廣東省廣州市華南師范大學(xué) 陳銘睿

由一道關(guān)于三角函數(shù)范圍題目引發(fā)的思考

廣東省廣州市華南師范大學(xué) 陳銘睿

求范圍問題的應(yīng)用一直是一個(gè)熱門考點(diǎn)，且其中包含的知識很廣泛，比較考驗(yàn)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。其中三角函數(shù)范圍是一個(gè)較難突破的點(diǎn)，角的范圍和三角函數(shù)的取值相互制約。而學(xué)生在三角函數(shù)取值中經(jīng)常會出現(xiàn)漏解和錯(cuò)解的情況，其原因很有可能是忽略了題中一些條件，將角的范圍擴(kuò)大化。本文就一道綜合性較強(qiáng)的求解三角函數(shù)范圍的題目，探討一下其中可以深究的問題。

一、案例呈現(xiàn)

我們來看題目：如圖是一個(gè)三角形，其中A，B，C三個(gè)角分別對應(yīng)的邊長為a，b，c，且過A作BC邊上的高AD，AD長度為a，試求的范圍。

解析：首先觀察我們所要求的式子，發(fā)現(xiàn)為兩式之和且互為倒數(shù)的形式，又由于b，c都為正實(shí)數(shù)，能較容易想到使用如均值不等式的形式，在本題中就是時(shí)能取等號。

二、完善探究

直到這里原式的范圍就出來了，一些習(xí)題冊或試卷中所給的參考答案到這里就結(jié)束了，大同小異如此一般。 但是在這里我們不妨來思考一個(gè)問題：題中的上限值是否能取到，即A的取值是否能讓成立？

平時(shí)遇到類似的問題時(shí)，許多人可能做到這一步的時(shí)候，理所當(dāng)然地認(rèn)為正弦函數(shù)能取到1。但由于所用到的角度是在一個(gè)三角形中的，是有限制的，所以這里應(yīng)該還要檢驗(yàn)取到的值是否符合題目限制條件的要求，下面我們來探究一下角的取值范圍。

由于這里的三角形沒有特殊說明，故我們需要分情況討論。第一種是AD在三角形內(nèi)，落在BC上，第二種AD是在三角形外，落在BC的延長線上。

再來看第二種情況，如圖，假設(shè)BD長度為x，則DC=a+x，且利用正切函數(shù)的差公式有：

三、反思小結(jié)

眾所周知，嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)。所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，就是指對數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精確，結(jié)論的論證過程必須嚴(yán)格、周密。以這道題為例，許多同學(xué)可能只注重結(jié)果，對上答案了可能就不會再考慮這個(gè)答案是否完整，是否嚴(yán)密?，F(xiàn)在關(guān)于數(shù)學(xué)的輔導(dǎo)和練習(xí)資料眾多，其內(nèi)容的質(zhì)量也是參差不齊的。對于一些比較依賴答案、比較缺少自己思考的學(xué)生來說，參考一些不嚴(yán)謹(jǐn)甚至存在錯(cuò)誤的資料，會非常不利于他們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

像這種類型的題目有很多，學(xué)生也常常求出最后的范圍后就以為完成了，而不會去檢驗(yàn)這個(gè)范圍是否合理。教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先自身應(yīng)該做到思維縝密、言必有據(jù)，在平時(shí)的教學(xué)時(shí)要注意培養(yǎng)學(xué)生思維過程和解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性。 最后，引用數(shù)學(xué)上一句經(jīng)典的話：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度不一定是他們學(xué)好數(shù)學(xué)的充要條件，但肯定是一個(gè)必要條件。

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陳銘睿，（1996-07-），男，漢族，廣東省珠海市人，華南師范大學(xué)學(xué)生，本科，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)）