曹迎滔

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，用導(dǎo)數(shù)求解“優(yōu)化問題”正日益成為考題的熱點(diǎn)。同時(shí)，“優(yōu)化問題”在高考中的要求也在逐步提高，由原來考綱要求的了解層面提高到了理解層面；并且，涉及“優(yōu)化問題”的試題難度也在逐步加大，并且大多與其他知識交匯，由原來的容易題、中檔題提升為中檔題、難題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；優(yōu)化

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會遇到在工業(yè)生產(chǎn)上產(chǎn)品產(chǎn)值最高，企業(yè)運(yùn)作上利潤最大，房地產(chǎn)商蓋樓時(shí)面積的最小或者最大，印刷紙張上用料最小，生產(chǎn)效率最高的問題，這些問題通常稱為“優(yōu)化問題”。面對此類問題，建立數(shù)學(xué)模型，然后利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)是解決“優(yōu)化問題”的有效方法。本文主要談一下如何根據(jù)實(shí)際問題，“建模、求導(dǎo)”解決生活中的“優(yōu)化”問題。

一、用導(dǎo)數(shù)解決“優(yōu)化問題”的題型

主要是以下幾方面：（1）用“導(dǎo)數(shù)”解決和幾何相關(guān)的面積最值、體積最值問題；（2）用“導(dǎo)數(shù)”解決和產(chǎn)品利潤及其成本相關(guān)的最值問題；（3）用“導(dǎo)數(shù)”求解與物理現(xiàn)象有關(guān)的最值問題；（4）用“導(dǎo)數(shù)”解決和效率相關(guān)的最值問題。這些“優(yōu)化問題”統(tǒng)統(tǒng)可以歸納為求函數(shù)的最值問題。

二、用導(dǎo)數(shù)解決“優(yōu)化問題”的思路

數(shù)學(xué)“優(yōu)化問題”（建模）——函數(shù)關(guān)系式（解決數(shù)學(xué)建模）——求導(dǎo)（作答）——答案（考慮實(shí)際意義）。

三、用導(dǎo)數(shù)解決“優(yōu)化問題”的步驟

第一，根據(jù)實(shí)際情況，針對實(shí)際問題、分析問題中的各變量之間的關(guān)系，建模（列函數(shù)關(guān)系式），寫出函數(shù)關(guān)系y=f（x），并寫出變量的取值范圍（定義域）。

第二，根據(jù)已知y=f（x），求出其導(dǎo)數(shù)f ′（x），然后列方程求解f′（x）=0，得出極值點(diǎn)的值。

第三，已知x的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)確定端點(diǎn)和極值點(diǎn)值的大小，得到答案（最值）。

第四 ，檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義（依據(jù)函數(shù)定義域）。

（1）列出函數(shù)關(guān)系式（利潤和生產(chǎn)量）；

（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，利郎公司在這利郎男裝的生產(chǎn)中所獲利潤最大。（注：年利潤=年銷售總收入-年總成本）具體解析不再贅述。

四、用導(dǎo)數(shù)解決“優(yōu)化問題”時(shí)應(yīng)注意的問題

一是用導(dǎo)數(shù)解決生活中的“優(yōu)化問題”時(shí)，關(guān)鍵是要建立合適的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)問題中涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域，并考慮實(shí)際意義。

二是在解決實(shí)際問題時(shí)，常常會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f ′（x）=0的情況，若函數(shù)在該點(diǎn)有極（大或?。┲担瑒t不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最（大或小）值。

三是在用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題的最（大或?。┲禃r(shí)，且要考慮問題的現(xiàn)實(shí)意義，不符合實(shí)際的應(yīng)舍去。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學(xué)）