：圓面積公式推導(dǎo)的準(zhǔn)備課.

完成幾個任務(wù)：

1.引導(dǎo)學(xué)生回顧以前研究多邊形面積的方法.

2.引導(dǎo)學(xué)生思考圓的面積如何用轉(zhuǎn)化的方法來研究.

3.引導(dǎo)看明白教材的剪拼方法.

4.出示教師預(yù)先分好的圓，引導(dǎo)認(rèn)識分出來的小扇形（近似的等腰三角形）.

5.布置預(yù)習(xí)任務(wù)：

（1）畫兩個一樣大小的圓，剪下來（也可以用附頁中的圓）.

（2）把其中一個圓平均分成若干份（說明分的份數(shù)越多越好，最好是偶數(shù)份）.

（3）按順序把各份編號.

（4）看懂書中的推導(dǎo)公式方法，并自己嘗試完成推導(dǎo)過程.

（5）除了書中的方法，還有沒有其他方法？

第二節(jié)課：圓面積公式推導(dǎo)課.

1.四人小組交流課外拼成的近似長方形，說說怎樣根據(jù)拼出的圖形算出圓的面積，教師巡視，了解學(xué)生完成情況.

2.請一些小組匯報教材上的推導(dǎo)方法，教師在學(xué)生回答的過程中給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

3.除了教材中的方法，還有沒有其他方法？四人小組交流一下.

教師巡視發(fā)現(xiàn)，有個別學(xué)生拼出了三角形或梯形（如“二教”中的圖），但還不會計算拼出的圖的面積；有個別學(xué)生認(rèn)為不需要拼，直接求出一個小扇形（近似的等腰三角形）的面積再乘分出的個數(shù)即可.

教師及時肯定這些學(xué)生的想法，展示他們拼出的三角形和梯形，并提出問題：拼出的三角形或梯形的面積跟圓的面積有什么關(guān)系？能不能求出三角形（或梯形）的面積，然后求出圓的面積？

4.同位合作，嘗試求拼出的三角形或梯形的面積；如果直接求出一個小扇形（近似的等腰三角形）的面積再乘分出的個數(shù)又該怎么算？

5.提問交流計算過程，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

6.利用多媒體課件的演示，展示把圓平均分成32份、64份、128份甚至更多份的情況，讓學(xué)生直觀地看到圖形的變化趨勢，體會極限思想.

效果情況反饋：

這樣教學(xué)的效果非常好，在之后的應(yīng)用練習(xí)中，全班學(xué)生基本都不會把周長和面積混淆，“磨刀不誤砍柴工”，雖然這里多用了一節(jié)課，但學(xué)生真正理解了圓的面積，運用公式更順暢，節(jié)省的就不是一節(jié)課了.到后面學(xué)習(xí)環(huán)形、外圓內(nèi)方和外方內(nèi)圓時，前面兩節(jié)課所滲透的思想方法、所積累的活動經(jīng)驗起到了作用，明顯感覺學(xué)生能積極參與探究過程，并知道如何去研究.而且中等以上的學(xué)生都能正確解答以下與圓的面積公式推導(dǎo)有關(guān)的題目：

題1：圖1中圓的周長是12.56厘米，圓的面積正好等于長方形的面積，求陰影部分的面積.

題2：在圖2中，已知長方形的面積與圓的面積相等，一只螞蟻沿著陰影部分的邊沿，從A點出發(fā)，按A→B→C→D的順序，最后回到A點.如果這只螞蟻每分鐘爬20 cm，一共要用多少分鐘？

分析反思三次教學(xué)圓的面積公式推導(dǎo)，我有以下收獲.

1.對“教什么”的思考非常重要.

“一教”“二教”只關(guān)注知識與技能層面的目標(biāo)，目標(biāo)是讓學(xué)生會做題，但由于沒有真正理解知識的本質(zhì)，所以往往事與愿違；“三教”更關(guān)注了數(shù)學(xué)思考、問題解決層面的目標(biāo)，更符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的理念，更能發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，做題能力自然得到提升.

2.“怎么教”的效果取決于“教什么”的正確定位.

“一教”和“二教”教學(xué)方式完全是不同的，但由于“教什么”沒改變，所以即使把學(xué)生當(dāng)成了學(xué)習(xí)主體，教學(xué)效果也還是不理想.“二教”和“三教”形式上是一樣的，都是提供機(jī)會讓學(xué)生動手操作，自主探究學(xué)習(xí)，但由于“教什么”的定位不同，教學(xué)過程的側(cè)重點也有所不同，因此，收到不同的效果.具體體現(xiàn)在：

（1）轉(zhuǎn)化思想需要有意滲透.“二教”和“三教”的整個過程都滲透了轉(zhuǎn)化思想，但“三教”的滲透是教師的有意行為，因此，效果更明顯.

（2）推理能力需要搭建階梯.“二教”的推理能力訓(xùn)練完全靠學(xué)生自己的原有水平，因此，能真正接受多種推導(dǎo)方法的只有個別學(xué)優(yōu)生；而“三教”，由于教師有意識要讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，要訓(xùn)練學(xué)生的推理能力，因此，專門安排了一節(jié)準(zhǔn)備課，為學(xué)生的推理搭起了階梯，使學(xué)生的推理成為可能.堂上還充分利用學(xué)生學(xué)習(xí)過程生成的資源，給學(xué)生再次提供推理能力訓(xùn)練的機(jī)會，起到鞏固和拓展教材上方法的作用，對已掌握教材上方法的學(xué)生是一次運用推理方法的過程，對還不掌握教材上方法的學(xué)生則再次提供學(xué)習(xí)素材讓其學(xué)習(xí)，因此，能使更多的學(xué)生受益.

（3）極限思想需要形象演示.極限思想對于小學(xué)生來說比較抽象.“二教”是利用學(xué)生資源來讓學(xué)生感受，素材來自于學(xué)生，使學(xué)生感到親切，效果也不錯，但對于極限思想的理解還不夠形象，因此，“三教”專門利用多媒體課件的演示，更形象，效果更好.

（4）動手操作的目標(biāo)是積累活動經(jīng)驗.“二教”中，教師把動手操作的目標(biāo)指向拼出三個圖，教師的提問是：“還有別的拼法嗎？”而“三教”中，教師把動手操作作為活動的基礎(chǔ)，活動的目標(biāo)指向推導(dǎo)圓的面積計算公式，體驗操作活動的價值，有效地積累活動經(jīng)驗，教師的提問是：“還有沒有其他方法？”兩個不同的提問，給了學(xué)生不同的思考方向，效果自然就不同.

數(shù)學(xué)新課程實施應(yīng)以學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的養(yǎng)成為核心目標(biāo)，課堂教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)養(yǎng)成的必要條件.而數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.因此，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，一定要研究教材，把“教什么”弄清楚，明確每個章節(jié)內(nèi)容所肩負(fù)的責(zé)任，用好數(shù)學(xué)素材組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動，提供機(jī)會讓學(xué)生獲得活動經(jīng)驗，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).