◎王陸杰

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

“多題一解”例析一類(lèi)組合數(shù)學(xué)問(wèn)題

◎王陸杰

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

多題一解，可以把一道復(fù)雜的題和最基本的簡(jiǎn)單題建立聯(lián)結(jié)，從而簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題的解決.是轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的重要支柱.本文重點(diǎn)研究從“多題一解”的視角，把看似不同類(lèi)型組合的問(wèn)題抽象成一類(lèi)組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，并找到一個(gè)一般性的程序化解題方法，給出了這一類(lèi)組合問(wèn)題的統(tǒng)一公式.

排列組合；分步順序；多題一解

一、引 言

轉(zhuǎn)化是非常重要的數(shù)學(xué)思想，多題一解是轉(zhuǎn)化思想的集中體現(xiàn).如果能把一道復(fù)雜的題和一道簡(jiǎn)單的題建立聯(lián)結(jié)，找到它們有類(lèi)似的解法，一般可以大大簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題的解決.形式上不同的問(wèn)題往往卻在本質(zhì)上是一致的，“形不似神似”.

本文借助一道非常基礎(chǔ)的題拋磚引玉，以期能對(duì)一類(lèi)組合數(shù)學(xué)問(wèn)題給出程序化的解法，并給出統(tǒng)一的公式，初步揭示了一些表面上有差別的問(wèn)題其實(shí)有著共通的本質(zhì)的現(xiàn)象.

二、拋磚引玉

有時(shí)候玉和磚頭只是外形看上去不同.

(一)拋 磚

一個(gè)六位數(shù)密碼箱，每一個(gè)位置上可以獨(dú)立設(shè)置0-9十個(gè)不同的數(shù)字.現(xiàn)有一人隨機(jī)輸入一組六位數(shù)字，求其能打開(kāi)箱子的概率.

解：每一個(gè)位置互相獨(dú)立，每一個(gè)位置都有10種選擇.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：

一共有106種設(shè)置方法.

評(píng)注：沒(méi)有限制條件時(shí)，單純的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題非常的簡(jiǎn)單，如果我們加一點(diǎn)限制條件呢？

(二)換磚再拋

一個(gè)六位數(shù)密碼箱，每一個(gè)位置上可以設(shè)置0-9十個(gè)不同的數(shù)字，但是第一位的數(shù)字不能和后面位上的數(shù)字相同，問(wèn)有多少種設(shè)置密碼的方法？

分析：和例1非常的像，我們可不可以借助例1的想法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題呢？新舊磚頭的區(qū)別僅僅是第一位數(shù)字能不能和后面五位數(shù)字相同.我們先考慮第一位，后面的數(shù)位都不能屬于第一位所在的分組.我們現(xiàn)在不妨把第一位所在的分組去掉，只留下九個(gè)分組.條件沒(méi)有對(duì)后五位做出任何限制，這和例題是完全一樣的題型，完成了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.得到后五位的排法一共有95種，又第一個(gè)數(shù)位可以屬于10個(gè)分組中任意一個(gè).

10×95=590 490(種).

答：一共有590 490種.

評(píng)注：在實(shí)際教學(xué)中，最好引導(dǎo)學(xué)生完成這樣的轉(zhuǎn)化過(guò)程，建立題目之間的聯(lián)結(jié)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)著重訓(xùn)練學(xué)生一題多解、多題一解的能力.

筆者借助一道形式上與例題完全不同的高考題來(lái)完成最后的“引玉”.

(三)引 玉

(2012江蘇20)設(shè)集合Pn={1，2，…，n}，記f(n)為同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：①A?Pn，②若x∈A，則2x?A；若x∈PnA，則2x?PnA.

(1)求f(4)；

(2)求f(n).

解：(1)f(4)=4(略去過(guò)程).

(2)分析：我們先研究所有的奇數(shù)，再研究所有的偶數(shù).

評(píng)注：讀者不難感受到玉和磚是如此的形不似神似，每個(gè)奇數(shù)都可以獨(dú)立選擇兩個(gè)分組，就像例1中每個(gè)數(shù)位上都可以獨(dú)立選擇十個(gè)“分組”.只不過(guò)多了能判斷確定位置的偶數(shù).我們把這樣難度的高考題和非常簡(jiǎn)單的例1建立聯(lián)結(jié)，從而大大簡(jiǎn)化一道復(fù)雜問(wèn)題的求解，會(huì)驚嘆多題一解的威力.兩道看上去風(fēng)馬牛不相及的題目，卻有著完全相同的實(shí)質(zhì).這道“簡(jiǎn)單”的高考?jí)狠S題其實(shí)卻一點(diǎn)不簡(jiǎn)單，學(xué)生極少有能做出來(lái)的.教師平時(shí)要注重多題一解的訓(xùn)練.

三、“三國(guó)演義”

說(shuō)到多題一解，那么對(duì)于不同類(lèi)型的排列組合問(wèn)題，我們是否能有一種好方法能找到一般的順序呢？

我們假定只有這么三類(lèi)元素：

①如果把它們按順序取出，后者可以選擇除了前面元素的取法之外的其他所有取法；

②他們之間彼此完全獨(dú)立地選擇除了第一類(lèi)元素選法之外的所有取法；

③前面兩類(lèi)中的某一個(gè)元素一旦確定選法，則該元素只有一種取法.

下面對(duì)于只含有如上三類(lèi)元素的排列組合問(wèn)題給出一個(gè)比較好的順序.

假定有k個(gè)第一類(lèi)元素，p個(gè)第二類(lèi)元素，若干個(gè)第三類(lèi)元素，每個(gè)元素最多有m種選擇(k

第一步：按照順序，先把所有的第一類(lèi)元素取出，再把所有的第二類(lèi)元素取出，最后把所有的第三類(lèi)元素取出.

第二步：先按照一種排法把第一類(lèi)元素先選，一定會(huì)占據(jù)k個(gè)位置，把這些位置去掉繼續(xù)考慮.

第三步：考慮第二類(lèi)元素在剩下m-k個(gè)位置中的排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有(m-k)p.

回過(guò)頭來(lái)我們驗(yàn)證前面的兩道題目：

四、結(jié) 語(yǔ)

借助多題一解的視角，一些看似不同類(lèi)型的問(wèn)題，卻可以有統(tǒng)一的程序化步驟和一般的公式.也許，還有涵蓋范圍更為一般的統(tǒng)一公式值得我們進(jìn)一步探索.

筆者覺(jué)得所謂多題一解最重要的核心是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.建議讀者平時(shí)可多注意各章節(jié)的聯(lián)系，打通各章節(jié)，也許我們還會(huì)有更多類(lèi)似的發(fā)現(xiàn)：原來(lái)很多形式上不同的題本質(zhì)上是一致的，有著類(lèi)似的，甚至是統(tǒng)一的解法.這樣，一道復(fù)雜的題原來(lái)和一道簡(jiǎn)單的題是“差不多”的.