胡夢(mèng)堯+陳天宇

[摘 要] 有理數(shù)是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，其概念與運(yùn)算法則是發(fā)展學(xué)生數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、類比歸納能力的重要途徑. 本文對(duì)有理數(shù)及其四則運(yùn)算的產(chǎn)生和發(fā)展做了全面而深刻的剖析，并與教材的內(nèi)容呈現(xiàn)方式進(jìn)行了對(duì)比，論述了數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)（SMK）對(duì)教師把握教材、理解學(xué)生的促進(jìn)作用.

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù)；四則運(yùn)算；教學(xué)思考

有理數(shù)作為學(xué)生初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始內(nèi)容，承擔(dān)著溝通小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的重任. 總覽全國主流的教材，不難發(fā)現(xiàn)有理數(shù)主要是通過生活實(shí)例引入的，讓學(xué)生感知生活中存在一類比0小、表達(dá)含義和正數(shù)相反的數(shù). 在講述有理數(shù)的四則運(yùn)算法則時(shí)，教材多是從具體的運(yùn)算例子出發(fā)，讓學(xué)生分析比較其中的變化趨勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，從而發(fā)現(xiàn)有理數(shù)四則運(yùn)算的“規(guī)律”. 由于該部分內(nèi)容較為抽象，且理論性較強(qiáng)，缺乏實(shí)際生活背景，教師在授課時(shí)，很難有所創(chuàng)新. 倘若嚴(yán)格按照教材的呈現(xiàn)方式照本宣科，難免會(huì)使學(xué)生把規(guī)律作為法則死記硬背. 即使學(xué)生能夠準(zhǔn)確地完成有理數(shù)的計(jì)算，這樣的教學(xué)也是無益于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)掘的. 事實(shí)上，有理數(shù)及其四則運(yùn)算蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)抽象思想和文化內(nèi)涵，教師若能理清其發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)，就能很好地把握學(xué)生學(xué)習(xí)過程的認(rèn)知沖突，從而探索出設(shè)計(jì)教學(xué)的最佳切入點(diǎn)，做到步步為營.

加法與自然數(shù)集

在皮亞諾的算數(shù)公理體系中，最先被抽象出的數(shù)是1. 在“后繼”概念的驅(qū)使下，1的后繼為2，2比1大1，即2=1+1；2的后繼為3，3比2大1，即3=2+1……有了后繼的概念，不僅誕生了所有的有理數(shù)，也定義了加法. 換言之，加法是“+1”運(yùn)算的復(fù)合，即對(duì)于任意的a∈N，b∈N，a+b表示在a后面增加b個(gè)后繼的序數(shù)，如果這個(gè)序數(shù)是c，則稱c為a與b的和，記a+b=c. 后來，皮亞諾又規(guī)定自然數(shù)的起始是0，1是0的后繼，其原因在于如果自然數(shù)集從1開始，算數(shù)公理體系無法定義出0，就無法定義出相反數(shù)，也就無法定義負(fù)整數(shù)，亦無法通過加法的逆運(yùn)算定義出減法.

減法與整數(shù)集

把除0以外的自然數(shù)稱為正整數(shù). 實(shí)際生活中存在一類與正整數(shù)數(shù)量相同，但表達(dá)意義相反的數(shù)，為了表示這樣一類數(shù)，采用了如下基于內(nèi)涵的定義方法：對(duì)于給定的正整數(shù)a，稱滿足a+b=0的數(shù)b為a的相反數(shù)，記為-a. 于是，自然數(shù)集就擴(kuò)充為整數(shù)集Z，Z={負(fù)整數(shù)，0，正整數(shù)}.

既然使加法得以產(chǎn)生和發(fā)展的有理數(shù)集得到了延伸，那么就非常有必要重新審視加法在有理數(shù)集上的運(yùn)算是否完備. 由于正整數(shù)與其對(duì)應(yīng)的負(fù)整數(shù)是一類數(shù)量相等，表達(dá)含義相反的數(shù)，在應(yīng)用絕對(duì)值來刻畫數(shù)量的情況下，符號(hào)相同的兩個(gè)有理數(shù)相加只需將絕對(duì)值相加，和的符號(hào)保持不變；符號(hào)互異的兩個(gè)有理數(shù)相加，則需用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，和的符號(hào)與絕對(duì)值較大的有理數(shù)保持一致. 由此可見，加法在整數(shù)集Z上保持了封閉，且交換律和結(jié)合律仍然成立.

保證了加法在整數(shù)集Z上的完備性之后，就由加法的逆運(yùn)算定義了減法：對(duì)于任意a∈Z，b∈Z，a-b=x？圮a=b+x，由加法的封閉性可知x∈Z，是一個(gè)整數(shù). 于是，減法在整數(shù)集上是封閉的，但在自然數(shù)集N上是不封閉的. 定義了減法之后，可以驗(yàn)證-a=0-a或a=0-（-a），即a+（-a）=0，這與相反數(shù)的定義是一致的.

教材中往往把有理數(shù)的減法運(yùn)算法則表述為“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，而且是通過將一組相反數(shù)分別代入減法及其對(duì)應(yīng)的加法來驗(yàn)證得到的. 這種基于經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)探究過程并不能很好地展現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯推理過程，似乎顯得有些本末倒置. 準(zhǔn)確的減法運(yùn)算法則推導(dǎo)如下：因?yàn)閍與（-a）互為相反數(shù)，所以a+（-a）=0，移項(xiàng)可得a=0-（-a）或-a=0-a，在等式兩邊同時(shí)加上有理數(shù)b，可得b+a=b+[0-（-a）]或b-a=b+（0-a），即b+a=b-（-a）或b-a=b+（-a）. 兩種運(yùn)算結(jié)果均證明了有理數(shù)的減法運(yùn)算法則. 值得注意的是，該運(yùn)算法則是雙向的，既包括把減法轉(zhuǎn)化為加法，亦包括把加法轉(zhuǎn)化為減法. 實(shí)際上在運(yùn)算時(shí)我們無時(shí)無刻不用到后者，例如5+（-4）=5-4=1，只是關(guān)注甚少罷了.

乘法及其運(yùn)算法則

在自然數(shù)集上，乘法是源于對(duì)加法的簡便運(yùn)算而誕生的. 例如15=5+5+5=5×3. 一般地，對(duì)于任意a∈N，b∈N，有c=a+a+…+a？圮c=a×b，其中連加表示b個(gè)a相加. 因此，“？圮”右邊的乘法是左邊b個(gè)a相加的簡便運(yùn)算，稱a，b為乘數(shù)，c為積. 基于這樣的乘法運(yùn)算，可以得到兩個(gè)基本性質(zhì)：對(duì)于任意a∈N，有0×a=0，1×a=a. 這兩個(gè)性質(zhì)構(gòu)成了乘法運(yùn)算的基本特征.

但在有理數(shù)集上，乘法就不一定是加法的簡便運(yùn)算. 例如（-2）×3可以看作（-2）+（-2）+（-2）=-6，這還可以解釋為加法的簡便運(yùn)算；但3×（-2）就解釋不通了，不能解釋為-2個(gè)3相加. 由于自然數(shù)集包含在整數(shù)集內(nèi)，若要將乘法運(yùn)算推廣，那么推廣的橋梁就是乘法的交換律和分配律.

推廣的邏輯大致如下：假設(shè)在整數(shù)集Z上存在一種運(yùn)算“·”，這種運(yùn)算滿足上述兩個(gè)基本性質(zhì)和兩個(gè)定律. 為了證明推廣的唯一性，只需證明在自然數(shù)集N上，定義的運(yùn)算“·”是加法的簡便運(yùn)算. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)k=2時(shí)，對(duì)于？坌a∈N，滿足a·2=2·a=（1+1）·a=1·a+1·a=a+a=2a. 其中，第一個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)榻粨Q律，第二個(gè)是根據(jù)自然數(shù)的定義，第三個(gè)是因?yàn)榉峙渎?，第四個(gè)是因?yàn)榈诙€(gè)基本性質(zhì)，第五個(gè)是根據(jù)加法的基本定義.

假設(shè)當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立，即對(duì)于？坌a∈N，a·n=na成立.

當(dāng)k=n+1時(shí)，a·（n+1）=（n+1）·a=na+1·a=na+a=（n+1）a . 其中，第一個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)榻粨Q律，第二個(gè)是因?yàn)榉峙渎?，第三個(gè)是基于第二步的歸納假設(shè)和第二個(gè)基本性質(zhì)，第四個(gè)是根據(jù)加法的基本定義. 所以，運(yùn)算“·”是加法的簡便運(yùn)算.

既然乘法可以從自然數(shù)集推廣到整數(shù)集，且保持了交換律和結(jié)合律，那么兩個(gè)負(fù)整數(shù)相乘的積的符號(hào)該如何確定？“負(fù)負(fù)得正”這個(gè)問題在歷史上困擾過許多名人，《紅與黑》的作者司湯達(dá)就是其中一位“受害者”. 他因?yàn)椴焕斫鉃槭裁础柏?fù)負(fù)得正”，且在詢問無果后對(duì)數(shù)學(xué)絕望，而棄理從文. 事實(shí)上，“負(fù)負(fù)得正”是可以證明的，且由于乘法交換律，我們只需證明（-1）·（-1）=1即可：0=0×（-1）=[（-1）+1]×（-1）=[（-1）×（-1）]+[1×（-1）]=[（-1）×（-1）]+（-1），所以（-1）×（-1）=1. 其中，第一個(gè)等號(hào)成立是根據(jù)乘法的第一個(gè)基本性質(zhì)，第二個(gè)是基于相反數(shù)的定義，第三個(gè)是因?yàn)榉峙渎?，第四個(gè)是因?yàn)橐阎?×（-1）=-1.

總結(jié)與反思

數(shù)系擴(kuò)充源于新的運(yùn)算法則的誕生，但教材卻往往顛覆數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷程，總是先將數(shù)系擴(kuò)充，再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行四則運(yùn)算的探討，且教材內(nèi)容大多基于具體實(shí)例，重視培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，而缺乏嚴(yán)密精確的演繹推理. 教材之所以如此處理，是因?yàn)樵诰帉戇^程中考慮到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在不同學(xué)習(xí)階段針對(duì)不同數(shù)系進(jìn)行四則運(yùn)算更有利于培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納的能力，鍛煉敏銳的洞察力，從而理解四則運(yùn)算真正的含義. 另一方面，根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，七年級(jí)的學(xué)生大致處于具體運(yùn)算階段與形式運(yùn)算階段的過渡時(shí)期，邏輯推理能力尚未成熟，思維活動(dòng)需要具體活動(dòng)內(nèi)容的支持，學(xué)到的知識(shí)大多是基于經(jīng)驗(yàn)的.

即使教師在某些數(shù)學(xué)內(nèi)容上不能嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)發(fā)展史而采用發(fā)生教學(xué)法，但教師必須明晰教學(xué)內(nèi)容背后蘊(yùn)含的學(xué)科背景知識(shí). 因?yàn)槭艿綒v史相似性原理的啟示，數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生重大變革之處也正是學(xué)生的疑惑所在. 教師應(yīng)致力于豐富自身的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)（SMK）和學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK），基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，站在最近發(fā)展區(qū)的角度上，兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，尋求最佳的知識(shí)呈現(xiàn)方式和活動(dòng)探究方式.