林素平

【摘要】“一題多變”相信對于許多教師而言，都是不陌生的詞語，并且我們教師經(jīng)常在課堂上廣泛地運(yùn)用。一題多變側(cè)重點(diǎn)在于對某個(gè)問題或某類問題進(jìn)行多角度、多方位、多層次的探究，可以極大地幫助了對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也為創(chuàng)新提供了幫助。

【關(guān)鍵詞】一題多變 效率 發(fā)散思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）20-0119-02

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人之一，在教學(xué)實(shí)踐中占主導(dǎo)作用，在課堂上如何去“導(dǎo)”占主體地位的學(xué)生進(jìn)行高效地學(xué)習(xí)，經(jīng)常是教師們探討的熱門話題。著名教育家陶行知先生說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)”；因此我們的教學(xué)重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而且我們教師也經(jīng)常在教學(xué)中一點(diǎn)一滴的有意識地做。

教學(xué)中，“一題多變”是學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)的一種有效方法之一，進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊活}多變，可以幫助學(xué)生打破思維定勢，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。課堂教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)多進(jìn)行變式訓(xùn)練是極有必要的，它能帶來諸多益處。

下面是學(xué)生對在課堂上遇到“直線到底有多少條” 的例題及其變式題的做法。

例1 過點(diǎn)M（2，1）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且S△OPQ=4，則符合條件的直線l有 （ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

【解答】解：設(shè)直線l的方程為：y-1=k（x-2），則P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ=4= 2- 1-2k，化為： -4=±8，

化為：4k2-12k+1=0，4k2+4k+1=0，

解得k= ，或k=- .

因此符合條件的直線l有3條。

故選：C.

例2過點(diǎn)M（2，1）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且S△OPQ=8，則符合條件的直線l有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

學(xué)生這時(shí)很有疑問了，難道這種題型有規(guī)律？

答案是肯定的，根據(jù)上面的解法很快地得出結(jié)論符合條件的直線有4條，學(xué)生這時(shí)又想，何時(shí)滿足條件的直線是2 條，3條，4條？有沒有可能出現(xiàn)1條或不存在直線的情況？同學(xué)的學(xué)習(xí)好奇心現(xiàn)已被我們調(diào)動(dòng)，我們老師趁熱打鐵說我們來研究一下，先畫畫圖，如圖：

連結(jié)OM為直線l，當(dāng)l分別按逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至m和n時(shí)，直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積從0逐漸增加至無窮大，因此，無論直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積是多少，所求的直線至少有兩條，且k>0，當(dāng)k<0時(shí)是否有直線滿足條件？

【解答】解：設(shè)直線l的方程為：y-1=k（x-2），則P（2- ，0），Q（0，1-2k）.

∴S△OPQ= 2- 1-2k，化為： -4=-2S，

化為：4k2+（2S-4）k+1=0，

當(dāng)△=（2S-4） -16=0k1+k2=- <0，k1·k2= >0方程只有一個(gè)負(fù)根，此時(shí)k<0的滿足條件的直線有一條，因此符合條件的直線一共有3條。

當(dāng)△=（2S-4） -16>0k1+k2=- <0，k1·k2= >0即S>4時(shí)，方程有2個(gè)不等的負(fù)根，此時(shí)k<0的滿足條件的直線有2條，因此符合條件的直線一共有4條。

學(xué)生這時(shí)想探究，過一點(diǎn)M（a，b）其中a≠0，b≠0的直線l，與坐標(biāo)軸圍成的面積為S的直線到底有多少條？

【解答】解：設(shè)直線l的方程為：y-b=k（x-a），

則p（a- ，0），Q（0，b-ak）

∴S△OPQ= a- ·b-ak=S

化為： =±2S，

化為：a2k2-（2S+2ab）k+b2=0（1）或a2k2+（2S-2ab）k+b2=0 （2）

由（1）得△1=（2S+2ab）2-4a2b2=4S（S+2ab）

由（2）得△2=（2S-2ab）2-4a2b2=4S（S-2ab）

①當(dāng)ab≥0時(shí)，△1>0，方程（1）有兩個(gè)不等的實(shí)根

當(dāng)S>2ab時(shí)，△2>0，方程（2）也有兩個(gè)不等的實(shí)根

即當(dāng)S>2ab≥0時(shí)，此時(shí)滿足條件的直線有4條

當(dāng)S=2ab，△2=0，方程（2）也有兩個(gè)不相等的實(shí)根，此時(shí)滿足條件的直線有3條

當(dāng)0

②當(dāng)ab≤0時(shí)，△2>0，方程（2）有兩個(gè)不等的實(shí)根

當(dāng)S>-2ab時(shí)，△1>0，方程（1）也有兩個(gè)不等的實(shí)根

即當(dāng)S>-2ab≥0時(shí)，此時(shí)滿足條件的直線有4條

當(dāng)S=-2ab時(shí)，△1=0，方程（1）也有兩個(gè)不相等的實(shí)根，此時(shí)滿足條件的直線有3條

當(dāng)0

綜上所述，滿S>2ab時(shí)，滿足條件的直線有4條

當(dāng)S=2ab時(shí)，滿足條件的直線有3條

當(dāng)S<2ab時(shí)，滿足條件的直線有2條

這樣，教師通過引導(dǎo)學(xué)生探究直線有多少條，對題目進(jìn)行一題多變，得到一系列“新”的題目，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生探討問題的求知欲，找到歸納一類問題解題方法與技巧，提高學(xué)生對學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，同時(shí)也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和自主探究能力，教師提高了課堂教學(xué)效率，也培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性。

參考文獻(xiàn)：

[1]李學(xué)數(shù)《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》第一冊 P10

[2]上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 發(fā)行時(shí)間： 2005年01月01日